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1、1 专题三动态变化问题专题命题规律1动态问题为河北中考的常考点，近8 年共考查 8 次，对动点问题的考查都会结合几何图形的综合考查，且都是以解答题形式出现，分值为912 分2考查类型：(1) 几何图形中的动点问题(2012 年 25 题，2010 年 25 题， 2009 年 26 题) ；(2) 一次函数中的动点问题 (2013 年 23 题) ；(3) 二次函数中的动点问题(2011 年 26 题) 2017预测预计 2017 年河北中考对动态变化问题仍会考查，且图形中的动点问题为重点考查对象，注意解决此类问题常会用到分类讨论思想和数形结合思想，并且一次函数中的动点问题难度会有所降低, 中
2、考重难点突破) 一次函数中的动点问题【经典导例】【例 1】(2013 河北中考 ) 如图， A(0，1) ，M(3，2)，N(4，4)动点 P 从点 A 出发，沿y 轴以每秒1 个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线 l ：y xb 也随之移动，设移动时间为t 秒(1) 当 t 3 时，求 l 的解析式；(2) 若点 M ，N位于 l 的异侧，确定t 的取值范围；(3) 直接写出t 为何值时，点M关于 l 的对称点落在坐标轴上【解析】 (1) ，(2) 求出直线与y 轴的交点，以及P 点坐标与t 之间的关系，用对应的点的坐标代入解析式，即可求出答案；(3) 过点 M作 l 的垂线，求出直线与
3、坐标轴的交点，然后再来计算即可【学生解答】(1) 直线 yxb 交 y 轴于点 P(0，b) ，由题意，得b0，t 0，b1t ，当 t 3 时， b4. y x4；(2) 当直线 yxb 过 M(3，2) 时， 2 3b，解得 b5，51t ， t 4. 当直线 yxb 过 N(4，4) 时， 4 4b，解得 b8. 8 1t ，t 7. 当点M ，N 位于 l 的异侧时， 4t 7；(3)t 1 时，落在y 轴上； t 2 时，落在 x 轴上【方法指导】k、b 对一次函数图象ykxb 的影响：当k0 时， y 随 x 的增大而增大，当k0 时，y 随x 的增大而减小；k决定着一次函数图象的
4、倾斜程度，|k| 越大，其图象与x 轴的夹角就越大；b决定着直线与 y 轴的交点，当b 大于 0 时，交点在y 轴正半轴；当b 小于 0 时，交点在y 轴负半轴；直线ykxb 可以看作由直线ykx 平移 |b| 个单位长度得到( 当 b0 时，向上平移；当b0 时，向下平移 ) ；直线yk1xb1、yk2xb2的几种位置关系：平行：k1k2，b1b2；重合： k1k2，b1b2；关于y 轴对称： k1k20，b1b2；关于 x 轴对称： k1k20，b1b20；垂直： k1k21. 1( 2016 邯郸二十五中一模) 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点 A，B，C 的坐标分别为 (0
5、 ，5), (0 ，2) ，(4，2) ，直线 l 的解析式为y kx 54k(k 0)(1) 当直线 l 经过点 B时，求一次函数的解析式；(2) 通过计算说明：不论k 为何值，直线l 总经过点 D; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 (3) 直线 l 与 y 轴交于点 M ，点 N是线段 DM上的一点，且NBD为等腰三角形，试探究：当函数y kx 54k 为正比例函数时，点N的个数有 _个；点 M在不同位
6、置时，k 的取值会相应变化，点N 的个数情况可能会改变，请直接写出点N 所有不同的个数情况以及相应的k 的取值范围解： (1) 将点 B(0，2) 代入 ykx54k，得 k34. 直线 l 的解析式为y34x2；(2) 由题意可得，点D坐标为 (4 ，5) ，把 x4 代入 ykx54k，得 y5，不论 k 为何值，直线l 总经过点 D；(3) 2；当k2时，有 3 个点；当34k2 时，有 2个点；当 k34时，有 0 个点；当 0 x0，则开口向上，在x21 取最大值 ymaxa(21)24a(21)3a(10 62)a ，又ymax2m221222，(10 62)a 222. 解得a1
7、1827. 若 a0，则开口向下，在 x2 取最 大值 222，即 4a2bc222，解得a 222. 综上，所求a 的值为11827或222. 二次函数中的动点问题【经典导例】【例 2】( 2011 河北中考 )如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点 O出发，沿x 轴向右以每秒1 个单位长度的速度运动t(t 0) 秒，抛物线yx2bxc 经过点 O 和点 P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1，0) ，B(1，5) ，D(4， 0)(1) 求 c、 b；( 用含 t 的代数式表示 ) (2) 当 4 t 5 时，设抛物线分别与线段AB 、CD交于点 M ，N. 在点 P的运动过程中，你认为
