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1、1 蒙日圆蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为 蒙日圆 ，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。如图，设椭圆的方程是22221xyab。 两切线 PM 和 PN 互相垂直，交于点 P。 求证：点 P在圆2222xyab上。证明：若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是：,Pab它必定在圆2222xyab上。现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下：:PMykxm1:PNyxnk联 立 两 切 线 方 程 错 误 ！ 未 找 到
2、 引 用 源 。 和 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 可 求 出 交 点P 的 坐 标 为 ：222,11nm knkmPkk从而 P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为：2222222222111nm knkmOPkkn kmk现将 PM 的方程代入椭圆方程，消去y，化简整理得：22222221210kkmmxxabbb由于 PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得：22222211bmmbak对于切线 PN，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得：2222221bnknba为方便起见，令：22222,aA bB mM nN kK这样 错
3、误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。就分别化为了关于M 和 N 的一元一次方程，不难解出：MBAK，ANBK将 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 和 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 代 入 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 ， 就 得 到 ：2221NKMOGABabK证毕。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 例 1.(2014广东 ) 已知椭圆2222:1(0)xyCabab的一个焦点为
4、(5,0)，离心率为53，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点00(,)P xy为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。222220022002255: (1)5,3,954,31.94(2),4( 3, 2),(3, 2).(),(),194(94)18 (cceabacaaxyCxyyyk xxxyyk xxykxk y解椭圆的标准方程为 :若一切线垂直轴 则另一切线垂直于轴 则这样的点 P共 个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴, 设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得 :2000022222200000022220000012202200)9 ()4
5、0,0,(18 ) ()36 ()4 (94)0,4()4(94)0,4(9)240,1,:1,913,( 3, 2),(3, 2)kxxykxkykxykxkykxkyxkx y kyk kxxy依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.Pxy程点 的轨迹方程为例 2. 给定椭圆2222:1(0)xyCabab, 称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆C的“准圆” . 若椭圆 C的一个焦点为, 其短轴上的一个端点到F 的距离为(1) 求椭圆 C的方程和其“准圆”方程; (2) 点 P是椭圆 C的“准圆”上的动点, 过点 P作椭圆的切线 ,21ll 、交“准圆”于点M,N. (
6、) 当点 P为 “准圆”与 y 轴正半轴的交点时, 求直线 ,21ll 、的方程并证明21ll; ( ) 求证 : 线段 MN的长为定值并求该定值. 解：（ 1） c，a， b1，椭圆方程为+y21，准圆方程为x2+y24；（2）（）因为准圆x2+y24 与 y 轴正半轴的交点为P（0，2），设过点 P（0，2）且与椭圆相切的直线为ykx+2，所以由得（ 1+3k2）x2+12kx+90因为直线ykx+2 与椭圆相切，所以144k249（1+3k2） 0，解得 k1，所以直线l1、l2的方程为 yx+2 和 y x+2；且 k1?k2 1， l1l2（） 当直线 l1，l2中有一条斜率不存在时
7、，不妨设直线l1斜率不存在，则 l1：x，当 l1：x时， l1与准圆交于点（，1）和（， 1），此时 l2为 y1（或 y 1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x时，直线 l1，l2垂直； 当 l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中+4；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 设经过点 P（x0，y0）与椭圆相切的直线为yt（xx0）+y0，所以由，得（ 1+3t2） x2+6t（y0tx0）x
8、+330；由 0 化简整理得（ 3）t2+2x0y0t+10，因为+4，所以有（ 3）t2+2x0y0t+（3） 0；设 l1，l2的斜率分别为t1和 t2，因为 l1，l2与椭圆相切，所以 t1，t2满足上述方程（3）t2+2x0y0t+（3） 0，所以 t1?t21，即 l1，l2垂直；综合 知：因为l1，l2经过点 P（x0，y0），又分别交其准圆于点M、N，且 l1，l2垂直；所以线段MN 为准圆 x2+y24 的直径， |MN|4，所以线段MN 的长为定值例 3.（2015 秋?宜昌月考）给定椭圆C：+1（ab0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆 C 的“准圆”若椭圆C 的一个焦点
9、为F（，0），且其短轴上的一个端点到F 的距离为（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）过点（ 1，0）作一条倾斜角为30的直线与椭圆交于A，B 两点若在椭圆上存在一点C 满足 （+），试求 的值；（3）点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线 l1，l2，使得 l1，l2与椭圆 C 都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由【分析】 （1）欲求椭圆C 的方程和其“准圆”方程，只要求出半径即可，即分别求出椭圆方程中的 a，b 即得，这由题意不难求得；（2）确定直线l 的方程，代入椭圆方程并整理，利用韦达定理，结合 （+），求出 C 的坐标，代入椭圆方程，即可
