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1、题型四反比例函数与一次函数综合题 针对演练1. 如图，一次函数ykx1(k0)与反比例函数y(m0)的图象有公共点A(1，2)，直线lx轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B，C，连接AC.(1)求k和m的值；(2)求点B的坐标；(3)求ABC的面积 第1题图2. 已知正比例函数y2x的图象与反比例函数y(k0)在第一象限内的图象交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点P，已知OAP的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；(2)有一点B的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x轴上是否存在一点M，使得MAMB最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 第2题图3
2、. 如图，反比例函数的图象与一次函数ykxb的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1、2，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D.(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数，当y1时，写出x的取值范围；(3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P，使得SODP2SOCA？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 第3题图4. (2016巴中10分)已知，如图，一次函数ykxb(k、b为常数，k0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y(n为常数且n0)的图象在第二象限交于点C.CDx轴，垂足为D.若OB2OA3OD6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
3、(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kxb的解集 第4题图5. 如图，点A(2，n)，B(1，2)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；(3)若C是x轴上一动点，设tCBCA，求t的最大值，并求出此时点C的坐标 第5题图6. 如图，直线y1x1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2(x0)的图象交于点P，过点P作PBx轴于点B，且ACBC.(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；(2)请直接写出y1y2时，x的取值范围；(3)反比例函数y2
4、图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由 第6题图7. 如图，直线yxb与x轴交于点C(4，0)，与y轴交于点B，并与双曲线y(x0)交于点A(1，n)(1)求直线与双曲线的解析式；(2)连接OA，求OAB的正弦值；(3)若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由 第7题图8. (2016金华8分)如图，直线yx与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y(k0)图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E.(1)求点A的坐标；(2)若AEAC.求k的值；试判断
5、点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由 第8题图9. 如图，已知双曲线y经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过点C作CAx轴，过点D作DBy轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC.(1)求k的值；(2)若BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由 第9题图10. 如图，点B为双曲线y(x0)上一点，直线AB平行于y轴，交直线yx于点A，交x轴于点D，双曲线y与直线yx交于点C，若OB2AB24.(1)求k的值；(2)点B的横坐标为4时，求ABC的面积；(3)双曲线上是否存在点P，使APCAOD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
6、理由 第10题图【答案】1解：(1)点A(1，2)是一次函数ykx1与反比例函数y的公共点，k12，2，k1，m2；(2)直线lx轴于点N(3，0)，且与一次函数的图象交于点B，点B的横坐标为3，将x3代入yx1，得y314，点B的坐标为(3，4)；(3)如解图，过点A作AD直线l，垂足为点D，由题意得，点C的横坐标为3，点C在反比例函数图象上，y， C点坐标为(3，)，BCBNCN4，又AD312，SABCBCAD2.第1题解图2解：(1)设A点的坐标为(x，y)，则OPx，PAy，OAP的面积为1，xy1，xy2，即k2，反比例函数的解析式为； (2)存在，如解图，作点A关于x轴的对称点A
7、，连接AB，交x轴于点M，此时MAMB最小，点B的横坐标为2，点B的纵坐标为y1，即点B的坐标为（2,1）.又两个函数图象在第一象限交于A点，解得x11，x21(舍去)y2，点A的坐标为(1，2)，点A关于x轴的对称点A(1，2)，设直线AB的解析式为ykxb，代入A(1，2)，B(2，1)得，直线AB的解析式为y3x5，令y0，得x，直线y3x5与x轴的交点为(，0)，即点M的坐标为(，0)第2题解图3解：(1)反比例函数y图象上的点A、B的横坐标分别为1、2，点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(2，1)，点A(1，2)、B(2，1)在一次函数ykxb的图象上，一次函数的解析式为yx1；(
8、2)由图象知，对于反比例函数，当y1时，x的取值范围是2x0；(3)存在对于yx1，当y0时，x1，当x0时，y1，点D的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，1)，设点P(m，n)，SODP2SOCA，1(n)211，n2，点P(m，2)在反比例函数图象上，2 ， m1，点P的坐标为(1，2)4解：(1)OB2OA3OD6，OA3，OD2.A(3，0)，B(0，6)，D(2，0)将点A(3，0)和B(0，6)代入ykxb得，一次函数的解析式为y2x6. (3分)将x2代入y2x6，得y2(2)610，点C的坐标为(2，10)将点C(2，10)代入y，得10，解得n20，反比例函数的解析式为；(
9、5分)(2)将两个函数解析式组成方程组，得解得x12，x25. (7分)将x5代入 两函数图象的另一个交点坐标是(5，4)； (8分)(3)2x0或x5. (10分)【解法提示】不等式kxb的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应的自变量x的取值范围，也就是2x0或x5.5解：(1)点A(2，n)，B(1，2)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y的图象的两个交点，m2，反比例函数解析式为，n1，点A(2，1)，将点A(2，1)，B(1，2)代入ykxb，得一次函数的解析式为yx1；(2)结合图象知：当2x0或x1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A关于x轴的对称点A，连
10、接BA延长交x轴于点C，则点C即为所求，A(2，1)，A(2，1)，设直线AB的解析式为ymxn，yx，令y0，得x5，则C点坐标为(5，0)，t的最大值为AB.第5题解图6解：(1)一次函数y1x1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，A(4，0)，C(0，1)，又ACBC，COAB，O为AB的中点，即OAOB4，且BP2OC2，点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2，得m8，反比例函数的解析式为y2；(2)x4；【解法提示】由图象可知，当y1y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x的取值范围是x4.(3)存在假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接D
11、C与PB交于点E，四边形BCPD为菱形，CEDE4，CD8，D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)第6题解图7解：(1)直线yxb与x轴交于点C(4，0)，把点C(4，0)代入yxb，得b4，直线的解析式为yx4，直线也过A点，把点A(1，n)代入yx4，得n5，A(1，5)，将A(1，5)代入y(x0)，得m5，双曲线的解析式为；(2)如解图，过点O作OMAC于点M，点B是直线yx4与y轴的交点，令x0，得y4，点B(0，4)，OCOB4，OCB是等腰直角三角形，OBCOCB4
12、5，在OMB中，sin45，OM2，AO，在AOM中，sinOAB；第7题解图(3)存在如解图，过点A作ANy轴于点N，则AN1，BN1，AB，OBOC4，BC4，又OBCOCB45，OBABCD135，OBABCD或OBADCB，或，即或，CD2或CD16，点C(4，0)，点D的坐标是(6，0)或(20，0)8解：(1)当y0时，得0x，解得x3. 点A的坐标为(3，0)； (2分)(2)如解图，过点C作CFx轴于点F.设AEACt, 点E的坐标是(3，t). 在RtAOB中， tanOAB，OAB30.在RtACF中，CAF30，CFt，AFACcos30t，点C的坐标是(3t，t)点C、
13、E在y的图象上，(3t)t3t，解得t10(舍去)，t22，k3t6； (5分)点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：由知，点E的坐标为(3，2)，设点D的坐标是(x，x)，x(x)6，解得x16(舍去)，x23，点D的坐标是(3，2)，点E与点D关于原点O成中心对称(8分)第8题解图9解：(1)双曲线y经过点D(6，1)，1，解得k6；(2)设点C到BD的距离为h，点D的坐标为(6，1)，DBy轴，BD6，SBCD6h12，解得h4，点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，点C的纵坐标为143，3，解得x2，点C的坐标为(2，3)，设直线CD的解析式为ykxb，则直线CD的解析式
14、为yx2；(3)ABCD.理由如下：CAx轴，DBy轴，点D的坐标为(6，1)，设点C的坐标为(c，)，点A、B的坐标分别为A(c，0)，B(0，1)，设直线AB的解析式为ymxn，则直线AB的解析式为y1，设直线CD的解析式为yexf，则直线CD的解析式为y，AB、CD的解析式中k都等于， AB与CD的位置关系是ABCD.10解：(1)设D点坐标为(a，0)，ABy轴，点A在直线yx上，B为双曲线y(x0)上一点，A点坐标为(a，a)，B点坐标为(a，)，ABa，BD，在RtOBD中，OB2BD2OD2()2a2，OB2AB24，()2a2(a)24，k2； (2)如解图，过点C作CMAB于点M，C点坐标为(，)，点B的横坐标为4，A点坐标为(4，4)，B点坐标为(4，)，AB4，CM4，SABCCMAB (4) 7；第10题解图(3)不存在，理由如下：若APCAOD，AOD为等腰直角三角形，APC为等腰直角三角形，ACP90，CMAP，设P点坐标为(a，)，则A点坐标为(a，a)，AP|a|，C点坐标为(，)，CM|a|，|a|a|，(a)2，即(a)2，4a2(a)20，解得a或a(舍去)，P点坐标为(，)，则此时点C与点P重合，所以不能构成三角形，故不存在