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1、 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料 （包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D 中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区
2、设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 （打印并签名）： 1. 2. （隐去论文作者相关信息等） 3. 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：日期： 2014 年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统
3、一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1 基于储药柜的设计分析模型摘要储药柜是由长度相同、 宽度和高度不同的储药槽矩阵排列而成。同层储药槽的高度相同，宽度可以不同，不同层储药槽高度可以不同。因此，优化和合理布局药品、储药槽不仅有效地提高药品出入库效率，而且节约成本和提高空间利用率。本文通过对储药槽宽度和高度所受约束和目标函数的分析, 研
4、究基于储药槽区分配设计的优化问题, 建立整数二次规划模型及双目标优化模型，并用MATLAB 对问题进行求解 , 结果表明 , 给出方案是有效的。针对问题一， 根据附件 1 给出的一些药盒的规格， 计算每种药品的竖向隔板间距和“三防”条件，对数据整理分析，建立优化模型，给出满足条件的竖向隔板间距类型最少的储药柜设计。针对问题二，考虑到气温、气压和相对湿度对发病率的影响不确定，本文首先建立了 Pearson 相关分析模型，通过 r 值的大小来判断发病率与各指标是否存在着某种相关。经计算得出温度与发病率呈正相关，气压、相对湿度与发病率呈负相关，且各指标与发病率均呈弱相关，相关度并不显著。其次，考虑到
5、发病率有可能受到多个因素的共同影响，于是用逐步线性回归模型对各因素逐步分析删除，最后得出脑卒中月平均发病率与平均气压、最大气压、最小气压、平均温度、最高温度和最高相对湿度这五个因素的一个多元回归线性预报模型，并进行了一定的定量分析。最后，考虑到逐步线性回归模型的各指标是相互独立性， 而气压和温度之间存在相互作用，通过引入平均气压和平均温度交互项，对模型二进行了改进，得到了一个更优的模型。通过对模型的定量分析，本文预报模型具有实际应用价值。针对问题三，脑卒中高危人群的重要特征有：偏瘫、失语、精神症状等，关键指标有：高血压、吸烟醉酒、血脂异常、糖尿病等。结合问题一、二的结论，分别针对高危人群提出预
6、警和干预的建议方案。从这两个方案中得知： 减少脑卒中发病率要从提高身体素质、疾病的认知和膳食均衡这三方面去考虑。最后，考虑到逐步线性回归模型中脑卒中发病率与气象因素中的线性关系，而实际上，发病率与气象因素关系的复杂性线性关系并不足以充分刻画，本文在假设脑卒中发病例数与整个地区是一个小概率事件上，其实际分布接近于泊松分布，利用广义线性回归模型(GLM)进行推广，一定程度优化了逐步回归模型。本优化模型具有实际应用价值。针对问题四，找出影响储药柜个数的主要因素，建立各因素之间的关系式，给出目标模型。储药柜的增加可以归结为储药槽个数的增加，而导致储药槽的增加受储药柜长度和高度的影响， 通过建立高度与储
7、药柜个数的关系以及长度与储药柜个数的关系，找出最大值，并选取不小于该值的整数作为最优解。关键字 ：储药柜多目标优化二次规划整数规划名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2 一、 问题重述储药柜的结构类似于书橱， 通常由若干个横向隔板和竖向隔板将储药柜分割成若干个储药槽 (如图 1 所示)。为保证药品分拣的准确率，防止发药错误，一个储药槽内只能摆放同一种药品。药品在储药槽中的排列方式如图2 所示。药品从后端放入，从前端
