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1、中考专题复习之相似三角形（二）知识考点：本节知识主要包括相似三角形、相似多边形的性质及应用精典例题：【例 1】如图，在 ABC 中， AB14cm，95BDAD，DEBC，CDAB ，CD12cm，求 ADE 的面积和周长。分析： 由 AB14cm，CD12cm 得ABCS84，再由 DEBC 可得 ABC ADE ，有2ABADSSABCADE可求得ADES，利用勾股定理求出BC、AC ，再用相似三角形的性质可得ADE 的周长。答案： ADE 的面积为775cm2，周长为15 cm。例 1 图EDCBA例 2 图QPMFEDCBA变 式1 图PNMCBA【例 2】如图，正方形DEMF 内接于
2、 ABC ，若1ADES，4DEFMS正方形，求ABCS分析： 首先利用正方形的面积求出其边长，过 A 点作 AQ BC 于 Q，交 DE 于 P，利用ADES可得 AP 及 AQ 的长，再由 ADE ABC 求出 BC，从而求得ABCS。解：正方形的面积为4， DEMF 2。过 A 点作 AQBC 于 Q，交 DE 于 P 1ADES， AP1 DEBC， ADE ABC ，BCDEAQAP，即BC231BC6，故ABCS9 变式 1：如图， 已知菱形AMNP 内接于 ABC ，M、N、P 分别在 AB 、BC、AC 上，如果 AB21 cm，CA 15 cm，求菱形 AMNP 的周长。答案
3、： 35 cm 变式 2：如图，在ABC 中，有矩形DEFG，G、F 在 BC 上， D、E 分别在 AB 、AC 上， AH BC 交 DE 于 M，DGDE12， BC12 cm，AH 8 cm，求矩形的各边长。变式 2 图HMDEFGCBA3S2S1S例 3 图TRNMPCBA问题一图PNMDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 答案：724cm，748cm 【例 3】如图，已知P 为 ABC 内一点，过P
4、 点分别作直线平行于ABC 的各边，形成小三角形的面积1S、2S、3S，分别为4、9、49，求 ABC 的面积。解： 设 MPp， RTr， PNq， 由于1S、2S、3S都相似于 ABC ， 设 ABC 的面积为S， ABc， 则有cqS2，cpS3，crS7，三式相加得：1732cccrqpS12S，故144S探索与创新：【问题一】如上图，在四边形ABCD 中， AD BC，AD a，BC b，过 BD 上一点 P 作 MN BC 交 AB 、DC于 M、N，若 AM MBmn。（1）计算 PM、PN 的长；（2）当abmn时， PM 与 PN 有怎样的关系？（3）在什么条件下才能得到MN
5、 )(21ba。略解：（ 1） MN BC，AD BC， BPM BDA ， DPN DBC BABMDAPM，ABAMDCDNBCPN又 AM MB mn， BM AB n)(nmAM AB m)(nmanmnPM，bnmmPN（2）anmnPM，bnmmPN当mbna，即abmn时，才有PMPN；（3） MN PMPNnmmbna，由nmmbnaba)(21可得：0)(nmba从而0ba或0nm故当ba，且四边形ABCD 为平行四边形时，MN )(21ba或nm且 MN 为梯形（或平行四边形）的中位线时， MN )(21ba。【问题二】如图，已知梯形ABCD 中， AD BC，AD 、BC
6、 的长度分别为a、b)(ba，梯形ABCD 的高未给出，在这样的图形中，是否总可以作一条平行于两底的截线EF（点 E、F 分别在 AB 、CD 上），使EF 把梯形 ABCD分割成面积相等的两个梯形？如果可以分割，EF 的长度如何求？试求出EF 的长度。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 解：延长BA、CD 相交于点O，设 EFx， OAD 的面积为0S，梯形 ABCD 的面积为S2，AD EF， OEF OAD 2
7、ADEFSSOADOEF，即2200axSSS整理得2201axSS同理 OBC OAD ，22002abSSS，整理得22021abSS，由消去0SS得：222221abax即2222bax，0 x，222bax，即 EF222ba跟踪训练：一、填空题：1、如图，在梯形 ABCD 中，AD BC， AC 、BD 交于 O 点，AD BC35，则 AOOC，AODSBOCS，AODSAOBS。2、把一张矩形的纸片对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为。3、两个相似三角形面积之差为9cm2，对应角平分线的比是23，这两个三角形的面积分别是。第 1 题 图ODCBA第 4 题
8、图FEGDCBA4、如图， ABC 中， DEFGBC，如果 AD DFFB123，则DFGES四边形FBCGS四边形。二、选择题：1、如图，在正方形ABCD 中，点 E 在 AB 边上，且 AEEB21，AFDE 于 G 交 BC 于 F，则 AEG 的面积与四边形 BEGF 的面积之比为（）A、12 B、14 C、4 9 D、23 第 1 题图FEGDCBA第 2 题图OEDCBA2、如图，已知DEBC， CD 和 BE 相交于点 O，DOESCOBS49，则 AEEC 为（）ba问题二图OEFDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
9、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - A、21 B、23 C、4 9 D、54 3、在 ABC 中， D 为 AC 边上一点， DBC A，BC6，AC 3，则 CD 的长为（）A、1 B、23C、2 D、25三、解答题：1、如图已知，在ABC 中， AB 5，AC 6，BC7，点 D、E 分别在 AB、AC 上， DEBC，且 ADE 的周长与四边形 BCED 的周长相等，求DE 的长。2、如图，等腰直角ABC 中， BAC 900，D、E 分别为 AB 、AC 上一点，且BD31AB，AE31AC ，
10、。求证： ADE EBC。第 1 题图EDCBA第 2 题图EDCBA第 3 题图FEDCBA3、已知如图， 正方形 ABCD 中，AB 2，E 是 BC 的中点， DFAE，F 为垂足，求 DFA 的面积1S和四边形 CDFE的面积2S。4、在 ABC 中， AB8cm，BC 16 cm，点 P从 A 点开始沿 AB 边向点 B 以 2 cm秒的速度移动，点Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 4 cm秒的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发， 经过几秒之后， PBQ 与 ABC相似？这样的三角形有几个。跟踪训练参考答案一、填空题：1、35，925，35；2、12；3、18 cm2，27 cm2；4、827；二、选择题： CAC 三、解答题：1、1163；2、提示：过E 点作 EF BC 于 H，证 DAE BHE 较容易；3、8 .01S，2 .22S；4、2 秒或 0.8 秒，这样的三角形有两个。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -