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1、 椭圆（一）椭圆（一） 问题：问题：2008年年9月月28日上午日上午9时，时，“神州七号神州七号”载人飞船顺利升空，载人飞船顺利升空，实现多人航天飞行，标志着我国实现多人航天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请航天事业又上了一个新台阶，请问：问：“神州七号神州七号”飞船的运行轨飞船的运行轨道是什么？道是什么？一一.情景引入情景引入生活中的椭圆动画演示青藏铁路昆仑山隧道青藏铁路昆仑山隧道仙女座星系星系中的椭圆星系中的椭圆“传说中的传说中的”飞碟飞碟问题的提出：问题的提出： 若将一根细绳两端分开并且固定在平若将一根细绳两端分开并且固定在平面内的面内的 F1、F2两点，当绳长大于两点，当绳
2、长大于F1和和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么呢？什么呢？思思考考数学实验数学实验 (1)取一条细绳，取一条细绳， (2)把它的两端固定在板把它的两端固定在板上的两个定点上的两个定点F1、F2 (3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细）把细绳拉紧，在板上慢慢移绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的动看看画出的 图形图形1.1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？的？2.2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了
3、什么？在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？系？请你归纳出椭圆的定义请你归纳出椭圆的定义, ,它应该包含几个要素它应该包含几个要素? ?F2F1M(1)(1)由于绳长固定，所以点由于绳长固定，所以点M M到两到两个定点的距离和是个定值个定点的距离和是个定值（2 2）点）点M M到两个定点的距离和要大到两个定点的距离和要大 于两个定点之间的距离于两个定点之间的距离（一）椭圆的定义（一）椭圆的定义 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的距离之和等于
4、常数 （2a） （大于（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。）的点的轨迹叫椭圆。 定点定点F1、F2叫做椭圆的焦点。叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距（两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1小结：椭圆的定义需要注意以下几点小结：椭圆的定义需要注意以下几点1.1.平面上平面上-这是大前提这是大前提2.2.动点动点M M到两定点到两定点F F1 1，F F2 2的距离之和是常数的距离之和是常数2a 2a 3.3.常数常数2a2a要大于焦距要大于焦距2C2C思考：思考：1.
5、当当2a2c时时,轨迹是（轨迹是（ ）椭圆椭圆2.当当2a=2c时时,轨迹是一条线段轨迹是一条线段, 是以是以F1、F2为端为端 点的线段点的线段 3.当当2a0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的坐的坐标分别是标分别是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化化简？）简？）122MFMFa222212(),()MFxcyMFx cyaycxycx2)()(2222 得方程由椭圆的定义得，由椭圆的定义得，限限制条件制条件：代代入坐标入坐标2.椭圆的标准方程的推导222222bayaxb 22b
6、a两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方) 0( 12222babxay总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式012222babyax焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：椭圆的标准方程1oFyx2FMayc
7、xycx2)()(2222axcyxcy2)()(22221 12 2yoFFMx0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1+MF2=2a (2a2c0)定定 义义1 12 2yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表注注: : 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不
8、同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 练习1：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指 明a2、b2，写出焦点坐标2212516xy+=答：在答：在 X 轴（轴（-3，0）和（）和（3，0）221144169xy+=答：在答：在 y 轴（轴（0，-5）和（）和（0，5）222211xymm+=+答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。11625)2(22yx11)3(22
9、22mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？22,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?例例1: 1: 已知椭圆的焦点在已知椭圆的焦点在x轴上轴上,焦距为焦距为8,椭椭圆上的点到两个焦点的距离之和为圆上的点到两个焦点的距离之和为10, 求求:该该椭圆的标准方程椭圆的标准方程 .解解:945.4, 5, 82,10222222cabcaca1162522yx 1.确定焦点在那条轴上。确定焦点在那条轴上。 2
10、.求出求出a,b的值。的值。求椭圆的标准方程的关键：求椭圆的标准方程的关键：x x x因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上,所以它所以它的标准方程为的标准方程为:例例2：求下列椭圆的焦点和焦距。求下列椭圆的焦点和焦距。145)1(22yx故故:所以椭圆的焦点为所以椭圆的焦点为: 焦距为焦距为2.解：因为解：因为54，所以椭圆的焦，所以椭圆的焦点在点在x轴上，并且轴上，并且4, 522 ba22 , 1, 1222ccbac) 0 , 1 (),0 , 1(21FF 例例2：求下列椭圆的焦点和焦距。求下列椭圆的焦点和焦距。8222bac因为因为:168,所以椭圆的焦点在所以椭圆的焦点在y轴
11、上，并且轴上，并且所以椭圆的焦点为所以椭圆的焦点为: 焦距为焦距为: .解：将方程化成标准方程为：解：将方程化成标准方程为：故, 8,1622ba（2） 16222 yx116822yx, 8222bac242 , 22cc)22 , 0(),220(21FF24练习练习1：求椭圆的焦点坐标与焦距求椭圆的焦点坐标与焦距1615) 1 (22yx答：焦点（答：焦点（-3，0）（）（3，0） 焦距焦距 2c=6116925)2(22yx答：焦点（答：焦点（0，-12）（）（0，12） 焦距焦距 2c=24练习练习2 2：（2） ，焦点在，焦点在y轴上；轴上；15,4ca（1） ，焦点在，焦点在x轴
12、上；轴上；1,4ba写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程:答答 案案:1116).1 (22yx1116)2(22xy2222xy1.1xa3a( )xy2.1yb9b( )方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。方程表示焦点在 轴上的椭圆，则 的范围为。0b3a3练习：练习：1.方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则k的范围是 . 2.椭圆mx2+ny2=-mn(mn0)的焦点是 . (0,4)mn , 03.3.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x x轴轴上的椭圆，则上的椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 . .22xy+=14m变式：变式：已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则m的取值范的取值范围是围是 . .2222xyxy+= 1+= 1m - 13- mm - 13- m(0,4) (1,2)小小结：结： 1、椭圆的定义、椭圆的定义. 2、字母、字母a,b,c之间的大小关系之间的大小关系.3、在求椭圆方程的关键是什么、在求椭圆方程的关键是什么?1F2FxyO),( yxM yxoF1 1F2 2M