8、取出。一个实际储药柜中药品的摆放情况如图3 所示。为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留 2mm 的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。在忽略横向和竖向隔板厚度的情况下，建立数学模型，给出下面几个问题的解决方案。1. 药房内的盒装药品种类繁多，药盒尺寸规格差异较大，附件1 中给出了一些药盒的规格。请利用附件1 的数据，给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括类型的数量和每种类型所对应的药盒规格。2. 药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为宽度冗余。增加竖向隔板的间距类型数量可以有效地减少宽度冗
9、余，但会增加储药柜的加工成本，同时降低了储药槽的适应能力。 设计时希望总宽度冗余尽可能小，同时也希望间距的类型数量尽可能少。仍利用附件 1 的数据，给出合理的竖向隔板间距类型的数量以及每种类型对应的药品编号。3. 考虑补药的便利性，储药柜的宽度不超过2.5m、高度不超过 2m ，传送装置占用的高度为 0.5m，即储药柜的最大允许有效高度为1.5m。药盒与两层横向隔板之间的间隙超出 2mm 的部分可视为高度冗余， 平面冗余高度冗余宽度冗余。在问题 2 计算结果的基础上， 确定储药柜横向隔板间距的类型数量，使得储药柜的总平面冗余量尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。4. 附件 2 给
10、出了每一种药品编号对应的最大日需求量。在储药槽的长度为1.5m、每天仅集中补药一次的情况下，请计算每一种药品需要的储药槽个数。为保证药房储药满足需求，根据问题3 中单个储药柜的规格，计算最少需要多少个储药柜。二、 符号说明符号符号说明i药品的编号（i=1,2,3 ,1919）il ,iw ,ih药品的长，宽，高V竖向隔板间距L横向隔板间距KR宽度冗余GR高度冗余iqi药品的最大日需求量ici药品需要的储药槽个数W储药槽的宽度H储药槽的高度G 储药柜个数三、 基本假设1. 假设药品盒的长宽高不受周围温度的影响，即每种药品的规格保持不变。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
11、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 3 2. 假设一个储药槽内只能摆放同一种药品，以保证药品分拣的准确率， 防止发药错误。3. 假设药品都是从后端放入，从前端取出。4. 假设储药柜的横向和竖向隔板的厚度不计。四、 问题分析4.1 背景分析在生活中的很多药房，我们都可以看到一排排的储药柜，它的结构类似于书橱，在储药柜上布满了由若干个横向隔板和竖向隔板隔成的储药槽。社会的快速发展， 自动化药房越来越多，它是实现上药、储药和出药自动化的物流系统。药品从后端放入，从前端取出。为保证
12、药品分拣的准确率， 防止发药错误， 一个储药槽内只能摆放同一种药品。为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留 2mm 的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。 通过所给图也可看出为了减少储药柜的加工成本，同时提高储药槽的适应能力，充分利用空间，本文通过对储药槽宽度和高度所受约束和目标函数的分析, 研究基于储药槽区分配设计的优化问题, 建立相应的数学模型，并用 MATLAB 对问题进行求解 ,结果表明 , 给出方案是有效的。4.2 问题一分析问题一要求， 根据附件 1 给出的一些药盒的规格， 给出竖向隔板间距类型最少
13、的储药柜设计方案。本文分别从每种药品的长、宽、高和竖向隔板间距进行数据整理分析和计算，得到一些初步的结论，对储药柜设计情况进行一些简单的分析与总结。通过已给数据， 我们可以算出每种药品的竖向隔板间距，并找出竖向隔板间距相同的药品的个数。把竖向隔板间距的数值作为类型的名称，算出类型的个数。要使得竖向隔板间距类型最少， 即要将药品进行纵向叠放。 药品放到储药槽内， 又必须满足“三防”条件，即防水平旋转、防侧翻、防并排重叠。给出“三防”的条件，如果满足条件就可纵向叠放起来，从而类型减少。然后，将竖向隔板间距升序排列，找出最大的间距。确定最大间距对应的类型为储药柜第一类型，寻找可叠放入该类型的其他间距
14、类型，如遇到不可放的，则增加为第二类型，以此类推，给出满足条件的竖向隔板间距类型最少的储药柜设计。4.3 问题二分析问题二要求， 在总宽度冗余尽可能小， 且尽可能少的增加竖向隔板间距类型的前提下，给出合理的竖向隔板间距类型数量。由于增加竖向隔板的间距类型数量可以有效地减少宽度冗余，但会增加储药柜的加工成本，同时降低了储药槽的适应能力。所以，设计时希望总宽度冗余尽可能小，同时也希望间距的类型数量尽可能少。请补充4.4 问题三分析问题三要求，在问题二计算结果的基础上，总平面冗余尽能少的前提下，确定横向隔板间距的类型最少的个数。这是一个双目标优化问题。 宽度冗余已确定为问题二给出的最合理冗余， 则影
