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1、1 专题四综合实践与探究专题命题规律纵观河北8 年中考：综合实践与探究是河北每年中考的压轴题型结合几何图形如三角形、正方形、圆及正方体考查，一般以简单几何图形的基本性质为出发点进行考查近7 年涉及到的考查形式有2016 年 25 题探索半圆在大半圆内运动规律、2015 年的矩形、半圆为背景探索图形旋转变化中的规律；2014 年以景区内的环形( 正方形) 路为背景，考查一次函数的实际应用、方程、列代数式并比较大小和不等式的实际应用；2013 年以正方体容器为背景考查线段的位置关系、直棱柱的体积、倾斜角、一次函数的实际应用等；2012 年以三角形为背景，考查列代数式及线段之间的距离的最值关系等；2
2、011 年以平行线间的半圆为背景，考查点到直线的距离和旋转角等；2010 年以转动的机械装置为背景，考查点之间的最值、直线与圆的位置关系、点与直线的距离等；2009 年以圆为背景，结合规律探究考查；难度一般较大，考查学生综合能力，具有选拔性解题策略此类题目前几问一般比较简单，解决后面问题往往会套用前面问题的解题思路，则将问题变为从简单逐渐到难的过程，从而解决问题做题时，需要将后面的问题与前面的问题对比，才能轻松得解2017预测预计 2017 年河北中考，依然会以简单几何图形为背景进行运动化，考查学生综合分析以及运用函数、方程、相似等知识解决问题的能力，难度会很大, 中考重难点突破) 探究与拓展
3、【经典导例】【例 1】( 2015 河北中考 ) 平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆 K 如图 1 摆放，分别延长DA和 QP交于点O ，且DOQ 60， OQ OD 3，OP 2，OA AB 1. 让线段 OD及矩形 ABCD 的位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为(0 60) 发现(1) 当 0，即初始位置时，点P_(选填“在”或“不在” ) 直线AB上求当 是多少时， OQ经过点 B? (2) 在 OQ旋转过程中，简要说明 是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；(3) 如图 2，当点 P恰好落在 BC边上时，求a 及 S阴影拓展如图
4、 3，当线段OQ与 CB边交于点M ，与 BA边交于点N时，设 BM x(x 0)，用含 x 的代数式表示BN的长，并求x 的取值范围探究当半圆 K与矩形 ABCD 的边相切时，求sin的值【学生解答】发现 (1) 在，当 0时，如答图，过点P作 OD的垂线 PE交 OD于点 E.在RtOPE中， OEOP cosDOQ OP cos602121OA ，则 A和 E重合，则点P在直线 AB上如答图，连接OB ，则在RtOAB中， OA AB ，则OAB是等腰直角三角形，则 BOA 45，则 POABOA 60 45 15. 即当 15时， OQ 经过点 B；(2) 如图，连接AP ，OP为定值
5、，而OA AP OP ，即可判断当O ，A，P 共线时取得最小值当OP过点 A，即 60时等号成立 AP OP OA 2 11， 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 2 60时， P，A间的距离最小，PA的最小值为1. (3) 如答图，设半圆K与 PC交点为 R，连接 RK ，过点 P作 PH AD 于点 H，过点 R作 RE KQ于点 E. 在RtOPH中， PH AB1，OP 2， POH 30， 60 30 30. AD BC
6、， RPO POH 30，RKQ 23060， S扇 形KRQ60（12）236024，在RtRKE 中， RERK sin6034， S PRK12RE PK316， S阴影24316. 拓展 ： ANO BNM ， OAN MBN ， OAN MBN ，OABMANBN，即1x1BNBN，解得 BN x1x. 如答图，当点Q落在 BC上时， x 取最大值作QF AD 于点 F.BQAF OQ2FM2AO 3212 1221. x的范围是0 x221. 即 BN x1x(0 x221) ；探究半圆 K 与矩形 ABCD 的边相切有三种情况：与BC相切、与AD相切、与CD相切，再依据相切，画出
7、图形，并构造RtOKG ，运用 KOG的正弦的定义，求得KO与 KG即可当半圆K 与 BC相切时，设切点是T，如答图，设直线KT与 AD和 OQ的初始位置所在直线分别相交于点S、O ，作KG OO 于点G ，则KSO KTB90，在RtOSK中， OS OK2SK2（52）2（32）22，在RtOSO 中， SO OS tan6023，KQ 2332，在Rt KGO 中， O30， KG 12KO 334，在RtOGK中，sinKGOK3345243310. 当半圆K 与 AD 相切时，设切点是T，如答图 . 同理可得：sin KGOK12OK5212（O T KT）52（52）2（12）23
8、12562110. 当半圆k 与 CD 相切时，点Q 与点 D 重合，且为切点， 60，sinsin6032，综上，sin 的值是43310或62110或32. 【方法指导】解决本题的难点在于正确分析半圆K与矩形 ABCD 的边相切的三种情况，并借助直角三角形的边角关系求出 的对边与斜边要画出圆相切时的情形，并过圆心K作 OO 的垂线1( 2015 河南中考 ) 如图，在RtABC中， B 90， BC 2AB 8，点 D， E分别是边 BC ，AC的中点，连接 DE.将EDC绕点 C按顺时针方向旋转，记旋转角为. (1) 问题发现当 0时，AEBD_；精品资料 - - - 欢迎下载 - -
9、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 3 当 180时，AEBD_(2) 拓展探究试判断：当0 360时，AEBD的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明(3) 问题解决当EDC旋转至 A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长解：(1) 当0. BC 2AB8， AB 4. 点D，E 分别是边BC ，AC 的中点， DE 12AB 2，AE EC.B 90， AC BC2AB2824245， AE CE 25，AEBD25452. 当180. 由旋转性质可得 CE 25，CD
10、 4. AC 45，BC 8，AEBDAC CEBC CD45258452. 填空：52；52. (2) 当 0 360时，AEBD的大小没有变化 ECD ACB ，ECA DCB. 又ECDCACBC52，ECA DCB ，AEBDECDC52. (3) 如答图 . AC 4，CD AD ， AD AC2CD2（45）24280168. AD BC ， AB DC ，B90，四边形ABCD是矩形， BD AC 45. 如答图，连接AD ，BD，过点 D作 AC的垂线交AC于点 Q，过点 B作 AC的垂线交 AC于点 P.AC 45，CD 4，CD AD ， AD AC2CD2（45）2428
11、0168，在ABC 和CDA中，ABCD ，BCDA ，ACCA.ABC CDA(SSS) ， BP DQ ，BP DQ ，PQ DQ ，四边形BDQP为矩形， BD PQ AC AP CQ 4545451255. 2( 2012 河北中考 ) 如图和图，在 ABC 中，AB13，BC 14，cosABC 513. 探究如图， AH BC于点 H，则 AH _， AC_， ABC的面积 SABC_拓展如图，点D在 AC上( 可与点 A，C重合 ), 分别过点A，C作直线 BD的垂线，垂足为E，F. 设 BD x, AE m ，CFn( 当点 D与 A重合时，我们认为SABD0) . (1) 用
12、含 x，m或 n 的代数式表示SABD及 SCBD；(2) 求(mn) 与 x 的函数关系式，并求(mn) 的最大值和最小值；(3) 对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x 的取值范围发现请你确定一条直线，使得A，B，C 三点到这条直线的距离之和最小( 不必写出过程 )，并写出这个最小值解：探究： 12；15；84. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 4 拓展(1) 由三角形面积公式，得S ABD12mx，SCBD
13、12nx ；(2) 由(1) 得 m 2SABDx，n2SCBDx，m n2S ABDx2S CBDx168x. 由于 AC边上的高为2SABC1528415565， x 的取值范围是565x14. (mn)随 x 的增大而减小，当x565时， (mn)的最大值为15. 当 x14 时， (mn)的最小值为 12；(3)x 的取值范围是x565或 13x14.发现AC所在的直线，最小值为565. 3( 2014 河北中考 ) 某景区内的环形路是边长为800 m的正方形 ABCD ，如图和图 . 现有1 号、 2 号两游览车分别从出口A 和景点C 同时出发， 1 号车顺时针、 2 号车逆时针沿环
14、形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车( 上、下车的时间忽略不计) ，两车速度均为200 m/min. 探究设行驶时间为t min. (1) 当 0t 8时，分别写出1 号车、 2 号车在左半环线离出口A 的路程 y1，y2(m) 与 t(min)的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400 m时 t 的值；, 图图)(2)t为何值时， 1 号车第三次恰好经过景点C ？并直接写出这一段时间内它与2 号车相遇过的次数发现如图，游客甲在BC上的一点 K(不与点 B，C重合 ) 处候车，准备乘车到出口A.设 CK x m. 情况一：若他刚好错过2 号车，便搭乘即将到来的1 号车；情况二：若他刚好错过1
15、 号车，便搭乘即将到来的2 号车比较哪种情况用时较多？( 含候车时间 ) 决策已知游客乙在DA上从 D向出口 A走去，步行的速度是50 m/min. 当行进到 DA上一点 P(不与点 D，A重合) 时，刚好与2 号车迎面相遇(1) 他发现，乘1 号车会比乘2 号车到出口A用时少，请你简要说明理由；(2) 设 PA s(0 s800)m. 若他想尽快到达出口A，根据 s 的大小，在等候乘1 号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？解：探究：(1) 根据题 意得： y1200t(0 t 8) ，y21600200t(0 t 8)，当两车相距的路程是400 m时，可得 |y1y2| 400，即|20
16、0t (1600 200t)|400， (1600 200t) 200t 400 或 200t (1600 200t) 400， t13 或 t25. 答：相遇前，相距400m时，t 为 3 min；相遇后，相距400 m时， t 为 5 min；(2) 第一次经过点 C，从 A到 C，需要 1600200 8 min；第二次经过点C，从 C 到 D到 A，再从 A到 C，需要 16 min；第三次与第二次相同，因此t 8161640(min) 由于两车速度相同，出发时间相同，第一次在B 处相遇，过了 4 min；第二次在D处相遇，过了8 min，第三次在B 处相遇，又过了8 min，因此 (
17、40 4)84,4 ，即415 次答：在40 min内，它与2 号车相遇了5 次发现：解：情况一用时为：8004x20016x200；情况二用时为：8004x20016x200. 16x2001616x200(x 0) ，情况二用时较多决策： (1) 由题意知，此时1 号车正行驶在CD边上，乘1 号车到达点A 的路程小于1 个边长，而乘2 号车的路程却大于3 个边长，所以乘1 号车比乘 2 号车到出口A用时少 ( 两车速相同 ) ； (2) 若步行比乘1 号车用时少，则s508002s200. 解得 s320.当 0s320 时，选择步行同理可得当320s800 时，选择乘1 号车当 s320
18、 时，选择步行或乘1 号车思考与探究【经典导例】【例 2】( 2011 河北中考 ) 如图至图中，两平行线AB ， CD间的距离均为6，点 M为 AB上一定点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 5 思考：如图，圆心为O的半圆形纸片在AB ，CD之间( 包括 AB ，CD)，其直径 MN在 AB上， MN 8，点 P为半圆上一点，设 MOP . 当 _时，点 P到 CD的距离最小，最小值为_探究一：在图的基础上，以点M为旋转中心，在AB
19、 ，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图，得到最大旋转角BMO _，此时点N到 CD的距离是 _探究二：将图中的扇形纸片MOP 按下面对 的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点 M在 AB ，CD之间顺时针旋转(1) 如图，当60时，求在旋转过程中，点P到 CD的最小距离，并请指出旋转角BMO 的最大值；(2) 如图，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD上，请确定 的取值范围 ( 参考数据：sin4934，cos4134，tan3734) 【解析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案探究一：根据MN 8，MO 4，OY 4，得出
20、UO 2，即可得出最大旋转角 BMO 30，此时点N到 CD的距离是 2；探究二： (1) 由已知得出 M与 P的距离为4，PM AB时，点 P到 AB的最大距离是4，从而点 P到 CD的最小距离为6 42，即可得出BMO的最大值； (2) 分别求出 最大值为 OMH OHM 3090以及最小值2MOH ，即可得出的取值范围【学生解答】思考：90，2；解法提示：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当 90时，点 P 到 CD的距离最小，MN 8，OP 4，点 P 到 CD的距离最小值为：642. 探究一： 30，2；解法提示：点 M为旋转中心，在AB，CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到
21、不能再转动为止，如解图. MN 8，MO4，OY 4， UO 2，得到最大旋转角 BMO 30，此时点N到 CD的距离是 2；探究二： (1) 60， MOP 是等边三角形，MO MP 4， PM AB时，点 P 到 AB的最大距离是4，由已知得出M与 P的距离为 4，从而得到点P到 CD的最小距离为64 2，当扇形 MOP 在 AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与 AB相切，切点为M.此时旋转角最大，BMO 的最大值为90； (2) 如解图，由探究一可知，点 P是MP与 CD的切点时， 达到最大，即OP CD ，此时，延长PO交 AB于点 H ，最大值为 OMH OHM 3090 120
22、. 如解图，当点P 在 CD上且与 AB距离最小时， MP CD ，达到最小，连接MP ，作 OH MP于点H，由垂径定理，得MH 3，在RtMOH中， MO 4，sinMOH MHOM34， MOH 49. 2MOH ， 最小为 98. 的取值范围是98 120. 4( 2016 石家庄二十八中二模) 问题提出学习了三角形全等的判定方法( 即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法( 即“HL”) 后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究初步思考我们不妨将问题用符号语言表示为：在ABC和DEF中， AC DF ，BCEF ， BE
23、，然后，对B 进行分类，可分为“B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究深入探究第一种情况：当B是直角时， ABC DEF. (1) 如图，在 ABC 和DEF ， AC DF，BC EF， BE 90，根据 _可以知道RtABC RtDEF. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 6 第二种情况：当 ABC 是钝角时， ABC DEF. (2) 如图，在 ABC和DEF 中， AC DF，BCEF， ABC DEF ，且B、E都是钝角
24、，求证：ABC DEF.第三种情况：当 ABC 是锐角时， ABC和DEF不一定全等(3) 在ABC 和DEF 中， AC DF，BCEF， BE，且B、E都是锐角，请你用尺规在图中作出DEF ，使 DEF 和ABC不全等 ( 不写作法，保留作图痕迹) (4) B还要满足什么条件，就可以使ABC DEF ？请直接写出结论：在 ABC和DEF 中， ACDF ，BC EF， BE，且 B、E都是锐角，若 _，则ABC DEF.解： (1)HL；(2) 如答图，过点C作 CG AB交 AB的延长线于G ，过点 F作 FH DE交 DE的延长线于H.ABC DEF ，且 ABC， DEF 都 是 钝
25、角 ， 180 ABC 180 DEF， 即 CBG FEH， 在 CBG 和 FEH 中 ，CBG FEH ，GH 90，BC EF. CBG FEH(AAS) ， CG FH，在Rt ACG和Rt DFH中，AC DF ，CG FH.RtACG RtDFH(HL) ， AD，在 ABC 和DEF中，AD，ABC DEF ，AC DF.ABC DEF(AAS) ；(3) 如答图，以点C为圆心，以 AC长为半径画弧，与AB相交于点 D，E与 B重合， F 与 C重合，得到 DEF 与和ABC不全等； (4) 本题答案不唯一如 BA，则ABC DEF.5( 2016 邯郸二十三中二模)某数学兴趣
26、小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB 8. 问题思考如图，点P为线段 AB上的一个动点，分别以AP ， BP为边在同侧作正方形APDC 与正方形 PBFE. (1) 在点 P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果是，求出这个值；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值(2) 分别连接AD ，DF，AF，AF 交 DP于点 K，当点 P运动时，在 APK ， ADK ， DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由问题拓展(3) 如图，以AB为边作正方形ABCD ，动点 P ， Q在正方形 ABCD的边上运动，且PQ 8. 若点 P从点 A 出发，沿ABCD的线路，向D 点运动
27、，求点P 从 A 到 D 的运动过程中，PQ的 中点 O 所经过的路径的长(4) 如图，在“问题思考”中，若点M ，N是线段 AB上的两点，且AM BM 1，点 G ， H分别是边 CD ，EF的中点请直接写出点P从 M到 N的运动过程中，GH的中点 O所经过的路径的长及OM OB的最小值解：问题思考(1) 当点 P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值设AP x，则 PB 8x，根据题意得这两个正方形面积之和为x2(8 x)22x216x642(x 4)2 32，当 x4 时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32；(2) 存在两个面积始终相等的三角形，它们是APK与DFK.依题意画出图
28、形，如图所示精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 7 设 AP a，则PB BF8a. PE BF ，PKBFAPAB，即PK8aa8， PKa（8a）8， DK PD PK aa（8a）8a28， S APK12PK PA12a（8a）8 aa2（8a）16， S DFK12DK EF12a28 (8 a) a2（8a）16， SAPKS DFK；问题拓展(3) 当点 P从点 A出发，沿ABCD 的线路，向点D 运动时，不妨设点Q在
29、DA边上，若点P在点 A，点 Q在点 D，此时 PQ的中点 O即为 DA边的中点；若点Q在 DA边上，且不在点D，则点 P 在 AB上，且不在点A. 此时在RtAPQ中， O为 PQ的中点， AO 12PQ 4. 点 O在以 A 为圆心，半径为4，圆心角为90的圆弧上PQ 的中点O 所经过的路径是三段半径为4，圆心角为90的圆弧，如图所示PQ 的中点 O所经过的路径的长为：34246 ；(4) 如答图所示，分别过点G作 GR AB 于点 R，过点 O作 OS AB 于点 S，过点 H 作 HT AB 于点 T.点 O为线段 GH中点，四边形GRTH为直角梯形，OS 12(GRHT)12(APP
30、B)4，即 OS的长度为定值，点O的运动路径在与AB距离为 4 的平行线上 MN 811 6，点 P 在线段 MN上运动，且点O为线段 GH的中点，点O的运动路径为线段XY ，XY 12MN 3，点 P从 M到 N的运动过程中， GH所经过的路径长为3. XY AB 且平行的距离为4，如答图所示，作M点关于 XY所在直线的对称点 M ，连接 MM ， M B，根据对称点之间的线段被对称轴垂直平分性质可得OM OM ， OM OB的最小值为M B的长度，在RtM MB中，由勾股定理得： MM 2MB2M B2，M B（42）2（ 81）2113，OM OB的最小值为113. 6( 2015 湖州
31、中考 ) 数学活动课上，某学习小组对有一内角为120的平行四边形ABCD( BAD 120) 进行探究：将一块含60的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60角的顶点始终与点C 重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB ，AD于点 E，F(不包括线段的端点) (1) 初步尝试如图 1，若 ADAB ，求证： BCE ACF ，AE AF AC；(2) 类比发现如图 2，若 AD2AB ，过点 C作 CH AD于点 H，求证： AE 2FH ；(3) 深入探究如图 3，若 AD3AB ，探究得：AE 3AFAC的值为常数t ，则 t _精品资料 - - - 欢迎下载
32、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 8 证明： (1) 在平行四边形ABCD中， BAD 120， D B 60 . AD AB ， ABC和ACD均为等边三角形，BCAD 60， ACB 60 ，BCAC.ECF 60， BCE ACE ACF ACE 60， BCE ACF ， BCE ACF ； BCE ACF ，BE AF， AE AFAE BE AB AC ； (2) 设DH x，由题易得CD 2x，CH 3x， AD 2AB 4x， AH AD DH
33、3x. CH AD ， AC AH2CH223x，AC2CD2AD2， ACD 90， BAC ACD 90， CAD 30， ACH 60. ECF 60，HCF ACF ACE ACF ，HCF ACE ， ACE HCF ，AEFHACCH 2，AE2FH ； (3)7. 7( 2016 河北石家庄二十八中三模) 如图 1，AB是半圆 O的直径，以OA为直径作半圆C，P 是半圆 C上的一个动点 ( 点 P与点 A，O不重合 ) ，AP的延长线交半圆O于点 D，其中 OA 4. (1) 判断线段AP与 PD的大小关系，并说明理由；(2) 连接 OD ，当 OD与半圆 C相切时，求 AP的长
34、；(3) 过点 D 作 DE AB ，垂足为E(如图 2) ，设 AP x，OE y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出x 的取 值范围解： (1)AP PD.理由如下：如图，连接OP.OA 是半圆 C 的直径， APO 90，即 OP AD. 又 OA OD ，AP PD ；(2) 如图，连接PC ，OD.OD是半圆 C 的切线， AOD 90 .则(1) 知，AP PD.又 AC OC ， CP OD ， ACP AOD 90， AP的长为902180；(3) 分两种情况：当点E 落在 OA上( 即 0 x22) 时，如图所示，连接OP ，则 APO AED. 又AA，APO AED ，APAEAOAD. AP x， AO 4，AD 2x，AE4y，x4y42x， y12x24(0 x22) ；当点 E 落在线段 OB上( 即 22x4) 时，如图所示，连接OP.同，可得 APO AED ，APAEAOAD. APx，AO 4，AD2x ， AE 4 y，x4y42x， y12x2 4(22x4) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -