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1、线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习A AC CB B 如图如图,在一个三角形的小岛上，小在一个三角形的小岛上，小动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，动物们即将举行长跑比赛，比赛分三队，要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边要求三队从小岛内一点，沿垂直于三边的路线，分别跑到小岛三边的路线，分别跑到小岛三边.为公平起见，为公平起见，要求起点到小岛三边的距离相等，你能要求起点到小岛三边的距离相等，你能帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的帮它们确定起点吗？如果到三个顶点的距离相等呢？距离相等呢？线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线线段垂直平分线 角平分
2、角平分线线判定判定尺规作图尺规作图定义定义性质性质三角形三边垂三角形三边垂直平分线和角直平分线和角平分线的性质平分线的性质线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习逆定理逆定理性质定理性质定理文字语言：文字语言：文字语言：文字语言：线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两的点到这条线段两个端点距离相等个端点距离相等. .到一条线段两个端点到一条线段两个端点距离相等的点距离相等的点, ,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. .ACBPMN符号语言符号语言：符号语言：符号语言：AC=BC,MNAB,AC=BC,MNAB,P P是是MNMN上任意一点上任意一点PA
3、=PBPA=PBPA=PB(PA=PB(已知已知),),点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上证明两条线段相等的根据之一证明两条线段相等的根据之一. .温馨提示温馨提示:证明点在直线上证明点在直线上(或直线或直线经过某一点经过某一点)的根据之一的根据之一.线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习线段的垂直平分线线段的垂直平分线ABCPabc 三角形三条边的三角形三条边的垂直平分线相交于一垂直平分线相交于一点点, ,并且这一点到三个并且这一点到三个顶点的距离相等。顶点的距离相等。如图如图, ,在在ABCABC中中, ,直线直线c,a,bc,a,b分别是分别是AB,AB
4、, BC,ACBC,AC的垂直平分线的垂直平分线直线直线c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P, 且且PA=PB=PCPA=PB=PC三条边的垂直平分线的性质定理三条边的垂直平分线的性质定理文字语言：文字语言：符号语言：符号语言： 线段的垂直平分线线段的垂直平分线三角形三角形性质定理性质定理逆定理逆定理证明线段相等证明线段相等线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习逆定理逆定理性质定理性质定理文字语言：文字语言：文字语言：文字语言：符号语言符号语言：符号语言：符号语言：证明两条线段相等的根据之一证明两条线段相等的根据之一. .证明一个点是否在角平分线上，证明一个点是否在
5、角平分线上，从而推出两个角相等从而推出两个角相等. .线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习BADOPE PD=PE PDOA , PEOBOP 是是AOB 的平分线的平分线 角平分线角平分线温馨提示温馨提示: OP 是是AOB 的平分线的平分线 PDOA , PEOBPD=PE 三个内角平分线的性质定理三个内角平分线的性质定理文字语言：文字语言：符号语言：符号语言： 角平分线角平分线三角形三角形性质定理性质定理逆定理逆定理证明线段相等证明线段相等ABCBNDFMEP线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P
6、，垂足分垂足分别是别是E、D、F ，PDAB, PEBC, PFACPD=PE=PF 尺规作图尺规作图以为圆心，适当长为半径以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于作弧，交于，交于作射线作射线OC则射线即为所求则射线即为所求 作法：作法：分别以，为圆心大于分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于21线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习 尺规作图尺规作图 作法：作法：线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习练习练习 下列过程是否正确？下列过程是否正确？ ABOPED 点点P在在AOB的平分线上的平分线上. PD=PE
