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1、Learning materials?解题思路训练Learning materials?千里之行，始于足下。老聃在数学中，例子比法则更重要。牛顿Learning materials?1到迷宫去很久以前，希腊的克瑞特城有个国王叫米诺斯，他喂养了一只牛头人身的怪物叫弥诺陶洛斯，这只怪物吃了很多人。后来，年轻的英雄泰修斯，决心为民除害，要去杀死这个怪物。可是，这个怪物住在一座迷宫里，这是米诺斯请著名建筑师代达罗斯精心设计建造的，里面的道路迂回曲折，无论谁走进去，不多久就会迷失方向。不过，泰修斯却没有被困在迷宫里。因为他得到了米诺斯的女儿、美丽的公主阿德涅的帮助。阿德涅给泰修斯一把宝剑和一个线团。泰修
2、斯走到迷宫的入口处，把线团往地上一放，线团就向前滚，把线放开。泰修斯顺着线往前走，很快就到了迷宫的中心，怪物弥诺陶洛斯正躺在那里。他举起宝剑劈死了怪物，然后又顺着线走出了迷宫。这座迷宫现在还在吗？米诺斯的迷宫早已找不到了。不过，既然弥诺陶洛斯能走进走出，那就有路可通。所以，我们也可以来设计一个。这就是一个迷宫：现在，有两个问题请你考虑一下：一、怎样从入口 A 走到迷宫的中心 B ？牛头人身的怪物就躺在那里。二、怎样从中心 B 走到入口 A ？这两个问题是相同的。能从 A 走到 B ，自然能从 B 走到 A ，反过来也是这样。注意。从图中 B 走到 A ，比从 A 走到 B 容易得多。因为从 A
3、到 B时，要遇到很多岔路，不知道该选择哪一条；而从 B到 A ，却几乎不需要选择。在别的图上，可不一定就是这样。于是，解决这类问题有三个方法：一、从 A 走到 B ；二、从 B 走到 A ；三、泰修斯从 A 向 B 走，弥诺陶洛斯从 B 向 A 走，他们在迷宫中某处相遇。其实，不只这类问题，可以说一切数学问题，都有这样的三种思考方法。第一种方法叫做综合法，它是由已知条件推出结论；第二种方法叫做分析法，它是由结论倒推到已知条件；把这两种方法结合起来使用，便是第三种方法了。究竟哪种方法好，要根据问题来确定。Learning materials?2五角星上放棋子这个游戏很有趣。图上的五角星有十个交叉
4、点 A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A1 0，要我们把棋子放在交叉点上，看谁放得多。一切游戏都有规则。这里放棋子的规则是：从一个没有放棋子的交叉点开始，沿直线向前数一、二、三，把一枚棋子放在第三个交叉点上；在每个交叉点上，只能放一枚棋子。例如，从 A1出发，在 A8处放上棋子；再从 A1出发，在 A1 0处放棋子；从A6出发，在 A4放棋子；从 A5出发，在 A7放棋子；从 A9出发，在 A2与 A5放棋子。这样放上六枚棋子，剩下的四个交叉点 A1、A3、A6、A9，都无法再放了。你来试试。一试，有时放五枚棋子，有时放六枚或者七枚、八枚、九枚。九枚最多，可重放一次，放了八
5、枚就无法再放了。不能准放上九枚，可见你还没有掌握方法。那该怎么放呢？其实，方法很简单。就是上一节说到的，把问题反过来考虑。换句话说，假定问题已经解决，九枚棋子，已经放在五角星的九个交叉点上，只有一个交叉点空着，比如说是 A1 0空着。现在，我们来把这九枚棋子，一枚一枚地取下来。按照放棋子的规则，取的要求是：从那个没有放棋子的交叉点 A1 0开始，沿直线向前数一、二、三，把 A1与 A3上的棋子取下来。其余类推。这样把九枚棋子取下来很容易：A1 0A1A8A4A6A2A9A5A7A3；A1 0A3A7A5A9A2A6A4A8A1。现在，再把上面的过程反过来，就好把九枚棋子放上去了：从右到左，从空
6、格 A7出发，在 A3放上棋子；从空格 A5出发，在 A7放棋上子；从空格 A9出发，在 A5放上棋子；最后从 A1 0出发，在 A1放上第九枚棋子。明白了道理，你就不难把这样的方法，用在其它的图形上。比如说，在跳棋盘上放上尽可能多的棋子。Learning materials?3合并火柴棍不少好玩的游戏和火柴有关。这里介绍的就是一个。把十四根火柴摆成一排：要你把这十四根火柴两两合并成七对：合并的要求是：每根火柴只能越过两根，与另一根并在一起。例如，火柴 3 可以越过 4 、5 与 6 合并；然后，火柴 5 又可以越过 3 、6与 7 合并。你试一下。要是并成了，再考虑进一步的问题：把十四改成更
