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1、线段垂直平分线的定理线段垂直平分线的定理 线段垂直平分线上的线段垂直平分线上的任意一点任意一点到这条线段两到这条线段两个端点的个端点的距离相等距离相等. .MNAB, CA=CB(已知已知)PA=PB（线段垂直平分线上的任意一点（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）到这条线段两个端点的距离相等）12CBAMNP1、如图直线、如图直线MN垂直平垂直平分线段分线段AB，则，则AE=AF。2、如图线段、如图线段MN被直线被直线AB垂直平分，则垂直平分，则ME=NE。线段垂直平行线的逆定理线段垂直平行线的逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条和一条线段两个端点距离相等的点，
2、在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上. . AB=AC(已知已知)点点A在线段在线段BC的垂直平分线上的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）在这条线段的垂直平分线上）3、如图、如图PA=PB，则，则直线直线MN是线段是线段AB的的垂直平分线。垂直平分线。在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等 角的平分线的性质定理：角的平分线的性质定理：ABO12PEDCOP平分平分AOBPDOA,PEOB,PD=PE （在角的平分线上的点到（在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）这个角两边
3、的距离相等） 练习练习 下列过程是否正确？下列过程是否正确？ ABOPED 点点P在在AOB的平分线上的平分线上. PD=PE,（在一个角的内部且到角的两（在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的边距离相等的点，在这个角的平分线上）平分线上）. 错误错误. 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。ADCBBD CD（） 如图，如图， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。AD
4、CBBD CD（）ABO12PED C在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上的点，在这个角的平分线上. .角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：OP平分平分AOBPDOA,PEOB,PD=PE. （在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边（在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）距离相等的点，在这个角的平分线上）. AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的
5、距离相等。ADCB不必再证全等不必再证全等如图，已知及线段如图，已知及线段a，点，点C在在OM上，求作点上，求作点P，使点，使点P到到OM、 ON的距离相等，且的距离相等，且PC=a. 分析：（分析：（1）到）到OM、ON的距离相等的点的轨迹是什么？的距离相等的点的轨迹是什么？ （2）满足）满足PC=a.点点P的轨迹是什么的轨迹是什么? P2P1 点点P1、P2为所求的点为所求的点. 威海市政府为了方便居民的生活，计划在威海市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才中心，试问，该购物中心应建于何处，才能
6、 使 得 它 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 。能 使 得 它 到 三 个 小 区 的 距 离 相 等 。ABC实际问题实际问题1BAC 线段的垂直平分线线段的垂直平分线1、求作一点、求作一点P，使，使它和已它和已ABC的三的三个顶点距离相等个顶点距离相等.实际问题实际问题数学化数学化pPA=PB=PC实际问题实际问题1烟烟 威威 高高 速速 公公 路路实际问题实际问题2 在烟威高速公路在烟威高速公路L的同侧，有两个化的同侧，有两个化工厂工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，为了便于两厂的工人看病市政府计划在公路边上修建一所医院，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意