8、AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；求 MPN的面积 S与 t 的函数关系式，并求t 为何值时， S218；(3) 在矩形ABCD的内部 ( 不含边界 ) ，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围【解析】 (1) 由抛物线 yx2bxc 经过点 O和点 P，将点 O与点 P的坐标代入方程即可求得c，b；(2) 当x1 时， y1t ，求得点M的坐标，则可求得 AMP 的度数；由SS四边形 AMNPSPAMSDPNS梯形 NDAMSPAM，即可求得关于t 的二次函数，列方程即可求得t 的值； (3)
9、 根据图形，即可直接求得答案，分别分析左边有4，3，2，1，0 个好点时， t 的取值范围【学生解答】(1) 把 x0，y0 代入 yx2bxc，得 c0，再把 xt，y0 代入 yx2bx，得 t2bt 0， t 0， b t ；(2) 不变，抛物线的解析式为：yx2tx ，且点 M的横坐标为1，当 x1 时，y1 t ，M(1，1t) ， AM |1 t| t 1， OP t ， AP t 1， AM AP ， PAM 90， AMP 45；SS四边形AMNPS PAMSDPNS梯形 DNMASPAM12(t 4)(4t16) 12(4t 16) (t 1)33 12(t 1)(t 1)
10、32t2152t 6. 解32t2152t 6218，得 t112，t292， 4t 5， t112( 舍去 ) ，t 92；(3) 左边4 个好点在抛物线上方，右边4 个好点在抛物线下方：无解；左边3 个好点在抛物线上方，右边3 个好点在抛物线下方，则有 4y2 3， 2 y3 1，即 442t 3， 29 3t 1，72t 4 且103t 113，解得72t 113；左边2 个好点在抛物线上方，右边2 个好点在抛物线下方：无解；左边1 个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；左边0 个好点在抛物线上方，右边0 个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t名师资料总结 - - -精品资
11、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 的取值范围是72t 113. 4( 2016 保定八中三模 ) 已知在平面直角坐标系xOy 中， O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0) 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，点C 为线段 AB的中点，现将线段BA绕点 B 按顺时针方向旋转90得到线段BD ，抛物线 yax2bxc(a 0)经过点D. (1) 如图，若该抛物线经过原点O ，且 a13. 求点 D的坐标及该抛物线的解析式；
12、连接CD ，在抛物线上是否存在点P，使得 POB与BCD 互余？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(2) 如图，若该抛物线yax2bxc(a 0)经过点E(1，1) ，点 Q 在抛物线上，且满足 QOB 与BCD 互余，若符合条件的Q点的个数是4 个，请直接写出a 的取值范围 . 解：(1) 过点D 作 DF x 轴于点F, DBF ABO 90， BAO ABO 90， DBF BAO. 又AOB BFD 90， ABBD， AOB BFD(AAS) ， DFBO 1，BFAO 2，点D 的坐标为 (3 ，1). 根据题意得a13，c0，且 a232b23 c1
13、, 解得 b43， 抛物线的解析式y13x243x. 点 C，D的纵坐标都为1, CD x 轴 BCD ABO ，BAO与BCD互余 . 若要使得 POB和BCD互余，则只要满足POB BAO. 设点P的坐标为 (x ，13x243x), i当点 P1在 x 轴上方时，如答图，过点P1作 P1Gx 轴于点 G, 则tanP1OB tanBAO ，即P1GOGBDAO. 13x243xx12，解得 x152，x20( 舍去). 将 x52代入得13x243x54. 点 P1的坐标为 (52，54). ii.当点 P2在 x 轴下方时，如答图，过点P2作 BH x轴于点 H, 则tanP2OB t
