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1、-!直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图3211如图321，直线lm，在直线l上取两点A、B，在直线m上取两点C、D，向量与有怎样的关系？【提示】.2如图直线l平面，直线lm，在直线m上取向量n，则向量n与平面有怎样的关系？【提示】n.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量.空间中平行关系的向量表示线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmab(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)线面平行设l的方向向量为a(a1，b1，c1)，的法向
2、量为u(a2，b2，c2)，则lau0a1a2b1b2c1c20面面平行设，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uv(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)求平面的法向量图322已知ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，试建立适当的坐标系(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向量(2)求平面SCD的一个法向量【自主解答】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(，0,0)，S(0,0,1)(1)SA平面ABCD，(0,0,1)
3、是平面ABCD的一个法向量ADAB，ADSA，AD平面SAB，(，0,0)是平面SAB的一个法向量(2)在平面SCD中，(，1,0)，(1,1，1)设平面SCD的法向量是n(x，y，z)，则n，n.所以得方程组令y1得x2，z1，n(2，1,1) 1若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量2一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n(x，y，z)(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量3在利用
4、上述步骤求解平面的法向量时，方程组有无数多个解，只需给x，y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图323所示的空间直角坐标系中，求：图323(1)平面BDD1B1的一个法向量(2)平面BDEF的一个法向量【解】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)(1)连AC，因为AC平面BDD1B1，所以(2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量(2)(2,2,0)
5、，(1,0,2)设平面BDEF的一个法向量为n(x，y，z)令x2得y2，z1.n(2，2,1)即为平面BDEF的一个法向量.长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E2EB1，BF2FA1.求证：EFAC1.【自主解答】如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DAa，DCb，DD1c，则得下列各点的坐标：A(a,0,0)，C1(0，b，c)，E(a，b，c)，F(a，c)(，)，(a，b，c)，.又FE与AC1不共线，直线EFAC1.利用向量法证明线线平行的方法与步骤：图324如图324所示，在正方体AB
6、CDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点求证：四边形AEC1F是平行四边形【证明】以点D为坐标原点，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E(0,0，)，C1(0,1,1)，F(1,1，)，(1,0，)，(1，0，)，(0,1，)，(0,1，)，又FAE，FEC1，AEFC1，EC1AF，四边形AEC1F是平行四边形.利用空间向量证明线面平行图325如图325，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1平面DBC1.【自主解答】以A为坐标原点建立空间直角坐标系设正三棱柱的底面边长为a(a0)，侧棱长为b(b0)，则A
7、(0,0,0)，B(a，0)，B1(a，b)，C1(0，a，b)，D(0，0)，(a，b)，(a,0,0)，(0，b)设平面DBC1的一个法向量为n(x，y，z)，则不妨令y2b，则n(0,2b，a)由于nabab0，因此n.又AB1平面DBC1，AB1平面DBC1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA
8、12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点求证：CE平面C1E1F.【证明】以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图设BC1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，2)设平面C1E1F的法向量为n(x，y，z)，(1，0)，(1,0,1)，即取n(1,2,1)(1，1,1)，n1210，n，且平面C1E1F.CE平面C1E1F.向量法证明空间平行关系图326(12分)如图326，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EFAB，EFFB，AB2EF，BFC90，BFFC
9、，H为BC的中点求证：FH平面EDB.【思路点拨】先通过推理证明FH平面ABCD，建立空间直角坐标系，再设证明、共面【规范解答】四边形ABCD是正方形，ABBC，又EFAB，EFBC.又EFFB，EF平面BFC.EFFH，ABFH.2分又BFFC，H为BC的中点，FHBC.FH平面ABC.4分以H为坐标原点，为x轴正方向，为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系设BH1，则B(1,0,0)，D(1，2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1).6分(0,0,1)，(1，1,1)，(2，2，0)，设(1，1,1)(2，2,0)(2，2，)8分(0,0,1)(2，2，)，解得10分向量，共面又HF
