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1、第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分 定积分 在一切理论成就在一切理论成就中，未必再有什么象中，未必再有什么象1717世纪下半叶微积分世纪下半叶微积分的发现那样被看作人的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那的和唯一的功绩，那也就是正是在这里。也就是正是在这里。恩格斯恩格斯第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的近似计算定积分的近似计算定积分的概念与性质 第五五章 四、四、 定积分的性质定积分的性质一、定积分问题举例一、定积
2、分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfy，轴及x以及两直线bxax,所围成 , 求其面积 A .?A)(xfy 矩形面积ahhaahb梯形面积)(2bahab思路与方法：思路与方法：变“曲”为“直”，首先用小矩形面积的和近似取代曲边梯形面积，再通过极限得到面积的精确值。 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）abxyoxyo 问题问题1：如何找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题。 观察下列演示
3、过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系 显然，分的越细，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积1xix1ixxabyo解决步骤解决步骤 :1) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 常代变常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得)()(1iiiiiixxxxfA),2, 1,nii3) 近似和近似和.niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限. 令, max1ini
4、x则曲边梯形面积niiAA10limniiixf10)(limxabyo1xix1ixi2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步骤解决步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得iiitvs)(,1,21个分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni已知速度n 个小段过的路程为 问题2：当速度 v 随时间 t 而变化时：v = v (t) ，如何求出物体在时间段 a ,
5、 b 上运动的距离？3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限01lim()niiiAfx曲边梯形的面积abxo二、定积分定义二、定积分定义( ) , ,f xa b设定义在上连续的若对,ba任一种分法,210bxxxxan,1iiixxx令任取, ,1iiixxi时只要0max1inixiniixf1)(总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数)(xf在区间,ba上的定积分定
6、积分,1xix1ixbaxxfd)(即baxxfd)(iniixf10)(lim此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .记作baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba(1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,而与积分变量用什么字母表示无关 , 即baxxfd)(battfd)(bauufd)(注意：注意：（2）在定积分的定义(baf x dx）01lim()niiifx 中为什么极限过程是 0 而不是 n ?abxy01 ixixi)(xfy )(if 只有 0 ，才能保证每个小区间的长度趋于 0 从而小矩形的面积
7、接近窄曲边梯形的面积。 而分点的个数 n 则不能保证（如右图）0 xbay1x2x3x)(xfy 定积分的几何意义定积分的几何意义:Axxfxfbad)(,0)(曲边梯形面积baxxfxfd)(,0)(曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和A几何意义：几何意义： 物理意义：物理意义：物体以变速 v = v (t)作直线运动，在时间段 a , b 上经过的路程： batdtvs)(介于 x 轴, 直线 x = a , x = b 及曲线y = f (x) 之间的各部分面积的代数和。其中，在 x 轴上方的面积取正，下方的面积取负。o1
8、xyni定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 可积的充分条件可积的充分条件:(证明略)例例1. 利用定义计算定积分.d102xx解解: 将 0,1 n 等分, 分点为niix ), 1 ,0(ninix1,nii取),2, 1(ni.,)(可积在baxf2xy iiiixxf2)(则32nio1 xyniiinixf)(1niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nniniixxx120102limdnlim31)12)(11 (61nn2xy 注注注注 利用,133) 1(233nnn
9、n得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加, 得1) 1(3n)21 ( 3nn即nnn3323nii12332) 1( nnnnii1261) 12)(1(nnn)21 ( 3222n思考思考dxx1021计算积分义知，该积分值等于解：由定积分的几何意的面积（见下图）所围及轴，曲线10,12xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102dxx所以121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2. 用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:
10、ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni三三. 定积分的近似计算定积分的近似计算, ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(xyxyxyn110)(110nnabyyy将 a , b 分成 n 等份: Oabxyix1ix1. 左矩形公式)(21nnabyyybaxxfd)(xyxyxyn21例12. 右矩形公式baxxfd)(xyyii211)()(21110nnyyyynab11niabxOyix1ixay
11、Obx12 ixix222 ixmx20 xbaxxfd)(imiimimyyyymab21112120246推导推导3. 梯形公式4. 抛物线法公式抛物线法公式的推导抛物线法公式的推导baxxfd)(等分，分成将mnba2,xyyyiii2)4(6121222)4(621222iiiyyymab上作抛物线(如图)4(6212221iiimiyyymabimiimimyyyymab21112120246,222iixx在ayObx12 ixix222 ixmx20 x则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得：例例3. 用梯形公式和抛物线法公式xxId14102解解: :计算yi(见右表)的近似
12、值.13993. 3I14159. 3Iixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取 n = 10, 计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为1415926. 3d14102xxI计算定积分四、定积分的性质四、定积分的性质对定积分的补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小即：定积分的上、下限互换时，定积分变号。证证 ( )( )
13、baf xg x dx01lim ()()niiiifgx01lim()niiifx 01lim()niiigx ( )baf x dx( ).bag x dx此性质可此性质可以推广到以推广到有限多个有限多个函数代数函数代数和的情况和的情况性质性质1 1性质性质2 2证证( )bakf x dx01lim()niiikfx 01lim()niiikfx 01lim()niiikfx ( ).bakf x dx( )d( )d( )dbcbaacf xxf xxf xx证证: 当bca时,因)(xf在,ba上可积 ,所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是,)(baiixf,)(ca
14、iixf,)(bciixfabc0令baxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(性质性质3 3abc当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(（定积（定积分对于分对于积分区积分区间具有间具有可加性）可加性）性质性质4 4性质性质5. 若在 a , b 上0)(1iinixf则.0d)(xxfba证证:,0)(xfbaxxfd)(0)(lim10iinixf推论推论1. 若在 a , b 上, )()(xgxf则xxfbad)(xxgbad)(说明
15、：说明：如果 f (x) 和 g (x) 在 a , b 上都连续，f (x) g (x) , ( )( )()bbaaf x d xg x d xab 则进一步有有( )( )f xg x且例例1：比较积分21lnxd x22211(ln )lnxd xxdx因此解：解： 因为在区间 1 ，2 上，0ln1x21 ,(ln )ln,xxx且除外 恒有221(ln ) xdx和的大小。练习：练习：1.比较积分10ln 1+x d x（）10 xd x和的大小。2。设444000lnsin,lncot,lncosIxdx Jxdx Kxdx则I,J,K的大小关系为2011数学一推论推论2.xxf
16、bad)(xxfbad)(证证:)( xf)(xf)(xf)(ba xxfxxfxxfbababad)(d)(d)(即xxfxxfbabad)(d)(说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的.性质性质6 (估值定理估值定理), )(min, )(max,xfmxfMbaba则)(d)()(abMxxfabmba)(ba 设证证( ),mf xM( ),bbbaaamdxf x dxMdx()( )().bam baf x dxM ba（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）该性质有明显的几何意义该性质有明显的几何意义解解31( ),3sinf xx0, ,x3
17、0sin1,x3111,43sin3x3000111,43sin3dxdxdxx301.43sin3dxx例例3. 试证:.2dsin120 xxx证证: 设)(xf,sinxx则在),0(2上 , 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx性质性质7. 积分中值定理积分中值定理, ,)(baCxf若则至少存在一点, ,ba使)(d)(abfxxfba证证:,)(Mmbaxf别为上的最小值与最大值分在设则由性质性质6 可得Mxxfabmbad)(1根据闭区间
18、上连续函数介值定理,上至少存在一在,ba, ,ba点使xxfabfbad)(1)(因此定理成立.oxbay)(xfy 说明说明:.都成立或baba 可把)(d)(fabxxfba.,)(上的平均值在理解为baxf故它是有限个数的平均值概念的推广. 积分中值定理对abxxfbad)(因nabfabniin)(lim11)(1lim1niinfn例例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度v2211TgT2TgTttg0d01Totgv vTt221TgS 解：解：由积分中值定理知有 ,2,x x使23sin( )xxtf t
19、dtt3sin( )(2),fxx 23limsin( )xxxtf t dtt32 limsin( )f2 lim 3 ( )f. 6 内容小结内容小结1. 定积分的实质 乘积和式的极限矩形公式 梯形公式近似计算2.定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3. 定积分的性质 积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式（注意估值性质、积分中值定理的应用）4. 典型问题（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小思考、判断题思考、判断题必有界。在则上可积在若,)(,)(. 1baxfbaxf必可积。在则上有界在若,)(,)(. 2baxfba
20、xf必可积。在则上连续在若,)(,)(. 3baxfbaxf提示举例：为无理数，为有理数xxxf0, 1)(为无理数，为有理数xxxg1, 0)(01xn1n2nn 1思考与练习思考与练习 用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn) 1( 0 x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx思考思考: 如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx极限为 0 ! 高数A