14、anBAO ，即P2HOHBOAO. （13x243x）x12，解得x10( 舍去 )x2112.将 x 112代入抛物线解析式得13x243x114. 点 P2的坐标为 (112，114). 综上所述，在抛物线上存在点P，使得 POB与BCD互余，点P 的坐标为 (52，54) 或(112，114) ；(2) 该抛物线yax2bxc(a 0)经过点E(1，1) ，D(3，1) ，抛物线的解析式为ax24ax3a1. 若要使得 QOB和BCD互余，则只要满足 QOB BAO ，据此分a0 两种情况讨论 a 的取值范围为a4154. 5( 2016 河北中考 ) 如图，抛物线L：y12(x t)
15、(xt 4)( 常数 t0) 与 x 轴从左到右的交点为B ，A, 过线段 OA的中点 M作 MP x轴，交双曲线ykx(k0 ，x0) 于点 P，且 OA2MP 12. (1) 求 k 值；(2) 当 t 1 时，求 AB长，并求直线MP与 L对称轴之间的距离；(3) 把 L 在直线 MP左侧部分的图象(含与直线 MP的交点 ) 记为 G，用 t 表示图象 G最高点的坐标；(4) 设 L 与双曲线有个交点的横坐标为x0，且满足 4x06，通过 L 位置随 t 变化的过程，直接写出t 的取值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
16、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 范围解： (1) 设点 P(x ，y) ，则 MP y，由 OA的中点为 M知 OA 2x，代入 OA2MP12，得 2x2y 12，即 xy6，kxy 6；(2) 当 t 1 时，令 y0，012(x 1)(x 3) ，x11，x2 3，由 B 在 A左边， 得 B(3，0)，A(1，0) ， AB 4. L 的对称轴为x 1，而 M为(12，0) ， MP与 L 对称轴的距离为32；(3) A(t ， 0) ，B(t 4，0) ， L 的对称轴为xt 2，又 MP为 xt2
17、. 当 t 2t2，即 t 4 时，顶点 (t 2，2) 就是 G 的最高点；当t 2t2即 t4时，L 与 MP的交点 (t2，18t2t) 就是 G 的最高点； (4)5 t 82或7t 82. 与图形中的动态问题【经典导例】【例 3】( 2016 河北中考 ) 如图， A(5，0)，B(3，0) 点 C在 y 轴的正半轴上，CBO 45， CD AB ，CDA 90 .点 P从点 Q(4，0) 出发，沿 x 轴向左以每秒1 个单位长的速度运动，运动时间为t 秒(1) 求点 C的坐标；(2) 当BCP 15时，求 t 的值；(3) 以点 P 为圆心， PC为半径的P随点 P 的运动而变化，
18、当P与四边形ABCD 的边 ( 或边所在的直线) 相切时，求 t 的值【学生解答】 (1) BCO CBO 45， OC OB 3. 又点C 在 y 轴的正半轴上，点C 的坐标为 (0 ，3) ；(2) 当点 P 在点 B 右侧时，如答图 . 若BCP 15，得 PCO 30. OP OC2tan303，此时 t 43. 当点 P在点 B左侧时，如答图，由 BCP 15，得 PCO 60， t 的值为 43或 433；(3) 由题意知，若P与四边形ABCD的边相切，有以下三种情况：当P与 BC 相切于点C 时，有 BCP 90，从而 OCP 45，得到 OP 3，此时 t 1. 当P与 CD相
19、切于点 C时，有 PC CD ，即点P与点 O重合，此时 t 4. 当P与 AD 相切时，由题意，DAO 90，点A 为切点 PC2PA2(9 t)2，PO2(t 4)2，于是(9 t)2(t 4)232，解得 t 5.6 ， t 的值为 1 或 4 或 5.6. 【方法指导】本题涉及到的知识有矩形的性质、锐角三角函数、圆的切线的相关知识，需要学生根据题目的条件进行分类讨论，从而确定问题的完整答案6( 2016 石家庄四十一中二模) 如图，已知 MON 90， A 是MON内部的一点，过点A 作 AB ON ，垂足为点 B，AB 3 cm，OB 4 cm，动点 E，F 同时从 O点出发，点E以
20、 1.5 cm/s的速度沿 ON方向运动，点F以 2 cm/s的速度沿OM方向运动， EF与 OA交于点 C，连接 AE ，当点 E 到达点 B 时，点 F 随之停止运动设运动时间为t s(t 0) (1) 当 t 1 s时， EOF与ABO是否相似？请说明理由；(2) 在运动过程中，不论t 取何值时，总有EF OA. 为什么？(3) 连接 AF ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得 SAEF12S四边形 AEOF？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