7、大的偶数，例如四十，该怎么办？十四根就不容易了，四十根更难。欲进先退，从最简单的情况做起。就是把火柴的根数减少、再减少，一直减少到最少的根数。按照要求，两根和四根显然不行。反复试试，六根也不行。八根呢？看来有希望。怎么并呢？还是采用前面用过的方法。假设问题已经解决，就是已经摆成了四对，看能不能还原回去。一试。行。先把火柴 3 越过 2 、1 ；再把火柴 6 越过 7 、8 ；然后把火柴 2越过 4 、5 ；最后把火柴 7 越过 2 、5 。把这个过程反过来，也就是把图中的 7与 8合并；2与 1合并；3与 4合并；6 与 5 合并，又变成四对了：解决了八根火柴的问题，我们就好来解决十四根了。你
8、看，把开始图中的火柴 4 ，越过 3 、2 ，与 1 合并，十四根火柴的问题就化为十二根。再把图中的火柴 6 ，越过 5 、3 ，与 2 合并，问题又化为十根。再把图中的火柴 8 与 3 合并，问题又化为八根。所以，解决了八根火柴的合并问题，十根、十二根、十四根火柴的合并问题也随之解决了。这样，要把十六根、十八根、四十根，以至任意多的偶数根火柴，两两合并成对，就都变得容易了。现在，请你考虑一下，看怎样把一排二十一根火柴并成七堆，每堆三根。并的要求是：每根火柴只能越过三根，与其他火柴并在一起。Learning materials?4抢三十小聪与小明在抢 3 0 。两个人从 1 开始，轮流往下报数
9、，每次至少报一个数，至多报三个数，谁报到 3 0 就胜了。“1 ，2 ”，小聪开始报数。“3 ，4 ，5 ”，小明接着往下报。“6 ”。“7 ，8 ”。结果，小聪报到 3 0 ，小明输了。接连报了几次，总是小聪胜。“怎么老输？我的运气真不好。”“这不是运气。胜有胜的道理，垐有输的原因。换个玩法，你就明白了。”小聪取出一副扑克，说：“我们轮流取牌，每次至少取一张，至多取三张。这回取最后一张的算输。”玩了几次，还是小垐输。“老是你赢，把诀窍告诉我吧。”“诀窍很简单，把问题倒过来想。假设是你报 3 0 ，那么，在这之前的一次，你应当报到多少呢？”“不能报到 2 9 ，也不能报到 2 8 或者 2 7
10、 。要是我报到 2 7 ，2 8 ，2 9 ，你就可以报 3 0 。所以，我应该报到 2 6 。要是我报到 2 6 ，那么，不管你怎么报，我都能报到 3 0 了。”“对。要抢 3 0 ，先抢 2 6 。那要抢 2 6 ，先抢什么呢？”“先抢 2 2 。”“对。这样，我们就得到了一串取胜的数3 0 ，2 6 ，2 2 ，1 8 ，1 4 ，1 0 ，6 ，2 。这样，第一个人应当报到 2 ，他就可以陆续报到 6 ，1 0 ，1 4 ，1 8 ，2 2 ，2 6 ，3 0 。”“这么说来，总是第一个报数的人胜了。”“是这样的。不过，要是他不知道诀窍，让第二个人抢去一个取胜的数，胜利就可能易手了。”
11、“那么，一定要事先把这些关键数算好、记好了？”“这些数不必死记。因为每相邻两个的差是四，所以 3 0 4 得到的余数2 ，就是最小的关键数。因为 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 1 + 3 ，所以报 2 后，你可以根据对方报的数，采取相应的策略。也就是对方报一个数，你报三个数；对方报两个数，你也报两个数；对方报三个数，你报一个数，使两个人所报的数的个数和为四。这样，你每次报到的数就都是关键数了。”“啊，我懂了，取扑克牌也是同样的道理。不过，这一次却是取最后一张的算输。这”“要是扑克牌共五十四张，那你取到哪一张就胜定了呢？”“对了，先抢 5 3 。其余类推。”后来，小聪和小明玩取火柴游戏
12、。两个轮流取，每次至少取一根，至多取四根，一共有五十六根火柴，谁取完为胜。小聪先取，次次胜利。小明要求先取，小聪把火柴增加到六十根。尽管小明先取，小聪还是次次获胜。请你想一想，小明为什么老输？Learning materials?5蜗牛爬井一只蜗牛住在井底，坐井观天，以为天只有井口那么大。后来，听说井上面还有很大的天地，它下定决心，要爬到井上面去看看世界，开开眼界。且说蜗牛每天，先向上爬三米，然后向下退两米，要是井深八米，这样爬要多少天才能到达井口？这太容易了。蜗牛每天先向上爬三米，然后向下退两米，这就是说它每天向上爬一米。所以，8 （米）1 （米）= 8 （天）。这样算错了。因为当蜗牛爬到离
13、井口三米的地方，它只要一天，实际上还不到一天就爬到了井口。正确的算法是：（8 3 ）（3 2 ）+ 1 5 1 + 1 6天，实际上不到六整天。这个例子说明：在解题时，要注意你后来解的问题，是不是与原来的问题相同。或者说，是不是与原来的问题等价。我们说：蜗牛每天先上爬三米，然后下退两米，井深八米，多少天爬到井口？蜗牛每天上爬一米，井深八米，多少天爬到井口？这两个问题不是等价的。Learning materials?6添数字老师问小聪和小明四个问题：一、在 7 2 4 后面写三个数字，使得到的六位数被 7 、8 、9 整除。二、在 7 2 4 后面写三个数字，使得到的六位数被 5 0 4 整除。
14、三、在 7 2 4 后面写三个数字，使得到的六位数被 7 、8 、3 整除。四、在 7 2 4 后面写三个数字，使得到的六位数被 7 、1 6 、9 整除。小明说：“这四个问题好象差不多。”小聪说：“第一和第二个问题是相同的。”“为什么呢？”“因为 5 0 4 7 8 9 ，恰好是 7 、8 、9 的最小公倍数。所以，能被 7 、8 、9 整除的数，一定能被 5 0 4 整除。反过来，能被5 0 4 整除的数，也一定能被 7 、8 、9 整除。”“那第一和第三、第四个问题相同不相同呢？”“能被 7 、8 、9整除的数，一定能被 7 、8 、3整除；可是能被 7 、8 、3整除的数，不一定能被
15、7 、8 、9 整除。”小聪说，“所以，这两个问题有所不同。”“能被 7 、8 、9 整除的数，不一定能被 7 、1 6 、9 整除；可是能被 7 、1 6 、9整除的数，一定能被 7 、8 、9整除。”小明抢着说，“所以，这两个问题也有所不同。”“再出一个问题，”老师说，“你们看看它和哪一个问题相同：“在 7 2 4 后面写三个数字，使得到的六位数能被 7 、8 、1 8 整除。”“这个问题还是和第一和第二个问题相同。”小明说，“因为 7 、8 、1 8的最小公倍数还是 5 0 4 。”“好。现在你们解一下这个问题吧。”小明的解法是：7 2 4 0 0 0 5 0 4 = 1 4 3 7 ，
16、差 2 4 8 ；7 2 4 0 0 0 + 2 4 8 + 5 0 4 = 7 2 4 7 5 2小聪的解法是：7 2 4 9 9 9 5 0 4 = 1 4 3 8 ，余 2 4 7 ；7 2 4 9 9 9 2 4 7 = 7 2 4 7 5 2 。老师说：“思路和方法都对。看来你们的解题能力提高了。不过，“7 2 4 7 5 2 5 0 4 = 7 2 4 2 4 8 ，也对。”Learning materials?7从小爱数学这是一道智力竞赛题：在图中空白方格中填上字，使得每一横行、每一竖行和两条对角线上的五个方格中，都含有“从小爱数学”这五个字。碰上这种关联变化多的题，可以象打仗那
17、样，先找薄弱点，从这里突破，然后再逐步扩大战果。这个题的薄弱点显然在第三横行。它的两个空白方格，应该填上“从”和“小”。一看，左边第一竖行已经有了 “从”。所以，第三横行左边方格填 “小”，右边方格填“从”。剩下的三条空白横行，从竖行看，都只有两个字，不好填。两条对角线上已各有两个字，加上竖行的两个字，好填。一看，在两条对角线上的六个空格中，右边三个已有的四个字有重复，不好填；左边三个已有的四个字都不重复，应该分别填上“爱”、“从”和“学”。填到这里，很快就把剩下的方格填出来了：常见的“虫食算”，也可以用这个办法去解决。例如：在这个乘式中，表示 0 、1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、
18、8 、9 中的一个。一看，最容易填的，是第五行左边的是 1 。这样，我们便得到了1 3 0 0 1 2 5 0 0 。一算，我们又得到了 4 1 5 3 0 0 1 2 4 5 0 0 。填到这里，很快就把剩下的填出来了：这是两个不相干的问题，可是解题的思路是类似的。Learning materials?8算周长小聪问小明：“你会算一块地的周长吗？”“当然会。”“好。你算一下这块地的周长：”“周长就是各边长的总和。 可是， 这个图中的 A B 、 B C 、 D E 、 是多长呢？”“A B 是可以算出来的。”小聪说，“它的长应当是：9 （5 3 ）= 7 。”“B C 、D E 、F G 、
19、H I 、J K 长不知道，怎么办呢？”“是不知道。可是，你看，它们的总长不正好等于 2 0 嘛。”“啊。我知道了。这个山字形的周长是：7 + 3 + 8 + 8 + 5 + 9 + 2 0 2 = 8 0 。”“其实，A B 的长也不必先算出来。”小聪说， “我们可以把它分成两段，一段与 I J 合来起等于 9 ，另一段等于 C D ，也就是 3 。所以，山字形的周长是：（2 0 + 8 + 9 + 3 ）2 = 8 0 。”“这样看来，题目中的数据不是少了，而是多了。”小明说，“I J 5这个数据就是多余的。”“对。这个例子告许我们：周长虽然等于各边长的总和，可是认为只有知道了所有的边长才
20、能算出周长，却是一个偏见。不冲破这种偏见，本来好解的题，便解不出来了。”“啊。我做过一道有趣的题，”小明说，“和这个求周长的题类似。“题目是：有甲、乙、丙三种货物。购甲三件、乙七件、丙一件共需 3 . 1 5元；购甲四件、乙十件、丙一件共需 4 . 2 0 元。问购甲、乙、丙各一件共需多少元？“开始，我认为只有知道了单价，才能求出甲、乙、丙各一件共需多少。我这么想着，可就是做不出来。“后来，我的想法变了，很快就把题做出来了。”“怎么变的呢？”“题目给的是甲、乙、丙各多少件的总价，问的是甲、乙、丙各一件的总价。我想，能不能不求出单价，直接求出甲、乙、丙各一件的总价呢？“我反复看 3 、7 、1
21、、和 4 、1 0 、1 。原来窍门在这里：“3 3 ，7 3 ，1 3 ，共需 3 . 1 5 3 元；“4 2 ，1 0 2 ，1 2 ，共需 4 . 2 0 2 元。“上下对应一减，便得到甲、乙、丙各一件的总价。所以，答案是：“3 . 1 5 3 4 . 2 0 2 = 1 . 0 5 元。”小聪高兴地说：“这是两个不同的问题，可是就解题思路来说，是类似的。你真会动脑筋。”小明认真地说：“不是会动脑筋，是走投无路，逼出来的。”Learning materials?9解鸡兔同笼用一种方法解几道类似的题，往往不如用几种方法解一道题生动有趣，收获较大。举一个例子：鸡兔同笼，共有十六个头，四十只
22、脚，问鸡兔各多少只？列方程来解。设鸡有 X 只，那兔有（1 6 X ）只。然后，再考虑它们的足数。鸡 X只共有足 2 x只，兔（1 6 X ）只共有足 4 （1 6 X ）只，根据题意，有 2 x + 4 （1 6 X ）4 0 。列方程解应用题的要点正是这样：首先，把一个或者几个未知数用 X 或者 X 、y 等表示；然后，把其余的量用 X 或者 X 、y 等的代数式表示；最后，根据其余的量的关系列出方程。这就是说，同一个量，要是可以用几种不同的方法计算，得出几个表达式，那么，这几个表达式一定相等。设兔有 X 只也可以。还可以设鸡或者兔的脚有 X 只，然后利用头数来列方程。这些解法，思路一样，
23、可是有简繁的不同。用算术来解。假设十六只全是鸡，共有脚 1 6 2 3 2 只，比原来少了 4 03 2 8只。为什么少八只呢？因为把一些兔子当作鸡了。把一只兔子当作一只鸡时，少了两只脚，现在少了八只脚，说明有 8 2 4 只兔被当作鸡了。兔有四只，鸡当然就是十二只了。同样的道理，假设十六只全是兔，或者假设四十只脚全是鸡的、全是兔的，也一样可以求解。还有别的解法吗？有。假设把每只兔分成两只怪兔，这种兔有一个头两只脚。这样，总的脚数还是四十，可是鸡与怪兔的头数是 4 0 2 = 2 0 ，比原来鸡兔头数多了 2 01 6 4 。一只兔分成两只怪兔，头数增加一。所以，兔子应当是四。同样的道理，也可
24、以假设把每两只鸡并成一只怪鸡，这种鸡有一个头四只脚。4 0 4 = 1 0只，头数比原来少了 1 6 1 0 = 6只。因为每两只鸡并成一只后头数少一，可见鸡数是十二只。这样的解法构思巧妙。可是，鸡是奇数只呢？鸡是奇数只时，拿出一只，算好后再加进去就是了。还有更为巧妙的办法是凑。可惜有很多人轻视凑，不愿意凑。其实，凑可以叫做尝试法或者试探法。在数学中，这是一种寻求解答的重要方法。你看，兔数：0 ，1 ，2 ，3 ，4 ；鸡兔总足数：3 2 ，3 4 ，3 6 ，3 8 ，4 0 。很快就得到了答案。注意。总足数不到四十，要增加兔子的只数；相反，就应当减少兔子的只数。第一个代入尝试的数很重要。选
25、择得当，很快就能得到结果。这道题也可以用计算机来做，计算的程序是：Learning materials?1 0追水壶小聪在河中游泳。他逆流而上，在大桥旁遗失塑料水壶一只，继续游了二十分钟后才发现。 他返回寻找， 在离桥两公里的地方追到。 问水速是多少？小聪返回寻找用了多少时间？设水速为每分钟 X 公里，小聪的游速为每分钟 y 公里。于是，小聪的顺水游速是每分钟 y + X 公里，逆水游速是每分钟 y x 公里。追寻水壶的时间也是未知的，设为 t 分钟。不要怕未知数多了。未知数多，列方程反而容易。不过，这个题设了三个未知数，方程还是不好列。不要紧，先画一个图看看：A 点表示小聪返回时的位置，与大
26、桥的距离是 2 0 （y - x ）公里；B 点表示小聪返回时水壶的位置，与大桥的距离是 2 0 x 公里；C 点表示小聪追到水壶的位置，与大桥的距离是 2 公里。小聪从 A 到 c 用了 t 分钟，A 与 C 的距离是 t （x + y ）公里；水壶从 B 到 C 也用了 t 分钟，B 与 c 的距离是 t x 公里。这样，我们便得到两个方程：2 0 （y - x ）+ 2 = t （x + y ）（1 ）2 0 x + t x = 2 （2 ）三个未知数两个方程，还要列一个方程才行。不过，这个题只要求求出x 与 t ，不一定非要列出三个方程不可。把（1 ）写成2 0 y + 2 = 2 0
27、 x + t x + t y ，和（2 ）比较，得2 0 y t y 。y 当然不等于 0 ，得t 2 0 。代到（2 ），得x =120。答案是水速每分钟 0 . 0 5 公里，回追水壶用了 2 0 分钟。这道题有两个特别的地方：一个是小聪返回追找水壶的时间，与水速没有关系。因为小聪和水壶，都顺着水速在往下流动。一个是算出水速是每分钟 0 . 0 5公里后，只要 y大于 0 . 0 5 ，都符合问题的要求。这就是说，小聪的游速是无法确定的。认识一些问题中的这种不变量，往往是解决问题的关键。Learning materials?1 1卖蛋一位农民卖鸡蛋，第一次卖去篮中的一半又半个，第二次卖去剩
28、下的一半又半个后，剩下一个。请问：篮中原有多少个鸡蛋？用倒推法。第二次卖去一半又半个，剩下一个，要是第二次只卖去一半，那篮中应该剩下1 +12=32个。所以，第一次卖完后，篮中剩下322 = 3个鸡蛋。同样。要是第一次只卖去篮中的一半，那篮中应该剩下3 +12=72个。所以，原来篮中是722 = 7个鸡蛋。列方程解。设篮中原有鸡蛋 x 个。第一次卖去12x +12个，剩下x - （12x +12）=12x -12个；第二次卖去12（12x -12）+12个，剩下12（12x -12）-12个。于是，得到方程12（12x -12）-12= 1 。解得 x 7 。列方程麻烦点。可这是解应用题的普遍
29、适用的方法。算术解法，有时简单巧妙，难在不容易想到；代数解法列方程，有时繁一些，却容易想到。从思路看，算术解法是第一节说的希腊勇士“1 ”，从入口走到迷宫中心去杀怪物“x ”；代数解法是怪物“X ”，自己从迷宫中心走了出来，在入口碰到希腊勇士“1 ”，然后勇士跟踪追击，在迷宫中心把怪物杀死。还有更为巧妙的解法。要是这位农民，事先借一个鸡蛋放在篮里，每次卖出的个数仍然不变，那每一次都比原来多剩下一个，最后在篮子里应该剩下两个鸡蛋。2 2 2 = 8 ，8 1 7 。Learning materials?这就是农民篮子中原来有的鸡蛋数。卖的次数再多一些，用这个方法解特别方便。比如说每次卖一半又半个
30、，共卖了六次后剩一个，那 27- 1 = 1 2 7 ，就是原有的鸡蛋数。Learning materials?1 2 1 + 1 1 01 加 1 怎么会等于 1 0 呢？原来，这里用的是二进制。十进制是最常见的进位制。在十进制中有十个数码0 、1 、2 、3 、4 、5 、6 、7 、8 、9 ，逢十进一。所以，3 2 5 3 1 02+ 2 1 0 + 5 。十进制并不是唯一的进位制。人们根据需要，也常常采用其它的进位制。例如 1 小时6 0 分，1 分= 6 0 秒。在现代技术中，二进制是最常用的。因为二进制只需要两个数码0和 1 ，逢二进一。所以，1 0 2 ，1 0 0 = 22，
31、1 0 0 0 23，这里等号左边是二进制，右边是十进制。为了避免混淆；在同时用到两种进位制时，可以把二进制中的数写成（ ）2。例如，（1 0 1 1 0 1 ）2= 1 25+ 0 24+ 1 23+ 1 22+ 0 2 + 1 4 5 。这也就是化二进制为十进制的方法。反过来用除法：得 4 5 （1 0 1 1 0 1 ）2。逢二进一，使二进制的计算十分简单。例如，1 + 1 = 1 0 ；在二进制中，一个数的一半，就是把这个数的小数点向左移动一位。例如，1 1 1 的一半是 1 1 . 1 ；1 1 . 1 的一半是 1 . 1 1 。其中，0 . 1 就是十进制中的12，0 . 0 1
32、 就是十进制中的。采用二进制，上面说的卖蛋问题是很容易解决的。这个卖蛋问题的答案，用二进制来写是 1 1 1 。因为第一次卖去篮中的一半又半个，篮中剩下一半少半个，而 1 1 1的一半又半个就是 1 1 （1 1 . 1 0 . 1 ）。第二次卖去 1 1 的一半又半个，剩下的当然就是 1 1 的一半少半个，也就是 1 个。（1 1 1 ）21 22+ 1 2 + 1 = 7 。这就是卖蛋问题的第四种解法。Learning materials?有趣的是，在这样的问题中，虽然一再出现了“一半又半个”的字眼，可是每次卖出的鸡蛋数却都是整数，完全用不着担心半个鸡蛋怎么卖。1 3难题不难一例有一个六位
33、数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且它们的数字，都和原来的六位数的数字完全相同，只是排列的顺序不一样，求这个六位数。设这个六位数为 X 。X 的首位数字一定是 1 。为什么呢？因为 x 的首位数字大于 1 ，比如说是 2 ，那 5 x 和 6 x 就是七位数了。一想，x 、2 x 、3 x 、4 x 、5 x 、6 x的首位数字，应该一个比一个大，而且后面一个的首位数字，至少比前面一个的首位数字大 1 。这六个数的六个首位数字互不相同，按题意，就应该正好是 x 的六个数字了。x的六个数字互不相同，首位数字是 1 ，其余的数字都比 1大，所以 x的数字都不是 0 。现在，把注意力
34、转移到末位数字上来。一想，x 、2 x 、3 x 、4 x 、5 x 、6 x 的末位数字，也应该互不相同。为什么呢？因为，要是其中有两个数的末位数字相同，那么，这两个数的差的末位数字是 0 。可是，在 x 、2 x 、3 x 、4 x 、5 x 、6 x 中，任意两个数的差，必须是 x 、2 x 、3 x 、4 x 、5 x 中的一个。例如 4 x 2 x 2 x ，6 x 5 x x 。既然它们的数字与 x 的数字相同，也就不能是 0 了。这样，六个数的末位数字，也就是 x 的六位数字了。其中，一个是 1 。一想，1 不是 x 的末位数字。因为 x 的首位数字是 1 。1 也不是 2 x
35、、4 x 、6 x 的末位数字。因为它们的末位数字是偶数，不可能是奇数 1 。1 也不是 5 x的末位数字。因为 5 x的末位数字是 5或者是 0 。这样，我们便得到 1是 3 x的末位数字。3 x 的末位数字是 1 ，那 x 的末位数字是 7 。x 的末位数字是 7 ，那 2 x 、4 x 、5 x 、6 x 的末位数字分别为 4 、8 、5 、2 。x l 7 。其中的四个，应该填上 4 、8 、5 、2 。问题是谁先谁后呢？一想，x 、2 x 、3 x 、4 x 、5 x 、6 x这六个数的第二位数字，也应该是互不相同的。为什么呢？要是其中有两个数的第二位数字相同，那这两个数的差的第二位
36、数字是0 或者是 9 。可是，这个差是 x 、2 x 、3 x 、4 x 、5 x 中的一个，它的数字只能是1 、4 、8 、5 、2 、7 ，不能是 0 和 9 。所以，x 、2 x 、3 x 、4 x 、5 x 、6 x 的第二位数字，也恰好是 1 、4 、8 、5 、2 、7 这六个数字。同样的道理，x 、2 x 、3 x 、4 x 、5 x 、6 x 的第三位、第四位、第五位数字，也都是这六个数字。这和求 x 有什么关系呢？有关系。你看，x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6 x 2 1 x 。列成竖式，把这六个六位数相加，得第一位数字的和是1 4 2 8 5 7
37、2 7 ，第二位数字的和是 2 7 ，直到第六位数字的和Learning materials?也是 2 7 。所以，这 6 个六位数的和应当是2 1 x 2 9 9 9 9 9 7 ；x 1 4 2 8 5 7 。最后，说一下这道难题是怎样设计出来的：170 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 x 1 4 2 8 5 7 ，是这个循环小数的循环节。的小数部分，与的小数部分相同，它们的循环节，也是由 1 、4 、2 、8 、5 、7 这六个数字组成。所以，用 2 、3 、4 、5 、6 去乘 1 4 2 8 5 7 ，得到的数还是由 1 、4 、2 、8 、5
38、 、7 组成，只是次序不同。Learning materials?1 4八个等式请你算一算这八个等式：1 、（2 n ）22 、（2 n + 1 ）23 、（n + 1 ）2n24 、（n + 1 ）2（n 1 ）2=5 、（a + b ）2（a b ）2=6 、（a b + 1 ）2（a b 1 ）27 、1n-11n+=8 、（2 k2+ 2 k + 1 ）2（2 k + 1 ）2算好以后，再请你看一看，想一想：这些等式说明什么？你能得出什么结论？Learning materials?1 5 1 1 1 1 1 1是平方数吗自然数的平方12，22，32叫做平方数。要是一根火柴表示数字 1
39、，那么，不管用多少根火柴摆成1 1 1 1 1 1也不可能是平方数，除非只有一根火柴，可以得 1 = 1 2 。为什么呢？你已经算过：（2 n ）2 = 4 n 2 ；（2 n + 1 ）2 4 n 2 + 4 n + 1 4 （n 2 + n ）+ 1 。这就是说，平方数有这样的特点：偶数的平方除以 4余 0 ，奇数的平方除以 4 余 1 。换句话说，要是一个整数除以 4 ，余数不是 0 或者不是 1 ，那它就不是平方数。我们知道，1 0 0 ，1 0 0 0 ，1 0 0 0 0 ，都是 4 的倍数。所以，一个正整数除以 4 的余数，就是它的末两位数字所组成的数除以 4 的余数。这样，1
40、1 1 1 1 1 除以 4 的余数，就是 1 1 除以 4 的余数，也就是 3 。根据前面所说，1 1 1 1 1 1 不是平方数。同样的道理，2 2 ，2 2 2 ，2 2 2 2 ，5 5 ，5 5 5 ，5 5 5 5 ，6 6 ，6 6 6 ，6 6 6 6 ，9 9 ，9 9 9 ，9 9 9 9 ，都不是平方数。平方数除以 4 余 0 或者 1 。可是，除以 4 余 0或者 1的自然数，不一定是平方数。例如，3 3 就不是平方数。3 3 ，3 3 3 ，3 3 3 3 ，除以 4 都余 1 ，其中有没有平方数，用上面的方法是无法判别的。不过，根据乘法，一个自然数的平方的个位数字是
41、：0 0 = 0 ，1 1 1 ，2 2 4 ，3 3 9 ，4 4 1 6 ，5 5 2 5 ，6 6 3 6 ，7 7 = 4 9 ，8 8 6 4 ，9 9 8 1 。也就是平方数的个位数字只能是 0 ，1 ，4 ，5 ，6 ，9 。所以，3 3 ，3 3 3 ，3 3 3 3 ，7 7 ，7 7 7 ，7 7 7 7 ，8 8 ，8 8 8 ，8 8 8 8 ，都不是平方数。4 4 ，4 4 4 ，4 4 4 4 ，呢？因为平方数与非平方数的积是非平方数，所以，4 4 4 1 1 ，4 4 4 = 4 1 1 1 ，4 4 4 4 4 1 1 1 1 ，都不是平方数。一个自然数的个位数
42、字， 就是它除以 1 0 的余数。 所以， 上面所用的方法，就是根据一个自然数除以 4 或者除以 1 0 的余数，来证明它不是平方数的。Learning materials?1 6 1 9 8 5是两个平方数的差吗1 9 8 5 可以写成两个平方数的差吗？能。设 1 9 8 5 x2- y2（x + y ）（x - y ）。然后，分解 1 9 8 5 5 3 9 7 ，得x + y 3 9 7 ；x y 5 。解得 x 2 0 1 ，y 1 9 6 。这样解是对的。还有更简单的解法。你已经算过（n + 1 ）2- n22 n + 1 ，也就是2 n + 1 （n + 1 ）2- n2。可见每一
43、个奇数，都是可以表示成平方差的。还有。你已经算过（n + l ）2- （n - 1 ）24 n ，也就是4 n = （n + 1 ）2- （n - 1 ）2。可见 4 的倍数，都是可以表示成平方差的。这样，你已经证明了1 9 8 3 ，1 9 8 5 ，1 9 8 7 ，1 9 8 0 ，1 9 8 4 ，1 9 8 8 ，都可以表示成平方差。你看，解决一个一般的问题，例如证明每一个奇数都可以表示为平方差，有时比解决一个特殊的问题，例如证明 1 9 8 5 可以表示为平方差还要容易。这是因为在解决一般性的问题时，比较容易抓住问题的本质，发现普遍的规律；而在特殊的问题中，一些特殊属性常常掩盖了事
44、物的本质。现在，要你把 2 2 8 表示成平方差，你就容易根据前面算过的4 a b （a + b ）2（a b ）2（a b + 1 ）2（a b 1 ）2，得 2 2 8 = 4 3 1 9 = 2 22- 1 62= 5 82- 5 62。1 9 8 6 ，1 9 9 0 ，1 9 9 4 ，能不能表示成平方差？x2- y2（x + y ）（x y ）。要是 x 、y 同是奇数或者偶数，x + y 和 x y 是偶数，得 x2- y2是 4 的倍数。要是 x 、y 一个奇数一个偶数，x + y 和 x y 是奇数，得 x2y2是奇数。所以，平方差一定是奇数和 4 的倍数。这样，1 9 8
45、6 ，1 9 9 0 ，1 9 9 4 ，不是平方差了。凡是形如 4 n + 2 的数，都不能表示成平方差。Learning materials?1 7埃及分数在保存至今的古埃及纸草中，记载和讨论了分子为 1 的分数。后来，人们把分子为 1 的分数叫做埃及分数。怎样把一个埃及分数分成两个不相等的埃及分数的和，这便要用到你已经算过的1n-11n+=11n n()+了。移项，得1n-11n+11n n()+例如 n 3 ，得 n 1 4 ，n （n 1 ）= 1 2 。这样，便有13=14+112要是进一步把 1 4 分成两个，有13=15+120+112要是再进一步把 1 1 2 分成两个，有1
46、315+120+113+1156总之，用这种方法，可以把 1 3 写成任意多个不相同的埃及分数的和。好。现在请你利用埃及分数的这个特性，计算112+123+134+ +199100这和埃及分数的特性有关系？有。你看，11n n()+=1n-11n+这就得到上式（1 12）+ （1213）+ （1314）+ + （199- 1100）= 1 -1100 =99100啊。原来这样简单。每一个这样的等式，都有种种不同的用法。能从家到学校，可不要忘了从学校回家的路。Learning materials?1 8成对的幂数一个自然数是另一个自然数的整数幂（幂指数大于 1 ），或者是几个自然数的整数幂（幂指
47、数都大于 1 ）的乘积，那这个自然数就叫做幂数。4 = 22，8 = 23，9 = 32，7 2 = 2332，就都是幂数。8和 9是两个连续的幂数。请你想一想，能不能再举几对连续的幂数？更进一步，能不能证明有无穷多对连续的幂数？这个题是不容易。不过，你能想到已经算过的（2 n + 1 ）2= 4 n ( n + 1 ) + 1它又变得容易了。你看，要是 n 、n 1 是一对连续的幂数，而且 4 是幂数，那么 4 n （n 1 ）是幂数，4 n （n 1 ）1 （2 n 1 ）2也是幂数。这样，我们使得到了：4 n （n 1 ）与 4 n （n 1 ）1是一对连续的幂数。从 8 与 9 ，可得
48、到 4 8 9 与 4 8 9 1 是一对连续的幂数。从这对幂数又可造出一对更大的连续的幂数。这样继续的造下去，可见有无穷多对连续的幂数。现在，再来考虑一个问题：找出自然数 a1，a2，a3，使得a12+ a22,a12+ a22+ a32,a12+ a22+ a32+ a42,都是平方数。你已经算过：（2 k + 1 ）2+ 2 k ( k + 1 ) 2= ( 2 k2+ 2 k + 1 )2表明一个奇数 2 k 1 的平方加上另一个偶数 2 k （k 1 ）的平方，还是一个奇数的平方。要是取 2 k 1 3 ，得a12+ a22= 32+ 42= 52再取 2 k 1 5 ，得 a12+
49、 a22 + a3252+ 1 22= 1 32。再取 2 k 1 1 3 ，得a12+ a22+ a32+ a42, 1 32+ 8 42= 8 52。继续下去，便得到所需要的一串数 a1，a2，a3，这样算算看看想想，收获不小。Learning materials?1 9有多少棵树这块长方形地里有多少棵树？这太容易了。每行 1 1棵，1 0行共有 1 1 l 0 1 1 0棵树。要是象图上那样把这个长方形分成两个三角形，每个三角形里有多少棵树？这两个三角形里各有111025 5 棵树。要是从上往下，一行一行地加起来，黑点的三角形里的树是多少棵？那当然是 1 + 2 + 3 1 0 5 5
50、棵了。用两种不同的方法，去计算同一个三角形里的树，得到的结果应当是相同的。对。所以，我们能导出：1 + 2 + 3 + + 1 0 ()101102+5 5 。要是从 1 加到 1 0 0 呢？1 + 2 + 3 + + 1 0 0 ()10011002+5 0 5 0 。对。据说这就是德国数学家高斯小时候，自己找到的快速计算方法。再问你一个问题：1 + 3 + 5 + + 1 9 ？能用图来表示吗？能。象上图那样，用两个这样的三角形可得到1 + 3 + 5 + + 1 9 ()119102+= 1 0 0 。3 + 7 + 1 1 + + 4 3 ？能用图来表示吗？两个这样的梯形，也可以拚成