7、,（在一个角的内部且到角的两边距离（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）相等的点，在这个角的平分线上）. 错误错误.AB=AC，APBC.（和一条线段两个端点距离相等的点，在这（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）条线段的垂直平分线上）.P错误错误.过一个点不能过一个点不能确定一条直线确定一条直线.【例【例1 1】：如图，在：如图，在ABC中，中， BC=12,AB的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点F, AC的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点H.求求AFH的周长。的周长。在在ABC中，中， AFH的周长为的周长为12,AB的垂直
8、平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点F, AC的的垂直平分线交垂直平分线交BC边于点边于点H.求求BC长为长为_。在在ABC中，中， AB的垂直平分线交的垂直平分线交BC边于点边于点F, AC的垂直平分线交的垂直平分线交BC边边于点于点H.若若B=35， C=25,则FAH=_.121260线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC, BAC=120,AB的垂直平分的垂直平分线交线交BC边于点边于点F.求证：求证：CF=2BF303030线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析 【例【例2
9、2】已知】已知: :如图如图, , 点点P P是是AOBAOB内部的一点内部的一点, , （2 2）你能添加一个条件）你能添加一个条件，使点，使点P P在在AOBAOB的平分线上吗？的平分线上吗？ （1 1）若）若OPOP平分平分AOBAOB，你能得出什么结论？，你能得出什么结论？ BACOPD21CD 若若PC=PDPC=PD，1+2=1801+2=1800 0. .那么点那么点P P在在AOBAOB的平分线上吗？的平分线上吗？MNPCOA, PDOB PCOA, PDOB ，垂足分别为点，垂足分别为点C C和点和点D.D. 答：答：点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. . 理由
10、：理由：过点过点P P作作PMOA,PNOBPMOA,PNOB. .垂足分别为垂足分别为M M、N N. . 1+2=180 1+2=180，PDN+2=180PDN+2=180 1 =PDN 又又 PMC= PND=90，PC=PD PMC PND PM=PN 又又 PMOA,PNOB 点点P在在AOB的平分线上的平分线上.线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析【例【例3 3】 已知：如图，已知：如图，AP、BP分别平分分别平分DAB和和CBA，PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在在EF的垂直平分线上的垂直
11、平分线上. 分析：分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？）从已知条件你能想到什么定理？ （3）能得到什么结论）能得到什么结论? （4）用什么定理来证明结论）用什么定理来证明结论? （2）缺少了什么）缺少了什么?怎么办？怎么办？ G添辅助线的目添辅助线的目的是什么？的是什么？构造角平分线构造角平分线的基本图形的基本图形.线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析 【例【例3 3】已知：如图，已知：如图，AP、BP分别平分分别平分DAB和和CBA， PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分
12、线上. 证明：过点证明：过点P作作PGAB，垂足为点，垂足为点G .GAP平分平分BAD,PEAD(已知已知)， PGAB(已作已作) ，PEPG（角平分线上的点到角两边（角平分线上的点到角两边 的距离相等）的距离相等）同理：同理：PGPF. PEPF(等量代换等量代换). 点点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，（到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上）在这条线段的垂直平分线上）. 线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习例题赏析例题赏析 【例【例3 3】已知：如图，已知：如图，AP、BP分别平分分别平分DAB和和CBA
13、，PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分线上. （1）若把上图中的）若把上图中的AD、BC延长相交于点延长相交于点O，点，点P还落还落 在什么特殊的位置上？为什么？在什么特殊的位置上？为什么？ GG由角平分线的逆定理可得点由角平分线的逆定理可得点P在在BOA的角平分线上的角平分线上. （2）OEOF吗？为什么？吗？为什么？ 全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等. 线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理
14、及逆定理的基本图形时，要添置辅助线基本图形时，要添置辅助线构造构造运用它们的运用它们的基本图形基本图形. 线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习规律总结规律总结垂直平分线垂直平分线 - -点向两端连线段点向两端连线段角角平分线平分线 - - 点向两边作垂线段点向两边作垂线段1.1.下列命题中正确的命题有（下列命题中正确的命题有（ ）线段垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线上任一点到线段两个端点的距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条；经过线段中点的直线只有一条；点点P P在线段在线
15、段ABAB外且外且PAPA= =PBPB，过，过P P的直线的直线MNMN是线段是线段ABAB的中垂线；的中垂线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线过线段上任一点可以作这条线段的中垂线. .A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个A线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习达标测试达标测试2.2.如图，如图，P PC COAOA于点于点C C，P PD DOBOB于点于点D D，1122，下列结论不正确的是（，下列结论不正确的是（ ）A.PC=PD B.OC=OD C.DPO=CPO D.ODA.PC=PD B.OC=OD C.DPO=CPO D.ODO
16、P OP DBACOPD21 3. 3.如图所示，点如图所示，点P P是是CABCAB的平分线的平分线ADAD上一点，上一点，PEACPEAC于点于点E E，已知，已知PEPE5cm5cm，则点则点P P到到ABAB的距离是的距离是_._. 5cmACEPDBF4 4已知：如图，已知：如图，AOP=BOP=15AOP=BOP=150 0，PC/OAPC/OA，PDOAPDOA于点于点D D，如果，如果PC=4PC=4，则则PD=PD=_._.ADOCPB2E线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习5 5、 在在V V型公路（型公路（AOBAOB）内部，有两个村庄）内部，有两个村
17、庄C C、D. D. 你能选择你能选择一个学校的位置一个学校的位置P P，使，使P P到到V V型公路的距离相等，且使型公路的距离相等，且使C C、D D两村两村的学生上放学的路程一样吗？的学生上放学的路程一样吗？OAB. . . . CD线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习 6. 6.已知：如图，在等边已知：如图，在等边ABCABC中，中，CC、BB的平分线交于点的平分线交于点I I，BIBI、CICI的垂直平分线与的垂直平分线与BCBC相交于相交于E E、F F点点. . 求证：求证：BEBEEFEFFCFCABCIEF线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分
18、线复习 请同学们谈谈自己的收获吧！请同学们谈谈自己的收获吧！线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习必做题：必做题：布置作业布置作业 课本课本34页第页第7题、第题、第11题题. 选做题：选做题： 已知：如图，在已知：如图，在ABCABC中，中，D D为为BCBC的中点，的中点，DEBCDEBC，交，交BACBAC的平分线的平分线AEAE于于E E，EFABEFAB于点于点F F，EGACEGAC交交ACAC的延长线于点的延长线于点G G. . 求证：求证：BF=CG.BF=CG. AGEBFCD【例【例4 4】已知：已知：ABC中，中，ABC角平分线与角平分线与AC的垂直平分
19、线交于的垂直平分线交于 点点N，NDAB，NEBC，点，点D、E分别为垂足分别为垂足. 分析：（分析：（1）从角平分线和角两边的两条垂线段，）从角平分线和角两边的两条垂线段， 你能得到什么结论？你能得到什么结论？ （2）怎样来理解这个条件）怎样来理解这个条件? 求证：求证：ADEC. （3）怎样来证明结论）怎样来证明结论? 12点点N在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上. 怎样来利用这个条件怎样来利用这个条件? 添加辅助线添加辅助线. 添辅助线的目的添辅助线的目的是什么？是什么？构造垂直平分线构造垂直平分线的基本图形的基本图形.同时构造了全等同时构造了全等三角形三角形.H.L例题例题赏析赏析线
20、段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习【例【例4 4】 已知：已知：ABC中，中，ABC角平分线与角平分线与AC的垂直平分线交的垂直平分线交于于 点点N，NDAB，NEBC，点，点D、E分别为垂足分别为垂足. 证明：连接证明：连接AN、CN. 求证：求证：ADEC. BN平分平分ABC，DNAB, ENBC NDNE（角平分线上的点到角（角平分线上的点到角 两边的距离相等）两边的距离相等） 又又1=2=90（垂直的定义）（垂直的定义） . 12点点N在在AC的垂直平分线的垂直平分线(已知已知) NANC（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ）在在RtADN和和RtCEN中，中，DNEN (已证已证)， ANNC (已证已证). RtAND RtCEN（HL） ADEC(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等). 例题例题赏析赏析线段垂直平分线与角平分线复习线段垂直平分线与角平分线复习