21、 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 解： (1) 相似理由如下：当t 1，OE 1.5 cm，OF 2 cm，则 OE OF 34. AB OB 34，OE OF AB OB.FOE ABO 90， EOF ABO ；(2) 无论t为何值，在运动过程中，EOF ABO ，则FEO OAB. AOB OAB 90，则 AOB FEO 90， OCE 90，即 EF OA ；(3) 存在S四边形 AEOFSAEFSEOF，SAEFSEOF. EF OA ， S EOF12EF2 OC ，SAEF12EF 2 AC ， OC AC ，EF
22、垂直平分OA ， OE AE.OE 32t ，BE 432t ，在RtABE中， AB2BE2AE2， 32(4 32t)294t2，解得 t 2512，当 t 2512时， SAEF12S四边形 AEOF. 7( 2016 广东中考 ) 如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板RtABC与RtADC拼在一起，使斜边 AC 完全重合，且顶点B，D分别在 AC的两旁， ABC ADC 90， CAD 30， ABBC 4 cm. (1) 填空： AD_cm，DC _cm；(2) 点 M ，N 分别从 A点， C 点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD ，CB上沿 AD, CB 的方
23、向运动，当 N点运动到B点时， M ，N两点同时停止运动，连接MN ，求当 M ，N点运动了 x 秒时，点 N到 AD的距离；( 用含 x 的式子表示 ) (3) 在(2) 的条件下，取DC中点 P，连接 MP ，NP ，设PMN的面积为y(cm2) ，在整个运动过程中，PMN 的面积 y 存在最大值，请求出这个最大值. ( 参考数据：sin75624，sin15624) 解： (1)26；22. (2) 过点 N作 NE AD 于点 E，作 NF DC的延长线于点F，则 NE DF.ACD 60， ACB 45， NCF75， CNF 15， FC624x， NE DF624x 22，点N
24、到 AD 的距离为 (624x22)cm；(3) sin75FNNC，FN624x， PDCP 2，PF624x2，S PMNS梯形FNMDSMPDSNPF， y12(624x 26x)(624x22) 12(26x)3212(624x2)2(624x) 即 y268x273224x 23，即 y 是 x 的二次函数：2680，当 x7322423268732262时， y最大值6673102304246. 二次函数与几何图形【经典导例】【例 4】( 2016 益阳中考 ) 如图，顶点为A(3，1) 的抛物线经过坐标原点O，与 x 轴交于点 B. (1) 求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)
25、 过 B作 OA的平行线交y 轴于点 C，交抛物线于点D，求证： OCD OAB ；(3) 在 x 轴上找一点P，使得 PCD的周长最小，求出P点的坐标【解析】 (1) 可设顶点求解析式；(2) 可先利用函数分别求出C，D坐标，从而利用SSS来证明两三角形全等；(3) 可利用轴对称求出C点关于 x 轴的对称点，再利用相似或直线CD 与 x 轴交点，求出P点坐标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 【学生解答】解：
26、 (1) 抛物线顶点为A(3，1) ，设抛物线对应的二次函数的解析式为ya(x 3)21，将原点坐标 (0 ，0) 代入解析式，得a13，抛物线对应的二次函数的解析式为：y13x2233x；(2) 将 y0代入 y13x2233x 中，得 B 点坐标为 (23，0) ，设直线OA对应的一次函数的解析式为ykx，将 A(3，1)代入解析式ykx 中，得 k33，直线OA对应的一次函数的解析式为y33x. BD AO ，设直线BD对应的一次函数的解析式为y33xb，将 B(23，0) 代入 y33xb 中，得 b 2，直线 BD对应的一次函数的解析式为 y33x2. 由y33x2，y13x2233
27、x，得交点 D的坐标为 (3， 3) ，将 x0 代入 y33x2 中，得 C 点的坐标为 (0 ， 2) ，由勾股定理，得：OA 2OC ，AB 2CD ，OB 23OD.在OAB与OCD中，OA OC ，ABCD ，OB OD ，OAB OCD ；(3) 点 C关于 x 轴的对称点C的坐标为 (0 ，2)，则 CD 与 x 轴的交点即为点P ，它使得 PCD 的周长最小过点D 作 DQ y 轴，垂足为点Q，则 PO DQ ， CPO CDQ ，PODQCOCQ，即PO325， PO 235，点 P的坐标为 ( 235，0) 8( 2016 张家口九中二模) 如图，已知抛物线yx2bxc 与
28、 x 轴交于点 A，B，AB 2，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线x2. (1) 求抛物 线的函数解析式；(2) 设 P为对称轴上一动点，求 APC 周长的最值解：(1) AB 2，对称轴为直线x2， A(1，0) ，B(3，0) 抛物线yx2bxc 与 x 轴交于点A，B，1，3 是方程x2bx c0 的两个根由根与系数的关系，得13 b，13 3c， b 4，c3，抛物数的函数解析式为y x24x3；(2) 连接 AC ，BC ，BC交对称轴于点P，连接 PA.由(1) 知抛物线的函数解析式为yx24x3，点 A，B的坐标分别为 (1 ，0) ，(3 ，0) ，点 C 的坐标为 (0 ，
29、3) ， BC323232，AC 321210. 点 A，B 关于对称轴 x2 对称， PAPB ， PA PCPB PC ，此时， PB PC BC ，当 P 点在对称轴上运动时，PA PC 的最小值等于 BC ， APC周长的最小值为AC AP PCAC BC 3210. 直角三角形、等腰三角形、特殊四边形性质问题【经典导例】【例 5】( 2016 漳州中考 ) 如图，抛物线yx2bxc 与 x 轴交于点A 和点 B(3，0) ，与 y 轴交于点C(0，3) (1) 求抛物线的解析式；(2) 若点 M是抛物线在x 轴下方上的动点，过点M作 MN/y 轴交直线 BC于点 N，求线 MN的最大
30、值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 (3) 在 (2) 的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P，使PBN 是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 (1) 可利用待定系数法求二次函数解析式；(2) 要先求出 MN关于 x 的函数解析式，利用函数性质求出MN的最大值； (3) 注意要分类讨论各种情况【学生解答】 (1) 点B(3，0) ，C(0，3)
31、 ，在抛物线yx2bxc 上，抛物线的解析式yx24x3；(2) 令 x24x30，则 x11，x23，设直线 BC的解析式 ykxb. 点 B(3，0) ，C(0，3)在直线 BC上，直线 BC 的解析式yx3，设 N(x， x3)，则 M(x，x24x3)(1x3) ，MN x3(x24x3) x32294， 当x 32时 ， MN 的 最 大 值 为94； (3) 存 在 所 有 点P 的 坐 标 分 别 是 ： P12，3172，P22，3172，P32，142，P42，142，P52，12. 9( 2016 石家庄四十二中模拟) 如图，已知二次函数的图象过点A(0， 3) ，B(3，
32、3) ，对称轴为直线x12，点 P是抛物线上的一动点，过点P分别作 PM x轴于点 M ，PN y 轴于点 N，在四边形PMON 上分别截取PC 13MP ，MD 13OM ，OE 13ON ，NF13NP. (1) 求此二次函数的解析式；(2) 求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF 是平行四边形；(3) 在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由解：(1) 二次函数图象的对称轴为直线y12，设二次函数的解析式为ya(x 12)2k. 点A(0，3) ，B(3，3) 在抛物线上，14ak3，a（312）2k3，解得
33、a1，k134.抛物线的解解析式为y(x 12)2134，即 yx2x 3；(2) 连接CD ， DE ，EF，FC.PM x 轴于点M，PN y 轴于点N，四边形PMON为矩形， PM ON ，PN OM. PC 13MP， OE 13ON， PCOE.MD 13OM ， NF13NP， MD NF， PFOD.在PCF 与OED 中，PC OE ，FPC DOE 90，PFOD. PCF OED(SAS) ， CFDE ，同理可证： CDM EFN ，CD EF.CF DE ，CD EF，四边形CDEF是平行四边形；(3) 假设存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形，设矩形PMON 的边长
34、 PM ON m ， PN OM n，则PC13m ， MC 23m， MD 13n， PF23n. 若四边形CDEF为矩形，则 DCF 90，易证名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 PCF MDC ，PCMDPFMC，即13m13n23n23m，化简得m2n2，m n，即矩形 PMON 为正方形，点P为抛物线yx2x 3 与坐标象限角平分线yx 或 y x 的交 点将yx 代入yx2x3，解得x13，x23，
