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1、第十八讲计数原理、二项式定理1(计数原理)(2013福建高考)满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14B13C12D10【解析】若a0，则b1,0,1,2，此时(a，b)的取值有4个；若a0，则方程ax22xb0有实根，需44ab0，ab1，此时(a，b)的取值为(1,0)，(1,1)，(1，1)，(1,2)，(1,1)，(1,0)，(1，1)，(2，1)，(2,0)，共9个(a，b)的个数为4913.【答案】B2(通项公式)(2013江西高考)5展开式中的常数项为()A80 B80 C40 D40【解析】设展开式的第r1项为Tr1C
2、(x2)5rrCx102r(2)rx3rC(2)rx105r.若第r1项为常数项，则105r0，得r2，即常数项T3C(2)240.【答案】C3(组合应用题)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)【解析】依题意，CCC60种【答案】604(二项式定理)(2013上海高考)设常数aR，若5的二项展开式中x7项的系数为10，则a_.【解析】5展开式中Tr1C(x2)5rrCarx103r.令103r7，得r1，x7项的系数Ca10，则a2.【答案】25(排列应用题)(2013北京高考)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4
3、人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_【解析】先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A种，因此共有不同的分法4A42496(种)【答案】96两个计数原理 (1)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种B10种C9种 D8种(2)(2013深圳模拟)值域为2,5，其对应关系为yx21的函数的个数为()A1B7 C9D8【思路点拨】(1)(2)【自主解答】(1)分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C
4、2种选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C6种选派方法根据分步乘法计数原理，不同的选派方案共有2612种(2)分别由x212，x215，解得x1，x2.由函数的定义，定义域中元素的选取分三种情况：取两个元素：有CC4种；取三个元素：从1，2两组中选取一组，再从剩下的一组中取一个数，有CC4种取四个元素，有一种方法由分类加法计数原理，共有4419种【答案】(1)A(2)C1本题(2)在求解过程中，按函数定义域中元素的情况分为三类求解，从而做到“不重不漏”2“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则
5、是分步变式训练1(1)如图611所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个(2)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A12种B18种C24种D36种图611【解析】(1)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个)第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)由分类加法计数原理知，共有32840(个)(2)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A种不同排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因
6、此共有AA112种不同的排列方法【答案】(1)40(2)A排列与组合 (1)(2013四川高考)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A9 B10C18 D20(2)(2013浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)【思路点拨】(1)由对数的运算性质，确定实数a，b的限制条件，利用排列求解(2)选出3个位置排特殊元素A，B，C，并把元素A，B作为集团元素进行排列【自主解答】(1)从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A20，但lg
7、1lg 3lg 3lg 9，lg 3lg 1lg 9lg 3，所以不同值的个数为20218，故选C.(2)第一步，先将A，B视为元素集团，与C先排在6个位置的三个位置上，有CAC种排法第二步，排其余的3个元素，有A种方法所以由分步乘法计数原理，共有CACA480种排法【答案】(1)C(2)4801第(1)题求解过程中采用了“间接法”，从反面入手；第(2)题求解的关键是特殊元素优先，并“小集团”排列采用“捆绑法”2排列与组合综合题目，首先依据两个原理，解决好分类与分步，树立“特殊元素”和“特殊位置”的优先原则，注意“分组”与“分配”、“平均分组”与“不平均分组”的差异变式训练2(1)一排9个座位
8、坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33！B3(3！)3C(3！)4 D9!(2)(2013郑州调研)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24 B18 C12 D6【解析】(1)此排列可分两步进行，先把三个家庭分别排列，每个家庭有3！种排法，三个家庭共有3！3！3！(3！)3种排法；再把三个家庭进行全排列有3！种排法因此不同的坐法种数为(3！)4，答案为C.(2)当选数字0时，再从1,3,5中取出2个数字排在个位与百位排成的三位奇数有CA6个当取出数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C种方法然后将选中的两个奇数数
9、字选一个排在个位，其余2个数字全排列排成的三位奇数有CAA12个由分类加法计数原理，共有61218个不同的三位数【答案】(1)C(2)B二项式定理 (1)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_(2)(2013海淀质检)设aZ，且0a0时，ff(x)表达式的展开式中常数项为_【解析】(1)(1x)5中含有x与x2的项为T2Cx5x，T3Cx210x2，x2的系数为105a5，a1，故选D.(2)f(x)当x0时，f(x)0，ff(x)f()66，展开式中常数项为C()33C20.【答案】(1)D(2)20从2013年高考试题看，全国课标卷及近10个自主命题省市均对二
10、项式定理的相关知识作了考查，主要涉及特定项的系数、特定项的求法、二项式系数及整除等问题，预测2014年高考仍将以二项式定理为知识载体，不断创设问题情境(如2013陕西高考)，以客观题的形式进行考查以二项式定理为载体的创新问题的求解方法 (1xx2)(x)6的展开式中的常数项为m，则函数yx2与ymx的图象所围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.【解析】二项式(x)6的展开式的通项公式为Tr1(1)rCx62r，当62r0时，可得r3，则(x)6展开式的常数项为(1)3C20，当62r2时，可得r4，则(x)6展开式的x2项的系数为(1)4C15，由此可得(1xx2)(x)6展开式的常数项m
11、20155，图中封闭图形的面积S(x25x)dx(x3x2)，故应选D.【答案】D【阅卷心语】易错提示(1)(x)6的展开式易漏掉负号(2)因思维不全面导致展开式中的常数项m求错防范措施(1)在(ab)n展开式中，b看作整体后利用通项公式展开(2)(1xx2)中的常数项、一次项、二次项分别和(x)6展开式中的常数项、含的项、含的项相乘，再求和，得整个展开式中的常数项1设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.【解析】Tr1C()5r()rC(1)rx，令0，得r3，所以AC10.【答案】102若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()A120个B80个C40个 D20个【解析】依题意得知，满足题意的三位数的个数是CA40(注：C表示的是从这六个数字中任选三个的方法数；A表示的是将所选定的三个数字中最大数字放在十位、另外两个数字放在另外两个数位上排列的方法数)【答案】C9