10、求的值（3）先分两种情况讨论： 当 l1，l2中有一条无斜率时； 当 l1，l2都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为yt（xx0）+y0，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x 的二次方程，根据根的判别式等于0 得到一个方程：（3x02）t2+2x0y0t+（x023） 0，而直线 l1，l2的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得l1l2解：（ 1）因为，所以 b1 所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y24（2）过点（ 1，0）作一条倾斜角为30的直线的方程为ytan30（ x1）（x1），代入椭圆方程，并整理得x2x10设 A（x1，y1）， B（x
11、2，y2），则 x1+x21，y1+y2（ x11）+（x21）（x1+x22） （+） （x1+x2，y1+y2） （1，）， C 点坐标为（ ， ），代入椭圆方程，可得+1， 223，解得 （3） 当 l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为 l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当 l1方程为时，此时 l1与准圆交于点，此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y1（或 y 1），即 l2为 y1（或 y 1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线 l1，l2垂直 当 l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中 x02+y024，名师资料总结 - - -
12、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 设经过点P（x0，y0），与椭圆只有一个公共点的直线为yt（xx0）+y0，则，消去 y 得到 x2+3（tx+（y0tx0）230，即（ 1+3t2）x2+6t（y0tx0）x+3（y0tx0）230， 6t（y0tx0）24?（1+3t2）3（y0tx0）230，经过化简得到：（3 x02）t2+2x0y0t+1y020，因为 x02+y024，所以有（ 3x02）t2+2x0y0t+（x023）
13、 0，设 l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为 l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以 t1， t2满足上述方程（3x02）t2+2x0y0t+（x023）0，所以 t1?t21，即 l1，l2垂直例 4. 已知椭圆2222:1(0)xyCabab, 该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为33,离心率为21(1) 求椭圆的方程; (2) 如图 , 若矩形 ABCD 的四条边都与该椭圆相切, 求矩形 ABCD 面积的最大值 . 【分析】 （1）由题意可得：3，a2b2+c2，联立解出即可得出（2）令 A（x0，y0），当 AB 斜率为 0 或不存在时，可得SABCD8当 AB 斜率存在
14、且不为0 时，设 AB 方程： ykx+y0kx0代入椭圆方程可得：（3+4k2）x28k（kx0y0）x+4120，根据 AB 与椭圆相切， 可得 0，化为：k22kx0y0+34k20，同理可得AD 与椭圆相切，可得：+2kx0y0+3k240进而得出解：（ 1）由题意可得：3，a2b2+c2，联立解得 a2，b，c1椭圆的方程为1（2）令 A（x0，y0），当 AB 斜率为 0 或不存在时，可得SABCD8当 AB 斜率存在且不为0 时，设 AB 方程：ykx+y0kx0 代入椭圆方程可得：3x2+4，化为： （3+4k2） x28k （kx0y0） x+4120， AB 与椭圆相切，
15、可得4（ 3+4k2）0，化为： k22kx0y0+34k20， 同理可得 AD 与椭圆相切， 可得2x0y0+340，化为：+2kx0y0+3k240 + 可得：7即 A 点在以原点为圆心，为半径的圆上ABCD 为以原点为圆心，为半径的圆的内接矩形，只有当ABCD 为正方形时面积最大可得SABCD14例 5.（2019 南通二模）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C1
16、：2214xy，椭圆 C2：22221(0)yxabab，C2与 C1的长轴长之比为2 1，离心率相同（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点P为椭圆 C2上一点 射线PO与椭圆 C1依次交于点AB，求证：PAPB为定值； 过点 P 作两条斜率分别为12kk，的直线12ll， ，且直线12ll， 与椭圆C1均有且只有一个公共点，求证：12kk 为定值【分析】 （1）根据题意求出a 和 b 的值，即可写出椭圆C2的标准方程；（2） 讨论直线OP 斜率不存在和直线OP 斜率存在时，分别计算是值即可； 设出点 P 的坐标，写出直线l1和 l2的方程，分别与椭圆C1的方程联立，消去 y 得关于 x 的方
17、程，利用根与系数的关系，结合椭圆方程求出k1?k2的值解：（ 1）设椭圆C2的焦距为 2c，由题意知， a2，a2b2+c2，解得 b，因此椭圆C2的标准方程为1；（2） 1当直线OP 斜率不存在时，PA1，PB+1，则；2当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为 ykx，代入椭圆C1的方程，消去y，得（ 4k2+1）x24，所以 xA2，同理 xP2；所以 xP22xA2，由题意， xP与 xA同号，所以xP，从而，所以为定值； 设 P（x0，y0），所以直线l1的方程为 yy0k1（xx0），即 yk1x+k1y0 x0，记 tk1y0 x0，则 l1的方程为 yk1x+t，代入椭圆C
18、1的方程，消去y，得（ 4k12+1）x2+8k1tx+4t240，因为直线l1与椭圆 C1有且只有一个公共点，所以（ 8k1t）24（4k12+1）（ 4t24） 0，即 4k12t2+10，将 tk1y0 x0代入上式，整理得，（x024）k122x0y0k1+y0210，同理可得，（x024）k222x0y0k2+y0210，所以 k1，k2为关于 k的方程（ x024）k22x0y0k+y0210 的两根，从而k1?k2；又点在 P（x0，y0）椭圆 C2：1 上，所以 y0222，所以 k1?k2为定值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -