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1、Learning materials?前言 美妙的数学 长期以来，一个令人困惑的现象是：一些同学视数学如畏途，兴趣淡漠，导致数学成绩普遍低于其他学科。这使一些教师、家长以至专家、学者大伤脑筋！“兴趣是最好的老师。”对任何事物，只有有了兴趣，才能产生学习钻研的动机。兴趣是打开科学大门的钥匙。对数学不感兴趣的根本原因是没有体会到蕴含于数学之中的奇趣和美妙。一个美学家说：“美，只要人感受到它，它就存在，不被人感受到，它就不存在。”对数学的认识也是这样。有人说：“数学真枯燥，十个数字来回转，、- 、反复用，真乏味！”有人却说：“数学真美好，十个数字颠来倒，变化无穷最奇妙！”认为枯燥，是对数学的误解；感
2、到了兴趣，才能体会到数学的奥妙。其实，数学确实是个最富有魅力的学科。它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任何学科都不能相比的。尽管语文的优美词语能令人陶醉，历史的悲壮故事能催人振奋，然而，数学的逻辑力量却可以使任何金刚大汉为之折服，数学的浓厚趣味能使任何年龄的人们为之倾倒！茫茫宇宙，浩浩江河，哪一种事物能脱离数和形而存在？是数、形的有机结合，才有这奇奇妙妙千姿百态的大千世界。数学的美，质朴，深沉，令人赏心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人拍案叫绝！数学的趣，醇浓如酒，令人神魂颠倒。因为它美，才更有趣，因为它趣，才更显得美。美和趣的和谐结合，便出现了种种奇妙。这也许正是历史上许许多多的科学家、艺术家，同时也
3、钟情于数学的原因吧！数学以它美的形象，趣的魅力，吸引着古往今来千千万万痴迷的追求者。 一、数学的趣味美 数学是思维的体操。思维触角的每一次延伸，都开辟了一个新的天地。数学的趣味美，体现于它奇妙无穷的变幻，而这种变幻是其他学科望尘莫及的。揭开了隐藏于数学迷宫的奇异数、对称数、完全数、魔术数的面纱，令人惊诧；观看了数字波涛、数字漩涡令人感叹！一个个数字，非但毫不枯燥，而且生机勃勃，鲜活亮丽！根据法则、规律，运用严密的逻辑推理演化出的各种神机妙算、数学游戏，是数学趣味性的集中体现，显示了数学思维的出神入化！各种变化多端的奇妙图形，赏心悦目；各种扑朔迷离的符形数谜，牵魂系梦；图形式题的巧解妙算，启人心
4、扉，令人赞叹！Learning materials?魔幻谜题，运用科学思维，“弹子会告密”、“卡片能说话”，能知你姓氏，知你出生年月，甚至能窥见你脑中所想，心中所思真是奇趣玄妙，鬼斧神工。面对这样一些饶有兴味的问题，怎能说数学枯燥乏味呢？ 二、数学的形象美 黑格尔说：“美只能在形象中出现。”谈到形象美，一些人便联想到文学、艺术，如影视、雕塑、绘画，等等。似乎数学只是抽象的孪生兄弟。其实不然。数学是研究数与形的科学，数形的有机结合，组成了万事万物的绚丽画面。数字美：阿拉伯数字本身便有着极美的形象：1 字像小棒，2 字像小鸭，3 字像耳朵，4 字像小旗瞧，多么生动。符号美：“= ”（等于号）两条同
5、样长短的平行线，表达了运算结果的唯一性，体现了数学科学的清晰与精确。“”（约等于号）是等于号的变形，表达了两种量间的联系性，体现了数学科学的模糊与朦胧。“”（大于号）、“”（小于号），一个一端收紧，一个一端张开，形象地表明两量之间的大小关系。 （） （大、中、小括号）形象地表明了内外、先后的区别，体现对称、收放的内涵特征。线条美：看到“”（垂直线条），我们想起屹立街头的十层高楼，给我们的是挺拔感；看到“”（水平线条），我们想起了无风的湖面，给我们的是沉静感；看到“”（曲线线条），我们想起了波涛滚滚的河水，给我们的是流动感。几何形体中那些优美的图案更是令人赏心悦目。三角形的稳定性，平行四边形的变
6、态性，圆蕴含的广阔性都给人以无限遐想。脱式运算的“收网式”变形以及统计图表，则是数与形的完美结合。我国古代的太极图，把平面与立体、静止与旋转，数字与图形，更做了高度的概括！Learning materials? 三、数学的简洁美 数学科学的严谨性，决定它必须精炼、准确，因而简洁美是数学的又一特色。数学的简洁美表现在：1 . 定义、规律叙述的高度浓缩性，使它的语言精炼到“一字千金”的程度。质数的定义是“只有 1 和它本身两个约数的数”，若丢掉“只”字，便荒谬绝伦；小数性质中“小数末尾的 0 ”中的“末尾”若说成“后面”，便“失之千里”。此种例证不胜枚举。2 . 公式、法则的高度概括性一道公式可以
7、解无数道题目，一条法则囊括了万千事例。三角形的面积= 底高2 。把一切类型的三角形（直角的、钝角的、锐角的；等边的、等腰的、不等边的）都概括无遗。“数位对齐，个位加起，逢十进一”把各种整数相加方法，全部包容了进去。3 . 符号语言的广泛适用性数字符号是最简洁的文字，表达的内容却极其广泛而丰富，它是数学科学抽象化程度的高度体现，也正是数学美的一个方面。a b = b a a b c a c b = b c a 其中 a ，b ，c 可以是任何整数、小数或分数。S =12a +b h() ，适用于各种形状梯形面积的求解。ab =a1bab = a， ，表达了乘与除相互转化的关系，反映1b了事物的对
8、立统一。R2- r2= （R r ）（R - r ），环形面积的多解性便富含其中。rrrr2222222=( - 2)r=- 22=572，则表明：“圆中方”剪去部分与正方形面积间的固有联系。所以，这些用符号表达的算式，既节省了大量文字，又反映了普遍规律，简洁，明了，易记，充分体现了数学语言干练、简洁的特有美感。 四、数学的对称美 对称是美学的基本法则之一，数学中众多的轴对称、中心对称图形，幻方、数阵以及等量关系都赋予了平衡、协调的对称美。略举几例：Learning materials?算式：2 3 = 4 6x 5 = 1 7 - 9数阵：图形：数学概念竟然也是一分为二地成对出现的： “整分
9、，奇偶，和差，曲直，方圆，分解组合，平行交叉，正比例反比例，显得稳定、和谐、协调、平衡，真是奇妙动人。数学中蕴含的美的因素是深广博大的。数学之美还不仅于此，它贯穿于数学的方方面面。数学的研究对象是数、形、式，数的美，形的美，式的美，随处可见。它的表现形式，不仅有对称美，还有比例美、和谐美，甚至数学的本身也存在着题目美、解法美和结论美。上述这些只是浮光掠影的介绍，然而，也足见数学的迷人风采了。打开这本书，如同进入一个奇妙世界，呈现眼前的尽是数、形变幻的奇妙景观，一个个“枯燥”的数字活蹦乱跳地为你做精彩表演，一个个“抽象”的概念娓娓动听地向你讲述生动的故事。它揭示了隐藏于深层的数学秘密，展示了数学
10、迷宫的绚丽多彩。数的变幻，形的奇妙，有的令你追根究底，有的令你流连忘返，有的令你惊讶感叹，有的令你拍案叫绝走进这个奇妙世界，必将如咀嚼一枚橄榄果，品尝到数学的浓浓趣味，感受到数学王国神异高妙，从而使我们眼界大开。你将惊呼：“哇！数学原来是这么有趣啊！”Learning materials?奇妙数学大世界 ALearning materials?数字花絮 十个阿拉伯数字，像五彩缤纷的花絮。四种运算符号+ 、- 、，如变幻多姿的魔棒。数字与符号的组合分化，则构建一道道迷人的风景线，它牵动着多少智者的神经，激荡起几多想象和思考。一代代人的耕耘培育，使数学园地繁花似锦，光彩夺目。这里的每一个数字都是一
11、朵彩色的花瓣，这里的每一道问题都诱发出迷人的魅力。一些题隐去了数字，只呈现一片虚幻的空白。每一块空白又都是一个等待回答的问号，扑朔迷离，直令人魂牵梦绕。再没有比“悬念”更能激发思考了！空白虚幻之中却又隐藏种种技巧。数字趣题虽没有像应用题、故事或游戏趣题那样的事件、情节，往往只透露一点点信息，却要求从已知的点滴信息中，推出它的整体面貌。它像一团雾，像一个谜，虽然一时看不清，抓不住，却又有着实实在在的答案。这样，就更加激人深思，引人思考。一经入目，必欲弄个水落石出。数字趣题中，有的是在一个算式中只保留部分数字，而将另一些数字隐去，只用“”、“”或其他文字符号来替代。要求根据已有的数字，运用分析、推
12、理，将被隐去的数字复原，使算式完整，成立。这种趣题，在我国古代称为“虫蚀算”，意思是，本来很完整的算式，被书虫啃蚀了，因而，数字便残缺不全。有的只提供一些数字，要求添加运算符号或巧妙组合，使它们符合规定的条件。有的是通过数字的排列组合出现一些奇妙的有规律的现象。如幻方、数阵，它们纵横或周边，在同一直线上的各个数字之和，都为同一数值，奇幻迷人。数字趣题，依其表现形式，常见的有以下数种：一、竖式谜二、横式谜三、填空谜四、幻方五、数阵解数字谜，要根据四则运算的法则、规律，对照已知条件，理清数与数间的内在联系，先易后难，由此及彼，使被隐去或要求填写的数字，一个一个地暴露出来。从而拨开迷雾，显出“庐山真
13、面目”。幻方和数阵的制作，则更有一套独特的方法。解数字趣题，如同侦察员破案一样，开始如理乱麻，渐渐便理清线索，继而顺藤摸瓜，最终便真相大白了！Learning materials?竖式谜 在加、减、乘、除四则运算中，比较复杂的题目，都要先列竖式进行演算。常见的竖式，都是单纯的求和或差，或积或商。竖式谜，却只提供不完全的条件。有时给出几个或一个数字，隐去了其他各数；有时一个数字也没有，只用“”或“”等特殊符号，把竖式的框架显示出来。这种竖式看上去像一团迷雾，扑朔迷离，简直是个没解开的谜。只有熟练算法、算理，根据已提供的点滴信息，分析、推理，顺藤摸瓜，才能使一个个隐去的数字重新出现。解加、减法的竖
14、式谜，主要根据进位、退位情况，进行分析、判断。乘、除法，除了考虑进、退位问题，还要根据乘、除法的法则，认真推敲。一般要先将容易找出的数字填出来，这样，未知数的范围便越来越小，最终便可找出全部隐藏的数字。解数字谜，如同侦察员破案一样，新奇，有趣。例 1解：加数都是两位数，从第一个加数个位是 5与和的个位数是 9 ，可以推断第二个加数的个位数必定是 4 。 即 5 + ？= 9 。 从和的百位数与十位数是 1 8 ，可断定，两个加数的十位数都是 9 ，这样，谜便揭开了：例 2解：三个加数，只知道其中两个加数的个位分别是 7 、5 ，而和的个位却是 8 ，肯定是进位造成的。从 7 + 5 + ？=
15、8 ，可判断另一个加数的个位必为 6 ，十位上 5 + + 7 = 7 ，可断定：加上个位进上来的 1是 5 ，去掉进上来的 1应是 4 。百位上 2 + = 6 ，可知：= 4 ，去掉进上来的 1 ，= 3 。可知原式为：例 3解：这个减法算式，只告知了减数是 1 ，被减数、减数都不知道！全式应有八个数字，其中七个都是未知数，初看是比较难解的。但是认真分析一Learning materials?下减法算式各部分的数位，便可以找到突破口。被减数有四位，减去 1 后，差却成了三位数，只有相减时连续退位，才会如此。那么，什么数减去 1 需要向高位借数呢？只有“0 ”！而最高位退 1 后成了 0 ，
16、表明被减数的最高位就是“1 ”。这样，就可以断定被减数是 1 0 0 0 。知道了被减数和减数，差就迎刃而解了！可知，原式是：例 4解：个位上，被减数是 7 ，差是 6 ，可知减数是 1 。十位上，减数是 8 ，差是 9 ，可知被减数必小于 8 ，借位后才使差比减数大的。那么，？- 8 = 9 ，可知被减数十位上是 7 。再看百位，因为被减数是四位数。相减后，成了三位数，差的百位数又是 9 ，从而断定，被减数的百位上是 0 ，千位上必定是 1了。可知，原式是：例 5 下面的算式，加数的数字都被墨水污染了。你能知道被污染的四个数字的和吗？解：和的个位数是 9 ，可知加数的个位数字相加没有进位。即
17、两个数字和是 9 。和的百位与十位上的数是 1 8 ，便是两个加数十位数字的和。所以，被污染的四个数字的和是：1 8 + 9 = 2 7 。例 6 下面算式中的数字都被遮盖住了，求竖式中被遮盖住的几个数字的和。解：这是一道三个三位数的加法。从和的前两位是 2 9 ，可断定三个加数的百位必须是 9 ，因为三个 9 的和才是 2 7 ，多出的部分便是进位造成的。同理，可断定加数的三个十位数字的和，也必须是 9 ，多出的 2 （2 9 - 2 7 ），是个位进位造成的。而和的个位数是 1 ，断定三个加数的个位数字和是 2 1 。因此，被遮盖的数，数字和是：2 7 + 2 7 + 2 1 = 7 5例
18、 7Learning materials?解：这是个三位数与一位数相乘的算式。被乘数只知道十位数是 2 ，积只知道个位数是 2 ，乘数是 7 ，其余都是未知数！但是从个位的一个数与 7相乘，积的个位数是 2 ，可推断被乘数的个位数只能是 6 。 6 7 = 4 2 ，十位上进 4 。被乘数的十位数是 2 ，2 0 7 = 1 4 0 ，加上进位的 4 ，积的十位应是 8 ，进位 1 。从积是三位数，可断定被乘数的百位数必为 1 （因为若大于 1 ，积则为四位数了！），1 7 = 7 ，加上进上来的 1 ，积的百位数便是 8 了。可知，原式是：例 8解：这是个四位数与两位数相乘的算式。从乘数的个
19、位数 9 和部分积个位是 7 ，可推知被乘数的个位是 3 ，进 2 。据此，推知被乘数的十位是 8 ，89 = 7 2 ，加上进位 2 ，才符合积的十位数得 4 的要求。再根据积的百位数是5 ，推知被乘数百位是 2 ，2 9 = 1 8 ，加上进位 7 ，得 5 ，进 2 。继而推知被乘数千位是 5 ，5 9 = 4 5 ，加上进位 2 ，才可得积的千位数 7 。从被乘数是 5 2 8 3 和第二部分积中的 5 ，可以推断乘数的十位数，因为被乘数的前两位是 5 、2 ，经过尝试，乘数的十位数只能是 3 。至此，其他各数字，便容易得出了！例 9解：为了分析，我们将题中的关键位置用字母标出。算式中
20、，只有被乘数与 2 的积是四位数，与 A 、B 的积都仍是三位，从而断定 A = B = 1 。以此为突破口，再追寻其他。其中，部分积 D与完全积中的 C ，也很明显是 1 。D由“2 ”得来，最大的一位数乘 2 也只能进 1 。由 D = 1 ，断定 C = 1 。知道 D = 1 ，“D + E ”又进位，推断 E 不是 8 必是 9 。如果 E 是 8 ，则 F 非 6即 7 ，但是 F + 8 = 9 ，所以 E 不可能是 8 。Learning materials?部分积“G H ”和“E 8 ”都是被乘数与 1 相乘得到的，所以，E = G = 9 ，H = 8 。知道了 H =
21、8 ，从“8 + K = 2 ”断定 K = 4 。K 是被乘数与 2 相乘得到的，乘2 后积的尾数是 4 的只有 2 或 7 。再通过一些试算，算式中的数字，便一个个都推断了出来：例 1 0 下面的算式，没有一个已知数。只知道式内的全部数字都是质数。能把所有的数字都找出来吗？解：式中的全部数字都是质数，那么组成算式的数字只能是 2 、3 、5 、7四个数字。从三位数乘得的积都是四位数，并且得数全部是质数，我们可以用 2 、 3 、5 、7任组成一个三位数和一个一位数相乘，凡积也全部是质数的就记下来，不符合就舍弃，这样使范围逐步缩小。经尝试，只有 7 7 5 3 = 2 3 2 5 ，5 5
22、5 5 = 2 7 7 5 ，7 5 5 5 = 3 7 7 5 ，3 2 5 7 = 2 2 7 5四种情况。要符合题目的条件，乘数只能是数字相同的两位数。这样也有四种情况：7 7 5 3 3 5 5 5 5 5 7 7 5 5 5 3 2 5 7 7 。相乘后，不仅它们的部分积，连完全积也必须都是质数， 才能符合题意。经检验后，只有下面的算式符合：这团迷雾，终于真相大白。例 1 1解：在乘法中，积的位数估算方法是：看被乘数与乘数首数相乘的积：Learning materials?首数相乘满 1 0 时：积的位数= 被乘数位数+ 乘数位数首数相乘不满 1 0 时：积的位数= 被乘数位数+ 乘
23、数位数- 1本题是三位数与两位数相乘，积为四位数。可知，属首数相乘不满 1 0的。由此断定，被乘数的首位是 1 。再由两部分积首位相加不进位，断定被乘数的十位数也只能是 1 。被乘数的个位数，则根据积是四位数，参照乘数的十位数 8 ，相乘后，部分积的首位不能满 1 0 ，断定必是 2 。这样，全式便可以列出了：例 1 2解：这个除式中，除了告知商中两个数字外，其余的全是未知数！初看很难。但是，当认真观察全式后，便可发现线索：除数是两位数，与商的首位相乘，其积是三位数，而与商中的 8 相乘，则积是两位数了，从而可断定：商的首位是 9 ；除数的首位是 1 ；除数的个位数字，一定小于或等于 2 。因
24、为，1 中个位若是 3 ，与 8 乘积就是三位数了；个位若是 1 ，与商的首位9 乘，又不是三位数了。可知，必为 2 。即除数是 1 2 。再看商的十位数。从商 9 8 7 ，对照除式是落下一位不够除的，才连落两位数，这样，又可断定，十位上的商是 0 。已经知道了除数和商，被除数便是：1 2 9 8 0 7 = 1 1 7 6 8 4 。可知，原式是：例 1 3Learning materials?解：首先要找出解题的突破口。从余数是 0 ，表明商与除数相乘得 1 3 8 ，即“2 6 = 1 3 8 ”，一个数乘 6个位是 8 的只有 3 和 8 ，但是 2 方框中若是 8 ，便不合题意，因
25、为 2 8 6 1 3 8 。确定了除数是 2 3 ，2 3 6 = 1 3 8 ，则被除数的个位数也必是 8 。再从商的十位数与除数 2 3 相乘得 1 8 4 ， 即 2 3 = 1 8 4 ，可知商的十位数也是 8 。商的百位数已知是 1 ，与除数 2 3相乘仍是 2 3 ，从首商差的数字是 1 9 ，可推断被除数的首位数字应是 4 。这样，算式便全部恢复了数字：例 1 4解：这是除数是三位数的除法。商的百位是 1 ，它与除数相乘的积个位是 5 ，可知除数的个位也是 5 ，即除数是 2 1 5 ，从而可知第一次相减余 5 5 ，拉下 9 ，得 5 5 9 。被除数的千位数必是 7 。再看
26、 5 5 9被 2 1 5除应商几呢？从相减余下 9 ，可知商的百位数是 2 。余1 2 9 ，再拉下 0 ，继续除。除数 2 1 5 的多少倍是 1 2 9 0 呢？从而又确定了商的个位数是 6 。这样，全式便是：例 1 5Learning materials?解：这道题被除数是六位数，除数和商都是三位数，这么复杂的除式，知道的数字只有一个 8 ，要将那些隐去的数字都找出来，就要有侦察员破案的精神。从除数与 8 相乘的积是三位数，而除数与商的百位和个位相乘都得四位数，说明商的百位和个位都比 8 大，那就只能是 9 了！即完全商是 9 8 9 。从除数乘 9得四位数，断定除数百位是 1 ，否则
27、与 8乘也是四位数了。同理，商的十位数也必须比较小。经对照商与乘积关系，反复尝试，确定了除数是 1 1 2 。这样，其他各数便不难推断了。例 1 6解：这是一道六位数除以两位数，商是四位数的除法算式。整个算式中，只知道商的末位数字是 5 ，要我们把全部数字都找出来，真是个难解的谜！从何处下手呢？首先要认真观察算式特点，由易到难，顺藤摸瓜。一般都是从除数、商与被除数的关系进行推导。在除法中，余数必须小于除数，落下被除数中的一位后，仍不够除，必须在商的空位上补 0 。由竖式特点，可判定商的百位数是 0 。商的千位数是几呢？从商的百位数是 0 ，可推断，被除数的首位数和第一次余数的首位数必定是 1
28、，由此，又可推断，如果除数是 1 1 ，商的千位数是 9 ，如果除数是 9 9 ，商的千位数是 1 。因为三位数减去两位数，余数是 1 的，只能是 1 0 0 9 9 ，而从除式的末尾看，商与除数的积只有两位数，除数若是 9 9 ，那么与商的末位数 5 相乘，便是三位数了！所以，除数只能是 1 1 。同样，根据除式的特点及已推知除数是 1 1 ，可断定，商数的十位数也是Learning materials?9 。这样，整个算式便可恢复原状了。9 0 9 5 1 1 = 1 0 0 0 4 5原式为：例 1 7解：这道小数除法算式中，竟然连一个已知数都没有。但是却要求根据算法、算理把全部数字都补
29、上去，真是奇妙！从哪里寻找突破口？我们知道，小数除法最后一个不完全积的右端必有若干个 0 ，这是它与整数除法的特殊之处。这就决定了它的商和除数的最后一位数字，必然为一个是 5 ，另一个是偶数，否则，它们的积，便不可能是整十、整百、整千了。从这道式的特点看，商的十分位是 0 。首次商后的余数，数字在 1 9 之间，若不考虑小数点，补 0 后为 1 0 0 9 0 0 之间。定下这个数之后，便可进一步分析除数和商的末位数了。除数是三位数与商的末位相乘得整百的数只有：1 2 5 4 = 5 0 0 ，2 2 5 4 = 9 0 0 。如 果 除 数 是 1 2 5 （ 实 际 是 1 . 2 5 ）
30、，则被除数是 1 3 0 （ 实 际 是1 . 2 5 + 0 . 0 5 = 1 . 3 ）。如 果 除 数 是 2 2 5 （ 实 际 是 2 . 2 5 ），则被除数是 2 3 4 （ 实 际 是2 . 2 5 + 0 . 0 9 = 2 . 3 4 ）。经检验，这两种情况都符合题意。则此式可能是：解 1 ：解 2 ：Learning materials?Learning materials?横式谜 横式谜比竖式谜更为复杂、迷人。竖式谜只是四则运算中的一种，横式谜则常把加、减、乘、除四则运算贯穿在一个题目中，有着更大的灵活性。解横式谜，不能孤立地只看一数一式，必须兼顾上下左右的联系，使所
31、填数字适应整体要求。例 1 将 0 、1 、2 9这十个数字，不遗漏，不重复，分别填入中，组成三道算式：解：这类问题，虽然要多作尝试，但也要找准突破口，否则，胡乱尝试，费时费功也难找到正确答案。这道题，首先要确定 0 的位置。经分析，前两式不可能含 0 。0 只能在第三式的积中。两数的积含 0 的有：2 5 1 0 4 5 2 0 6 5 3 0 8 5 4 0 ，共四道算式。这样，就把尝试的范围大大地缩小了！经验证，如下填法可符合要求：7 1 89 6 35 4 2 0例 2 将 1 9 九个数字，不重复，不遗漏，填入下列式中的，使等式成立。解：全式中含有三道算式，都是两位数除以一位数，解题
32、应从商入手。商只能是一位数，若是两位数，则重复的数字太多，三道算式便不能把1 9 九个数字都包括进去。这样，只能从商是 2 9 各式中去尝试、筛选。商是 2商是 3商是 4商是 51 8 92 7 93 6 94 5 91 6 82 4 83 2 84 0 81 4 72 1 72 8 73 5 71 0 51 8 62 4 63 0 61 5 52 0 52 5 51 2 41 6 42 0 41 2 31 5 3商是 6商是 7商是 8商是 95 4 96 3 97 2 98 1 94 8 85 6 86 4 87 2 84 2 74 9 75 6 76 3 73 6 64 2 64 8
33、65 4 63 0 53 5 54 0 54 5 52 4 42 8 43 2 43 6 4Learning materials?1 8 32 1 32 4 32 7 31 2 21 4 21 6 21 8 2从这一些算式中，按照要求进行分析，把式中含有重复数字的式子全部剔除，余下的式子若符合条件，便是正确的解。我们发现，只有商是 7 或 9 的有符合要求的算式。即：2 1 3 4 9 7 5 6 8或：2 7 3 5 4 6 8 1 9例 3 在下列式中，每个内填入一个大于 1 的数字，使等式成立。 （3 ）28 9解：可采用“层层剥笋”的方法，逐步缩小谜底的范围。把方括号内看作一个数，此式
34、便成为：一个数的平方是四位数，这个四位数是八千几百几十九。我们知道，在乘法中，被乘数与乘数的首数相乘满十的，积的位数被乘数位数乘数位数。由此，缩小了方括号中数的估算范围。经试算，能满足等式右端条件的完全平方数只有 9 3 ，即：9 328 6 4 9 ，从而断定：方括号内的数必须是 9 3 。再分析方括号内各应填的数。把小括号看成一个数，则是9 3 ， 9 3 分解成因数相乘是 3 3 1 ，可知小括内的数和应为 3 1 。由“3 3 1 ”，可推知是 2 3 8 。这样，全式便破译出来了： 3 （2 3 8 ）28 6 4 9例 4 在下式中，分别从 1 9 个数字中，选取八个填入，使带分数
35、相减的差值最大。解：要使差的值最大，必须把数字组合成被减数最大而减数最小。可先确定它们的整数部分：被减数填 9 8 ，减数填 1 2 。分数部分从 3 、4 、5 、6 、7 五个数选取。最大的真分数是分子比分母小 1 。因此，被减数的分数部分只能在67564534、中挑。减数的分数部分值要求最小，应取分母与分子的差最大，由上述 、 、 、 、 五个数组合，应是。这样，3456737被减数的分数部分只能挑，才能避 字重复出现。567故而，上题可填为：例 5 将 1 8 八个数字，分别填入下式内，使全式的值最小：解：这是两位数相乘的算式，要使相乘得的积最小，必须使各数的高位数字尽可能小。Lear
36、ning materials?根据这个原则，填写的顺序应是：从左至右，先将 1 、2 、3 、4填在各个数的十位上，再从右至左，将 8 、7 、6 、5 填在各个数的个位上。最后便得到：1 5 2 6 3 7 4 8例 6 将 1 9 这九个数字，分别填入九个内，使算式的值为最大。解：要使乘积最大，同样，要遵循“把比较大的数都填在高位上”的原则。据此，可先从左至右，在各数的百位上分别填 9 、8 、7 ，再从右至左，在各数的十位上填 6 、5 、4 ，最后再从右至左，在各数的个位上填 3 、2 、1 。结果得：9 4 1 8 5 2 7 6 3Learning materials?填空谜 例
37、1 把 4 、5 、6 、7 、8 、9 、1 0 、1 1 八个数，分别填在等号两端的里，使等式成立。解：因为等号两端各有四个数，只要它们的和相等，等式便能成立。题中八个数的总和是 6 0 ，则等号两边的四个数的和应各为 3 0 。这八个数还有如下特点：4 1 1 1 5 ，5 1 0 1 5 ，9 6 1 5 ，7 8 1 5 ，只需把这四组数两两一组，或将每一组的两个数分开于等号两端即可。因此，填法有：（1 ）4 1 1 5 1 0 9 6 7 8（2 ）4 1 1 6 9 5 1 0 7 8（3 ）4 5 7 8 6 9 5 1 0例 2 0 . 2 5 、0 . 7 5 、2 2 .
38、 5 、_ _ _ _ 、_ _ _ _ 。解：这类题的各个数间都存在一定的相互关系，并不是彼此孤立毫无联系的。它们都隐含着递增、递减或倍数关系。要认真地观察、分析，找出其中的规律。本题的各数，愈向后愈大，而且相邻两数间，后一个数总是它前一个数的 3 倍。发现这个规律后，往后的数便可很容易的填出来了。即：6 . 7 5 （2 . 2 5 3 ）、2 0 . 2 5 （6 . 7 5 3 ）例 3 0 、1 、1 、2 、3 、5 、8 、_ _ _ _ 、_ _ _ _ 。解：这道题初看似无规律：数字虽然逐渐增多，但增多的部分并不相同，又不成倍数关系。仔细分析后，便可发现：后面的数总是它前面两
39、个数的和，这样，问题便迎刃而解了。接下去应填：1 3 （5 8 1 3 ）、2 1 （8 1 3 2 1 ）。例 4解：每个分数的分子都比分母大，而且差数都是 3 。因此可推断最后一个分数的分子是 2 3 3 2 6 ，即“？”处应填 2 6 。例 5解：每个图中，上端的数是被除数，下端的两个数是除数和商。因此，？6 3 9 7 。例 6解：这类题必须仔细观察，反复分析，才能发现共同的规律，否则，把部分数间的关系当作共同特点，便误入歧途了。本题对顶的两个数间存在共同规律，即较大的数都是较小数的 2 倍。题中不存在小数，因此，与 1 9 相对Learning materials?的数应是 1 9
40、 2 3 8 ，即：？3 8 。例 7解：这三组数，初看毫无联系。实际，每组数的第一个数都是第二、三两个数和的 2 倍。即：3 6 （1 5 3 ）22 4 （5 7 ）2据此，？（1 3 8 ）2 4 2例 8 请你把 2 7 、3 2 、5 0 、7 2 各分成任意的四个数，将分成的四个数分别填入各个括号中，使等式成立。（1 ）分解 2 7 ：（ ）2 （ ）2 （ ）2 （ ）2（2 ）分解 3 2 ：（ ）3 （ ）3 （ ）3 （ ）3（3 ）分解 5 0 ：（ ）4 （ ）4 （ ）4 （ ）4（4 ）分解 7 2 ：（ ）5 （ ）5 （ ）5 （ ）5解：这类问题假如全靠尝试是
41、十分麻烦的。分解成的四个数，分别填入四个括号，各式得数要相等，四个数的和还必须等于原数。怎样分解原数便成了关键！从乘式入手，从最小的数 1 试验，而后再调整。以（1 ）为例，若乘式填1 ，则全式仍保持相等就成了：（0 ）2 （4 ）2 （1 ）2 （4 ）2式子虽成立了，但是分解的四个数和为：0 4 1 4 9 ，是 2 7 的三分之一！所以，乘式原来填的 1 太小了，应再扩大 3 倍，这样再保持等式成立，便成了：（4 ）2 （8 ）2 （3 ）2 （1 2 ）2各式的结果都等于 6 。分解的四个数和是：4 8 3 1 2 2 7 。其他各题，读者自己填填看。例 9 找出头、脚数字间的规律，把
42、“？”换成数。解：寻找数字间的内在关系，可以把每个图作为独立的个体，考察头、脚间三个数的内在联系。也可以把三个人当作一个整体，考察数字的演化过程，用数字间加、减、乘、除，找出存在的共同规律。若从头上的数字变化，仅三个人 5 4 ？看不出规律。经尝试，每个人“头上”的数，都是“脚”上数字和的一半。可知“？”是（2 8 ）2 5 。Learning materials?例 1 0 将“？”填上合适的数：解：头手共三个数。若把三人当作整体，仍看不出头上数的变化规律。把每个人当作独立的个体。经尝试，前二人头上数的规律为：中数为两边数的差。从而可知“？”应填上“2 ”，即 5 3 的差。例 1 1解：第
43、一人头手三数是 1 9 、2 1 、2 3 。第二个人头手三数是 7 1 、7 3 、7 5 。都是连续的三个奇数。第三人手中的两个数也是奇数，可知“？”应填“5 ”。例 1 2解：小动物的四条腿和尾上都有数字。共五个。要我们求解的是尾上的数字。应考虑尾上的数可能是由四条腿上的数字而来。通过多方尝试，第一个动物中，前两腿中两数和与后两腿中两数和相减，差为 5 。即：（8 6 ）（4 5 ）5 。可知后一动物中，？（3 9 ）（42 ）6 。例 1 3Learning materials?解：小姑娘的头、手、足共有五个数字。头上的数字很可能是其余数字的计算结果。经检验，两手数字和与两足数字和的差
44、，恰为头上数字。可知：？（4 1 5 ）（1 3 3 ）3例 1 4解：三角形内角三个数的和恰为中心数。可知？9 8 1 1 8Learning materials?幻方 例 1 将 1 9 九个自然数，填入下图空格内，使横、坚、斜对角每三个数的和都是 1 5 。解：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。由三行三列数组成的幻方，称为“三阶幻方”。制作这种幻方的方法是：把九个自然数，按照从小到大的递增次序斜排（如图一），然后把上、下两数对调，左、右两数也对调（如
45、图二），最后再把中部四个数各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。如果把图三制好的幻方，旋转 9 0 、 1 8 0 、 2 7 0 都各成一个新的幻方。如果画在透明纸上，反过来观察，再旋转上述角度每次所得到的幻方，也具备上述性质。这样便可得到八个图，当然，它们并无实质上的区别。幻方的神奇有趣，还不仅仅表现在纵、横、斜和为 1 5 ，它具备的许多奇妙特性，人们尚未充分认识。例 2 将 1 9 九个自然数，填在 3 3 正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。解：具备题中特征的称为“反幻方”。据美国当代科普作家加德纳研究发现，符合
46、上述条件的反幻方，只有两个，即：反幻方也很有趣，瞧，它的数字排列酷似个螺旋，前一个由外向内转，后一个由内向外转。这使我们想到古代的回文诗。莺啼岸柳Learning materials?月明弄夜睛春这是一首联珠顶真的回文诗，自外向内再自内向外，如螺旋，可读作：莺啼岸柳弄春晴，柳弄春睛夜月明。明月夜睛春弄柳，睛春弄柳岸啼莺。看一下，它们多么相像！例 3 认真观察下列的七阶幻方，指出它有哪些显著的特点。解：这个幻方纵、横、斜对角的七个数和是 1 7 5 ；如果圈出图内 5 5 格，也是个幻方，它的纵、横、斜五个数和也是 1 7 5 ；圈出中心的三阶幻方，纵、横、斜三数和是 7 5 。这个幻方的奇妙之
47、处是：将七阶幻方，剥掉一层，就成了五阶幻方；再剥掉一层，就成了三阶幻方。它从中心向外辐射，内部的三阶幻方是个核心。因此，这种幻方，叫做同心幻方，也叫嵌套幻方。例 4 下图是由 1 6 4组成的八阶幻方，如果把其中的数字逐个间隔地取出来， 按原顺序重新组成两个四阶方阵， 这个新的数字方阵， 有什么特点？13 52 45 44 396 23 264 01 94 94 81 45 72 74 71 35 82 853 92 05 04 41 06 13 123 62 35 32 25 633 36 43 04 11 11 77 583 85 92 54 61 66 02 64 51 51 85 27
48、3 76 22 94 21 22 15 543 4解：我们先把上图中数字逐个间隔地取出来，排成如下面的四阶方阵，再分析它们的特点。在这两个图中，任意一横行的数字和是 1 3 0 ，任意一纵行的和以及斜对角四数之和都是 1 3 0 ！更为奇妙的是：把所有的对角线连起来，凡是不足四个数的，便与它相对平行的间隔大的一个或两个数相加，其和仍是 1 3 0 。例如：Learning materials?例 5 下图是个八阶幻方，算一算，它们的纵、横、对角线上的八个数和是多少？再算算八个数的积是多少？你发现了什么？解：只要学会多位数四则运算了，八个数的加或乘，并不难，细心一些就行了。任抽几行算算看：2 1
49、 6 1 6 1 1 7 5 2 1 7 1 9 0 5 8 7 5 8 4 03 9 3 4 1 3 8 2 4 3 1 0 0 2 9 1 0 5 1 5 2 8 4 01 1 7 2 3 2 1 7 5 0 4 5 1 0 8 1 3 3 1 3 8 8 4 02 0 0 1 5 3 5 8 1 3 9 2 5 7 1 6 2 1 0 5 8 4 04 6 6 0 1 7 8 7 9 1 2 2 5 1 6 2 1 5 2 8 4 02 0 3 1 5 3 9 0 1 8 4 3 8 1 0 8 2 5 3 9 8 4 0纵、横、斜任意一行，八个数的和都是 8 4 0 。将上面的每八个数
50、相乘，令人惊奇的是，它们的积也相等！都是2 0 5 8 0 6 8 2 3 1 8 5 6 0 0 。这个乘积的数字太大了！有没有乘积小一些的幻方呢？遗憾的是，至今为止，数学爱好者们对阶数低于 8 的“双料”幻方，还没发现过！尽管多于八阶、十六阶以及更高阶的幻方都有制作。但是这种等和、等积的幻方，八阶以下的根本没有，或虽然有却无人能创制，总之，现在还是个谜！例 6 下面的图是由 1 8 1连续自然数组成的九阶幻方。现把它分割成相等的九块。算算看，每一小块中的纵、横、斜对角的数字和有什么特点？解：从左至右，从上而下，我们对每一个方块中的纵、横、斜三数进行加法运算，令人惊奇的是：这个九阶幻方中，所