7、见，问医使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？院的院址应选在何处？AB 线段的垂直平分线线段的垂直平分线2、如图，在直线、如图，在直线L上求上求作一点作一点P，使，使PA=PB.LAB实际问题实际问题数学化数学化实际问题实际问题2pPA=PB数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务数学问题源于生活实践，反过来数学又为生活实践服务已知已知:如图如图,在等腰三角形在等腰三角形ABC中中,腰腰AB 的垂直平的垂直平 线线MN交交AC于点于点 D,BC=8厘米厘米, BDCBDC的周长的周长2020厘米厘米. .求求:AB:AB的长的长. .ABCDMN已知已知:如图如图,D是是
8、BC延长线上的一点延长线上的一点,BD=BC+AC.求证求证:点点C在在AD的垂直平分线上的垂直平分线上.ABCD8例例 1已知：如图，已知：如图，AP、BP分别平分分别平分DAB和和CBA，PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分线上. 分析：（分析：（1）从已知条件你能想到什么定理？）从已知条件你能想到什么定理？ （3）能得到什么结论）能得到什么结论? （4）用什么定理来证明结论）用什么定理来证明结论? （2）缺少了什么）缺少了什么?怎么办？怎么办？ G角平分线上的点到另一边的垂线段角平分线上的点到另一边的垂线段
9、.添加辅助线添加辅助线.添辅助线的目的添辅助线的目的是什么？是什么？构造角平分线的构造角平分线的基本图形基本图形.例例1 已知：如图，已知：如图，AP、BP分别平分分别平分DAB和和CBA，PE、PF 分别垂直于分别垂直于AD、BC，垂足为，垂足为E、F. 求证：点求证：点P在在EF的垂直平分线上的垂直平分线上. 证明：过点证明：过点P作作PGAB，垂足为点，垂足为点G .GAP平分平分BAD,PEAD(已知已知)， PGAB(已作已作) ，PEPG（角平分线上的点到角（角平分线上的点到角 两边的距离相等）两边的距离相等）. 同理：同理：PGPF. PEPF(等量代换等量代换). 点点P在在E
10、F的垂直平分线上的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂相等的点，在这条线段的垂直平分线上）直平分线上）. 例例2 已知：已知：ABC中，中，ABC角平分线与角平分线与AC的垂直平分线交于的垂直平分线交于 点点N，NDAB，NEBC，点，点D、E分别为垂足分别为垂足. 分析：（分析：（1）从角平分线和角两边的两条垂线段，）从角平分线和角两边的两条垂线段， 你能得到什么结论？你能得到什么结论？ （2）怎样来理解这个条件）怎样来理解这个条件? 求证：求证：ADEC. （3）怎样来证明结论）怎样来证明结论? 12点点N在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上
11、. 怎样来利用这个条件怎样来利用这个条件? 添加辅助线添加辅助线. 添辅助线的目的添辅助线的目的是什么？是什么？构造垂直平分线构造垂直平分线的基本图形的基本图形.同时构造了全等同时构造了全等三角形三角形.H.L例例2 已知：已知：ABC中，中，ABC角平分线与角平分线与AC的垂直平分线交于的垂直平分线交于 点点N，NDAB，NEBC，点，点D、E分别为垂足分别为垂足. 证明：联结证明：联结AN、CN. 求证：求证：ADEC. BN平分平分ABC， DNAB, ENBC（已知），（已知）， NDNE（角平分线上的点（角平分线上的点到角两边的距离相等）到角两边的距离相等）， 且且1=2=90（垂直
12、的定义）（垂直的定义） . 12点点N在在AC的垂直平分线的垂直平分线(已知已知) ，NANC（线段垂直平分线（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等端点的距离相等 ）. 在在RtADN和和RtCEN中，中，DNEN (已证已证)， ANNC (已证已证). RtAND RtCEN（H.L） ADEC(全等三角形对应全等三角形对应边相等边相等). 当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的当缺少运用角平分线、线段垂直平分线的定理及逆定理的基本图形时，要添置辅助线基本图形时，要添置辅助线构造构造运用它们的运用它们的基本图形基本图形. 1、作图题：
13、、作图题： 已知：已知：AOB和和AOB内一点内一点C. 求作：点求作：点P，使，使PC=PO， 且点且点P到到AOB的两边的两边OA、OB的距离相等的距离相等.2、已知：如图，在、已知：如图，在ABC中，中，D是是AB上一点，且上一点，且ADAC, DAO=CAO，DEBC. 求证：求证：CD平分平分EDF. 3、已知：如图，在四边形、已知：如图，在四边形ABCD中，中，BD平分平分ABC, A+C=180, BCBA. 求证：点求证：点D在线段在线段AC的垂直平分线上的垂直平分线上. 4、已知：如图，在、已知：如图，在ABD和和ACE，AEAB，ADAC, EAB=DAC，BD和和EC交于点交于点O. 求证：求证：AO平分平分EOD.