10、不在平面EDB内，HF平面EDB.12分【思维启迪】1.建立空间直角坐标系，通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件2证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定理的条件要找全1利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题2证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明1若A(1,0,1)，B(1,4,
11、7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A(1,2,3)B(1,3,2)C(2,1,3) D(3,2,1)【解析】(2,4,6)2(1,2,3)【答案】A2下列各组向量中不平行的是()Aa(1,2，2)，b(2，4,4)Bc(1,0,0)，d(3,0,0)Ce(2,3,0)，f(0,0,0)Dg(2,3,5)，h(16,24,40)【解析】b(2，4,4)2(1,2，2)2a，ab，同理：cd，ef.【答案】D3设平面内两向量a(1,2,1)，b(1,1,2)，则下列向量中是平面的法向量的是()A(1，2,5) B(1,1，1)C(1,1,1) D(1，1，1)【解析】平面的法向量应当与a
12、、b都垂直，可以检验知B选项适合【答案】B4根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a(1，3，1)，b(8,2,2)；(2)平面，的法向量分别是u(1,3,0)，v(3，9，0)；(3)直线l的方向向量，平面的法向量分别是a(1，4，3)，u(2,0,3)【解】(1)ab18(3)2(1)20，l1l2.(2)v(3，9,0)3(1,3,0)3，.(3)a、u不共线，l不与平行，也不在内又au70，l与不垂直故l与斜交.一、选择题1(2013吉林高二检测)l1的方向向量为v1(1,2,3)，l2的方向向量v2(，4,6)，若
13、l1l2，则()A1B2C3D4【解析】l1l2，v1v2，则，2.【答案】B2(2013青岛高二检测)若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内【解析】，、共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内【答案】D3已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1) B(1,3，)C(1，3，) D(1,3，)【解析】对于B，(1,4，)，则n(3,1,2)(1,4，)0，n，则点P(1,3，)在平面内【答案】B4已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的
14、一个法向量的单位向量是()A(1,1,1)B(，)C(，)D(，)【解析】设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，(0，1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，则xyz，又单位向量的模为1，故只有B正确【答案】B图3275如图327，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则()A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上正确说法的个数为()A1B2C3D4【解析】，所以A1MD1P，由线面平行的判定定理可知，A1M面DCC1D1，A1M面D1PQB1.正确【答案】C二、填空题6(20
15、13泰安高二检测)已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为(1，2)，且l，则m_.【解析】l，l的方向向量与的法向量垂直，(2，m,1)(1，2)2m20，m8.【答案】87已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，5)，点P(x，1,3)在平面ABC内，则x_.【解析】(2,2，2)，(1,6，8)，(x4，2,0)，由题意知A、B、C、P共点共面，(2，2，2)(，6，8)(2，26，28)而x42，x11.【答案】118下列命题中，正确的是_(填序号)若n1，n2分别是平面，的一个法向量，则n1n2；若n1，n2分别是平面，的一个法向量，则 n1n20；若n是平面
16、的一个法向量，a与平面共面，则na0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【解析】一定正确，中两平面有可能重合【答案】三、解答题图3289已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如图328所示)，并且k，k，k，m，m.求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面；(2)；(3)k.【解】(1)由m，m，知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面(2)mm()k()km()kkmk(m)k，.(3)由(2)知kkk()k.k.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量【证明】设正方体的棱长
17、为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E(1,1，)，D1(0,0,1)，F(0，0)，A1(1,0,1)，(0,1，)，(0，1)，(1,0,0)(0,1，)(0，1)0，又0，.又A1D1D1FD1，AE平面A1D1F，是平面A1D1F的法向量图32911如图329，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN平面OCD.【证明】作APCD于点P.如题图分别以AB、AP、AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，0)，D(，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1，0).(1，1)，(0，2)，(，2)设平面OCD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0.即，取z，则y4，x0，得n(0,4，)n(1，1)(0,4)0，MN平面OCD.