15、响平面冗余的因素只有高度冗余。现只需考虑插入最少的横板的数量。先将问题二中得到的31 种竖向类型中的各药品的横向间距排序，把最大的放底层，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4 在 31 种最大横向间距中选取最大值作为增加的第一块横板的横向间距，以此类推，当累加的高度超过储物柜的最大高度，则停止累加，多余的药品放入另开的槽内，直到槽的总宽度之和超过储物柜宽度时，则需要新增加一个储物柜。4.5 问题四分析问题四要求，
16、给出每种药需要的储药槽个数和最少需要的储药柜个数，根据所给每种药品的最大日需求量数据，给出函数可以直接计算出储药槽个数，这将影响储药柜需要的个数，因为长度的限制，某种药一次没装满必然开一个槽再装，这就加大的总储存槽宽度，同时药品的纵向叠放的高度超过储药柜的高度限制，也必然增加槽来放溢出的药品，故也会增加总储存槽宽度，而储存槽的宽度增加如果超过了储物柜的宽度，最后就导致储物柜的个数的增加，所以需通过二次整数规划， 把两个主要的影响因素建立起模型，给出所需要的最少的储物柜个数。五、 模型的建立与求解5.1 问题一模型的建立与求解5.1.1 模型的建立按题意，给出以下优化模型：njjWMinV1ts
17、.22,min22222iiiiiiwwhwlWw目标函数是使得竖向间距类型最少，其中 n 为竖向间距类型最少的个数，约束条件是使得药品放入槽内可以顺利推出，并且不会出现水平旋转、侧翻和并排重叠的现象。防止水平旋转即22iiwlW，防止侧翻即22iiwhW，防止并排重叠即22iwW，三种都必须防止，则必须小于等于三者的最小值。5.1.2 模型的求解我们采用 EXCEL 表的统计和整理数据 （见附件），可以发现寻找类型最少并不困难。最终可以确定n 为 4，竖向间距类型分别为mmW581，mmW432，mmW323，mmW184，以下给出部分药盒编号：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
18、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 5 . 5.2 问题二模型的建立与求解5.2.1 模型的建立由题 知， 宽度冗 余 为药盒 与 两 侧竖 向 隔 板之间 的 间隙超 出 2mm的部 分， 即2iiwWKR。请补充模型说明通过 Matlab 对这些点进行描点，拟合出一个单调递减函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12
19、页 - - - - - - - - - 6 竖向间距类型5.2.2 模型的求解找出函数的拐点，即是需要的最优解。请补充程序说明 x=4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47; y=13097 8137 6976 5568 4333 3405 3009 2532 2296 2089 1901 1607 1448 1298 1170 1055 1027 921 798 724 620 552
20、 457 406 360 319 287 257 227 185 162 139 117 100 83 67 52 37 28 17 10 4 1 0; p=polyfit(x,y,3); xi=4:1:47; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y,r*); f_x=vpa(poly2sym(p,x),4) f_x = -.5289*x3+49.57*x2-1489.*x+.1458e5 syms x 宽度冗余名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
21、 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 7 y=-.5289*x3+49.57*x2-1489.*x+.1458e5; Y=diff(y,x,2); Y = -15867/5000*x+4957/50 x=solve(Y,x); y=eval(y); c=x,y c = 495700/15867, 238417798160/755285067 从上表可得出，总共要增加到31 种间距类型才比较合理，对应的药品编号见附件。5.3 问题三模型的建立与求解5.3.1 模型的建立根据问题要求，得知储药柜的宽度不超过2.5m(2500mm) ， 有效高度不超过 1.5m(1500mm)
22、 ，平面冗余 =GRKR。问题三是一个双目标优化问题njjWMinV1mkkHMinL1ts.22,min22222iiiiiiwwhwlWw名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 8 15002Hhi15001mkkmH25001njjnW5.3.2 模型的求解补充5.4 问题四模型的建立与求解5.4.1 模型一：基于每一种药品需要的储药槽个数相关分析的模型与求解据题意，每天仅补药一次，假设补药以填满储药槽为准，即可
23、转换成不补药而把储药槽长度增加为 2 1.5m=3m(3000mm) 。每一种药品需要的储药槽个数可由下面的函数给出：3000iiilqc通过 Excel 计算个数并取整（见附件），部分数据如下：从表中可以观察到：药品1 所需的储药槽最多，为11 个，且该药放在宽度为52mm的储药槽内。5.4.2 模型二：基于所需最少储药柜相关分析的模型步骤一：模型的建立根据问题三中的结果， j 表示竖向间距类型共31 种，jih 表示 j 类型下药品 i 的高度，jW表示 j 类型的储药槽宽度，jic 表示 j 类型下药品 i 的储药槽个数。影响储药柜个数的主要有两方面原因，分别是储药柜长、高的限制。在问题
24、三的基础上，考虑溢出药品的摆放问题，建立模型如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 9 1500,215002500jiijijchWMaxG其中，ijih21500表示受储物柜高度的限制，增加竖向储药槽后的总个数；ijijhW21 5 0 02 5 0 0表示受储物柜宽度的限制，增加储物柜后的总个数；jic1 5 0 0表示受储物柜长度的限制，增加储物柜后的总个数；G 取不小于 Max 的整数，即为最优解。步
25、骤二：模型求解补充步骤三：结果分析补充六、模型的推广推广自动化药房，实现药品的密集存储，为保证药品顺利出入库，储药槽与药盒之间的间隙必须保持在一定的范围内。如果超出范围，会出现药盒不易滑入储药槽中、药盒重叠或者拱起、翻板力不足无法将药品顶出、卡药等现象，影响上药和出药操作的正常执行。因此，优化和合理布局药品、储药槽不仅有效地提高药品出入库效率，而且节约成本和提高空间利用率。在设计好储药柜后，在对储位分配进行优化。储药柜中储药槽为矩阵排列，将距离出药口最近的一列记为第1 列，最下一层记为第1 层，则处于第 i 层和第 j 列的储位 (i,j)，其中， i=1,2, , ,p ；j=1,2, ,
26、, iq ，iq为第 i 层中的储位列数。考虑药品距离优先的原则，使各个储位上药品出入库时间最短的原则，将储位分配的优化问题描述为piqjijijSFMinM11 (*) 其中，ijF表示存放在第 i 层第 j 列储位的药品使用频率， 通过历史数据获得；ijS 表示储位 (i,j)到出药口之间的距离； p 表示层数； i q 表示第 i 层中储药槽列数。在上述公式中，式 (*) 是目标函数，表示对药品存取效率的要求，使用频率高的药品存放在距离出药口近的位置。七、模型的评价优点1、2、采用了双目标优化模型名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
27、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 10 缺点1、2、计算防止药品侧翻、水平旋转、并排重叠的条件时，采用对角线算法可能会导致约束条件太宽，结果不够最优。七、参考文献1Frank R.Giordano,William P.Fox,Steven B.Horton等，数学建模（第四版），北京：机械工业出版社， 2013年。2 卓金武， Matlab 在数学建模中的应用，北京：北京航空航天大学出版社，2014年。3 刘相权，贠超，赵雪峰等，药房自动化装置的设计与应用，机械设计，2009 年第 7期。4 赵雪峰 , 贠超, 刘相权等，自动化药房系统调度的优化，计算机工程，2009 年第 10期。5 张志强 , 贠超, 刘相权等，立式回转药柜结构优化设计与运动仿真，中国机械工程，2010年第 12 期。6 姜启源，数学模型（第三版），北京，高等教育出版社， 2008年。八、附录附件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -