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1、二次函数拓展（四）二次函数拓展（四） 【挑战题】【挑战题】 已知二次函数已知二次函数 yax2bxc 的图象和的图象和 x 轴有且只有一个交点轴有且只有一个交点A，与，与 y 轴的交点为轴的交点为 B(0，4)，且，且 acb。 求该二次函数的解析表达式；求该二次函数的解析表达式； 将一次函数将一次函数 y-3x 的图象作适当平移， 使它经过点的图象作适当平移， 使它经过点 A， 记所得的图象为， 记所得的图象为 L， 图象， 图象 L 与抛物线的另一个交点为与抛物线的另一个交点为 C， 求， 求ABC的面积。的面积。 题型三：二次函数中的特殊三角形题型三：二次函数中的特殊三角形 【引例】【引
2、例】 已知抛物线已知抛物线 yx22x3 的顶点为的顶点为 D，点，点 P、Q 是抛物线上的动点，若是抛物线上的动点，若DPQ 是等边三角形，求是等边三角形，求DPQ 的边长。的边长。 典题精练典题精练 【例【例 1】 已知抛物线已知抛物线 yx22x3 的顶点为的顶点为 D，点，点 P、Q 是抛物线上的动点，点是抛物线上的动点，点 C 为直角坐标系内一点，若四边形为直角坐标系内一点，若四边形 DPCQ 是正方形，求正方形是正方形，求正方形 DPCQ 的面积。的面积。 【例【例 2】 若】 若 x1、 x2是关于是关于 x 的一元二次方程的一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两个根，则方程的
3、两个根的两个根，则方程的两个根 x1、x2和系数和系数 a，b，c 有如下关系有如下关系12bxxa ，12cxxa。我们把它们称为根与系数关系定理。我们把它们称为根与系数关系定理。 如果设二次函数如果设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与的图象与 x 轴的两个交点为轴的两个交点为 A(x1，0)，B(x2，0)。利用根与系数关系定理我们又可以得到。利用根与系数关系定理我们又可以得到 A、B 两个交点间的距离为：两个交点间的距离为：AB|x1x2|21212()4xxx x24()bcaa22244bacbacaa 1 请你参考以上定理和结论，解答下列问题：请你参考以上定理和结论，解答下列
4、问题： 设二次函数设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与的图象与 x 轴的两个交点为轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0) ，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为 C，显然，显然ABC 为等腰三角形。为等腰三角形。 当当ABC 为等腰直角三角形时，求为等腰直角三角形时，求 b24ac 的值。的值。 当当ABC 为等边三角形时，为等边三角形时，b24ac 。 设抛物线设抛物线 yx2kx1 与与 x 轴的两个交点为轴的两个交点为 A、B，顶点为，顶点为C，且，且ACB90，试问如何平移此抛物线，才能使，试问如何平移此抛物线，才能使ACB60？ 【例【例 3】已知抛物线】已知抛物线 y-x2m
5、xn 的对称轴为的对称轴为 x-2，且与，且与 x轴只有一个交点。轴只有一个交点。 求求 m，n 的值；的值； 把抛物线沿把抛物线沿 x 轴翻折，再向右平移轴翻折，再向右平移 2 个单位，向下平移个单位，向下平移 1 个单位，得到新的抛物线个单位，得到新的抛物线 C，求新抛物线，求新抛物线 C 的解析式；的解析式； 已知已知 P 是是 y 轴上的一个动点，定点轴上的一个动点，定点 B 的坐标为的坐标为(0，1)，问：在抛物线，问：在抛物线 C 上是否存在点上是否存在点 D，使，使BPD 为等边三角形？若存在，请求出点为等边三角形？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。的坐标；若不存在，请说明理由。 2