35、P1(3，3) ，P2( 3，3) 将y x 代入yx2x3，解得x1 3，x21， P3( 3，3) ，P4(1 ，1) ，抛物线上存在点P，使四边形CDEF为矩形，这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：P1(3，3) ，P2( 3，3) ，P3( 3，3) ，P4(1， 1) 10( 2016 唐山模拟 ) 如图，边长为1 的正方形 ABCD 一边 AD在 x 负半轴上，直线l ：y12x2 经过点 B(x ，1) 与 x 轴， y 轴分别交于点H，F，抛物线 y x2bxc 的顶点 E在直线 l 上(1) 求 A， D两点的坐标及抛物线经过A，D两点时的解析式；(2) 当
36、抛物线的顶点E(m ，n) 在直线 l 上运动时，连接EA ，ED ，试求 EAD 的面积 S与 m之间的函数解析式，并写出 m的取值范围；(3) 设抛物线与y 轴交于 Q点，当抛物线顶点E 在直线 l 上运动时，以A，C，E，Q为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由. 解：(1) 直线l ：y12x2 经过点 B(x ，1)， 112x2，解得 x 2， B(2，1) ， A(2，0)，D(3，0) 抛物线经过A，D 两点，42bc0，93bc0，解得，b5，c6，抛物线经过A，D 两点时的解析式为y x25x6；(2) 连接 EA ，ED ，顶点E(m，n
37、)在 直线 l 上， n12m 2， S123 13 (12m 2) 14m 1，即S14m 1(m4)； (3) 如图，若以A，C，E，Q 为顶点的四边形能成为平行四边形，则AC EQ ，AC EQ ，作 EM y轴交过 Q点平行于x 轴的直线于点M ，则 EM QM ， EMQ CDA ， QM AD1，点 E的横坐标为 1. 顶点E在直线l 上， y123 ( 1) 232，或 y123 1252， E(1，32) 或(1 ，52) 又当点E 坐标为 (1 ，52) 时，以 A，C，E，Q为顶点的四边形不能成为平行四边形，E点坐标为 ( 1，32) 11( 2016 潍坊中考 ) 如图，
38、已知抛物线y13x2bxc 经过ABC 的三个顶点，其中点A(0，1) ，点 B(9，10) ，AC x 轴，点 P是直线 AC下方抛物线上的动点(1) 求抛物线的解析式；(2) 过点 P 且与 y 轴平行的直线l 与直线 AB ，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P 的坐标；(3) 当点 P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q ，使得以 C，P ，Q为顶点的三角形与 ABC 相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
39、 - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 解： (1) 把点A(0，1) ，B(9，10) 的坐标代入y13x2bxc，得1c，10133（9）29bc.解得b2，c1.所以，抛物线的解析式是y13x22x1；(2) AC x 轴， A(0，1) ，由13x22x11，解得x1 6，x20，C(6，1) ，设直线AB的解析式是ykxb(k 0)，由1b，10 9kb.解得k1，b1.则直线 AB的解析式是yx1. 设点 P 的坐标为 (m，13m22m 1) ，则点E 为坐标为 (m，m 1)则 EP m 1(13m22m 1) 13m23m.AC EP
40、 ， AC 6，S四边形AECPSAECSAPC12AC 2 EF12AC 2 PF12AC 2 (EFPF)12AC 2 EP 123 63 ( 13m23m) m29m (m92)2814. 又 6m0 ，则当 m 94时，四边形AECP面积的最大值是814，此时点P 的坐标是( 92，54) ；(3) 由 y13x22x113(x 3)22，得顶点P的坐标是 (3， 2)，此时 PF yFyP3，CFxFxC3，则在RtCFP 中，PFCF， PCF 45，同理可求 EAF 45， PCF EAF ，在直线AC 上存在满足条件的点Q，使CPQ1 ABC 或CQ2PABC.可求AB 92，AC 6，CP 32，当 CPQ1 ABC时，设Q1(t1，1) ，由CQ1ACCPAB，得t1663292，解得t1 4. 当CQ2P ABC时，设Q2(t2，1)，由CQ2ABCPAC，得t2692326，解得 t23. 综上，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1( 4，1)或 Q2(3 ，1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -