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1、4-8.晶体中的电流晶体中的电流 近自由电子模型近自由电子模型把原子实和（把原子实和（n-1）电子的共同作用概括为周期势场的作用；电子的共同作用概括为周期势场的作用； 用用量子力学量子力学微扰论求解微扰论求解定态定态问题。问题。Bloch电子费米气模型电子费米气模型把晶格场把晶格场的影响计入的影响计入m的变化的变化视为半径典粒子。视为半径典粒子。用类似用类似牛顿力学牛顿力学来讨论来讨论非定态非定态问题。问题。把质量视为有效质量，除碰撞外没有把质量视为有效质量，除碰撞外没有相互作用，遵守费米分布的相互作用，遵守费米分布的Bloch电子电子的集合，称作的集合，称作Bloch电子费米气。kfddn3
2、)2(2kd为方便，考虑单位体积的样品，对一个为方便，考虑单位体积的样品，对一个能带，能带， 空间体积元的空间体积元的Bloch电子电子数数dn个电子产生的元电流密度个电子产生的元电流密度一一 能带中的电流能带中的电流)(KVednjdkfdKVe34)(5-119)ZBKfdKVeJ.3)(4(5-120)第一第一B.Z中所有电子的运动所形成的电流密度中所有电子的运动所形成的电流密度 是是 的奇函数的奇函数 )(1)(1)(kEkEkvkk)(1kEk)( kv )(kvkV（k）f奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数。 E（k）E（k），能带的反演对称性，能带的反演对称性1 外场力外场力F
3、外外0 fE(k)，TfE(k),T 为k的偶函数的偶函数。 积分域积分域B.Z是对称区间（是对称区间（有效实际积有效实际积分域为分域为f0的有电子占据的区域也是的有电子占据的区域也是对称的对称的），积分函数），积分函数 ZBKfdKVeJ.30)(42外场力外场力F外外0 F外外为某一恒值为某一恒值 由（由（5111）式）式 外FdtKd则则 d KF外外dt，该式对任一该式对任一Bloch电子均成立。电子均成立。 dt时间内，每一电子均获得时间内，每一电子均获得dK增量相当增量相当于所有电子齐步走。于所有电子齐步走。 由于倒格子周期性，由于倒格子周期性，dt时间内，从一端时间内，从一端离开
4、第一离开第一B.Z的电子，等于从另一端又进入的电子，等于从另一端又进入第一第一B.Z。（1）满带情况）满带情况 电子的对称分布没有改变电子的对称分布没有改变; 积分域仍为第一积分域仍为第一B.Z; V（K）为奇函数）为奇函数; f为偶函数为偶函数; 均未改变。均未改变。所以所以 J0也就是说加也就是说加F外外前后前后 加加F外外前后，电子分布由对称前后，电子分布由对称不对称，即加不对称，即加F外外后，电子分布已不满后，电子分布已不满足原先的平衡态下费米分布。足原先的平衡态下费米分布。 有电流定向流动就是非平衡态。有电流定向流动就是非平衡态。 (2)不满带情况不满带情况 f0的实际积分域不对称了
5、，故的实际积分域不对称了，故J0结论：结论： 满带不导电满带不导电 不满带才可导电不满带才可导电 设近满带只有一个状态空着，假想在这个设近满带只有一个状态空着，假想在这个空状态空状态k上放一个电子，则这个电子产生的电上放一个电子，则这个电子产生的电流为流为eV(k)，放上这个电子后，该能带就成，放上这个电子后，该能带就成满带了，由上可知满带电流密度为零满带了，由上可知满带电流密度为零,即即 Je V(k)0 三三. 空穴空穴 Je V(k) （5-122）即带顶附近只有一个即带顶附近只有一个k态空着的近满带，其态空着的近满带，其所有电子集体运动所产生的电流等于一个所有电子集体运动所产生的电流等
6、于一个带正电荷带正电荷e，速度与，速度与k态电子速度态电子速度V(k)相同相同的准粒子产生的电流。的准粒子产生的电流。 由最小能量原理，晶体中的空状态由最小能量原理，晶体中的空状态k往往往在带顶附近，由上讨论已知，在能带上往在带顶附近，由上讨论已知，在能带上部电子有效质量部电子有效质量me*0, 称这个称这个带有正电荷带有正电荷e，正有效质量正有效质量mh* ,速度为速度为V(k)的准粒子为的准粒子为空穴空穴。 49电阻的起因电阻的起因考查考查J是否存在，关键是考查是否存在，关键是考查实际的电子分布是否对称实际的电子分布是否对称。dtFKd外1对不满带，对不满带，F外外0时，时，dt时间内，每
7、个电子均时间内，每个电子均有有dK增量，电子分布由（增量，电子分布由（a）图的对称分布变）图的对称分布变成（成（b）图的非对称分布，则）图的非对称分布，则J0了。了。 若此时撤去外场若此时撤去外场F外0，dK0并不存在什么因素使得电子分布并不存在什么因素使得电子分布重新回到对称分布重新回到对称分布即非对称分布仍保持即非对称分布仍保持J0。 设外场为电场设外场为电场，则，则Bloch电子受到的电子受到的外场力为外场力为F外e,现在现在0，而，而J0，则，则。 欧姆定律欧姆定律J，矛盾的原因何在？矛盾的原因何在？）（KEVnKn1外FK外FmV1ZBKfdKVeJ.3)(4J ， F外外e 采用倒
8、推的思路。采用倒推的思路。V（K）为奇函数）为奇函数;平衡时，平衡时，f(K)为偶函数为偶函数;有外场时，为非平衡态，有外场时，为非平衡态，电子分布成为非对称电子分布成为非对称;均无问题。均无问题。 1忽略了晶格振动：认为原子实在格点忽略了晶格振动：认为原子实在格点上固定不动，忽略了晶格振动，也就忽略了上固定不动，忽略了晶格振动，也就忽略了声子的存在，当然也就忽略了声子与声子的存在，当然也就忽略了声子与Bloch电电子的作用；子的作用；隐含了两个假设（近似）隐含了两个假设（近似）： 2完整晶体：认为晶格满足严格周期性，完整晶体：认为晶格满足严格周期性，忽略了晶体中的各种杂质和缺陷（例如：空忽略
9、了晶体中的各种杂质和缺陷（例如：空位、填隙、位错、边界等）；位、填隙、位错、边界等）；总之是忽略广义缺陷，在导电问题上即忽总之是忽略广义缺陷，在导电问题上即忽略了广义缺陷与略了广义缺陷与Bloch电子的相互作用。电子的相互作用。晶体的电阻来源于广义缺陷与晶体的电阻来源于广义缺陷与Bloch电子的作用，即声子、杂电子的作用，即声子、杂质、缺陷对载流子的散射。质、缺陷对载流子的散射。所以得出以下结论：所以得出以下结论： 空穴的引入使对近满带大量电子的共空穴的引入使对近满带大量电子的共同行为的描述更简单、明了同行为的描述更简单、明了,是一种简是一种简化的等效的描述方法。化的等效的描述方法。 设设mh
10、*= - me* 0, 称这个称这个带有正电荷带有正电荷e，正有效质量正有效质量mh* ,速度为速度为V(k)的准粒子为的准粒子为空穴空穴。讨论：讨论：问题：为什么设问题：为什么设mh*= - me* 0？ 近满带带有正电荷近满带带有正电荷e，正有效，正有效质量质量mh* ,速度为速度为 的准粒子为的准粒子为空穴空穴。）（kEvnkn1 k态空穴的速度与态空穴的速度与k态电子态电子的速度相同还是相反？的速度相同还是相反？讨论讨论：空穴的速度空穴的速度问题： 设近满带只有一个状态空着，假想在这个设近满带只有一个状态空着，假想在这个空状态空状态k上放一个电子，则这个电子产生的电上放一个电子，则这个
11、电子产生的电流为流为eV(k)，放上这个电子后，该能带就成，放上这个电子后，该能带就成满带了，由上可知满带电流密度为零满带了，由上可知满带电流密度为零,即即 Je V(k)0 Je V(k) （6-3）即带顶附近只有一个即带顶附近只有一个k态空着的近满带，其态空着的近满带，其所有电子集体运动所产生的电流等于一个所有电子集体运动所产生的电流等于一个带正电荷带正电荷e，速度与速度与k k态电子速度态电子速度V V(k)(k)相同相同的准粒子产生的电流。的准粒子产生的电流。思路1： k设设 处为空态，近满带所有电子产生的处为空态，近满带所有电子产生的电流等效于在电流等效于在 处电子产生的电流，处电子产生的电流，请注意其方向为请注意其方向为 方向，由于该电子方向，由于该电子带负电，产生的电流方向为带负电，产生的电流方向为 方向。方向。该近能带的总电流等效为该近能带的总电流等效为 处带正电荷处带正电荷e，向，向 方向运动产生的电流。方向运动产生的电流。kkkkk思路思路2：有无电流的关键是电荷的对称分布是否变化有无电流的关键是电荷的对称分布是否变化