函数的单调性与极值ppt课件.ppt

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1、(1) 引子引子 结论：均为锐角，即每一点的切线斜率都是正的，即结论：均为锐角，即每一点的切线斜率都是正的，即0)( xf（1）观察单调增函数的）观察单调增函数的图像（右图），当函数图像（右图），当函数单调增加时，这单调增加时，这条曲线沿轴正向是上升条曲线沿轴正向是上升的。若该曲线是光滑的，的。若该曲线是光滑的，那么在区间那么在区间 内每一内每一点的切线都存在，其倾斜角如何？点的切线都存在，其倾斜角如何？)(xfy ),(baxxyo2l11l2y = f (x)(1) 引子引子 结论：均为钝角，即每一点的切线斜率都是负的，即结论：均为钝角，即每一点的切线斜率都是负的，即0)( xf（2）观察

2、单调减函数的）观察单调减函数的图像（右图），当函数图像（右图），当函数单调减少时，这单调减少时，这条曲线沿轴正向是下降条曲线沿轴正向是下降的。若该曲线是光滑的，的。若该曲线是光滑的，那么在区间那么在区间 内每一内每一点的切线都存在，其倾斜角又如何呢？点的切线都存在，其倾斜角又如何呢？)(xfy ),(baxxyo1l12l2y = f (x)(1) 引子引子由此可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联由此可见，函数的单调性与它的导数的符号有着密切的联系，反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？系，反过来，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？? ?结论是肯定的结论是肯定的(2) 定

3、理定理设函数设函数 在在 内可导：内可导：)(xf),(ba（2） 如果在内，则函数在如果在内，则函数在 内单调减少。内单调减少。),(ba),(ba)(xf0)( xf（1）如果在内，则函数在）如果在内，则函数在 内单调增加。内单调增加。),(ba),(ba)(xf0)( xf(2) 定理定理 说明说明1 1：定理中的开区间换定理中的开区间换 ， ，等其它各种区间，定理的结论仍然成立。等其它各种区间，定理的结论仍然成立。,(b),a),( 说明说明2 2：与与 换成与换成与 （等（等号只在个别点成立），定理的结论是否仍然成立？号只在个别点成立），定理的结论是否仍然成立？0)( xf0)( x

4、f0)( xf0)( xf(3) 举例举例例例讨论函数在区间讨论函数在区间 内的单调性。内的单调性。xxxf3)()100,10(13)(2xxf解：因为解：因为013)(2xxf所以在区间（所以在区间（-10，100）内）内xxxf3)(由定理可知由定理可知在区间（在区间（-10，100）内单调递增。）内单调递增。(3) 举例举例例例2 2讨论函数讨论函数 的单调性。的单调性。xxxfln)(xxxfln)(), 0( xxf11)(解：因为解：因为的定义域为的定义域为1x, 0)x(f当当时，时，10 x0)( xf当当时，时，), 1 ( )(xf由定理知由定理知是是的单调递增区间的单调

5、递增区间,) 1, 0()(xf是是的单调递减区间。的单调递减区间。(3) 举例举例 由定理可知，讨论函数的单调性，需要根据一阶导数的由定理可知，讨论函数的单调性，需要根据一阶导数的符号来进行判定。当符号来进行判定。当 连续时，连续时， 的正负值的分界点是使的正负值的分界点是使 或或 不存在的点。不存在的点。)(xf)(xf )(xf 0)( xf我们把我们把 的点的点 称为函数称为函数 的的驻点驻点或或稳定点稳定点。 )(xf0)x(f00 x(3) 举例举例例例3 3求函数求函数 的单调区间。的单调区间。315923xxxy151832xxxf)()x(f),(解：因为解：因为的定义域为的

6、定义域为0)( xf5x, 1x令令得驻点得驻点，列表讨论，列表讨论x)( xf)(xf1( 1 , 5 )( - , 1)5(5 , + )+-+所以函数所以函数 的单调增区间是的单调增区间是 、 单调减区间是单调减区间是)(xf) 1,(), 5()5, 1 (3) 举例举例例例4 4 证明：当证明：当 时，时， 。0 xxex1,1)(xexfx0)0(f证明：令证明：令则则),0 x(01e)x(fx又因为又因为), 0(xexfx1)()0 x()0()(fxf所以函数所以函数在在单调增加单调增加,即即)0 x(0 x1ex)0 x(x1ex所以所以(4) 训练题一训练题一1、讨论函

7、数、讨论函数 的单调性的单调性32) 1()(xxxf2、讨论函数、讨论函数 的单调性。的单调性。32)(xxf3、讨论函数、讨论函数 的单调区间的单调区间 3129223xxxy答案：单调增加区间是答案：单调增加区间是 、 ；单调减少区间是；单调减少区间是 )0 ,(),52()52, 0(答案：单调增加区间是答案：单调增加区间是 ；单调减少区间是；单调减少区间是 ), 0( )0 ,(答案：单调增加区间是答案：单调增加区间是 、 ；单调减少区间是；单调减少区间是 ) 1 ,(), 2( )2 , 1 (1) 引子引子观察图像：观察图像： 函数函数 在点在点 ， 处有处有何特点？何特点？)(

8、xf1x2x)(1xf 显然，显然， 在在 的周围其的周围其他点的函数值比他点的函数值比 小，小， 在在 周围其他点的函数值比周围其他点的函数值比 大。大。)(xf1x2x)(2xfxyoy = f (x)x1x2(2) 定义定义设函数设函数 在在 点某领域内有定义，如果在该领域点某领域内有定义，如果在该领域内任取一点内任取一点 ，均有，均有 ，则称，则称是函数的一个是函数的一个极大值极大值，称，称 为为 的的极大值点；极大值点；同样，如果在该邻域内任取一点同样，如果在该邻域内任取一点 ，均有，均有 ，则称是函数的一个，则称是函数的一个极小值极小值，称为的称为的极小值点极小值点)(xf0 x)

9、(0 xxx)()(0 xfxf)(0 xf)(xf0 x)(xf)(0 xxx)()(0 xfxf)(0 xf)(xf)(0 xf)(xf(2) 定义定义 xyox1x2x3x4x5x6ab 从图中我们可以看到点从图中我们可以看到点 、是极大值点，、是极大值点， 、 是极大值；、是极小值点，、是极大值；、是极小值点，、 是极小值。是极小值。2x5x)(2xf)(5xf1x4x6x)(1xf)(4xf)x(f6(3)定理定理 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为点统称为极值点极值点。定理（极值存在的必要条件）定理（极值存在的必

10、要条件） 如果函数如果函数 在点在点 可导，且在点可导，且在点 处取得极值，处取得极值，则必有则必有 。)(xf0 x0 x0)(0 xf(3) 定理定理 定理说明可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不定理说明可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点一定是函数的极值点 。那么我们要问哪些驻点才是极值点呢？除。那么我们要问哪些驻点才是极值点呢？除了驻点以外还有哪些点可能成为极值点呢？了驻点以外还有哪些点可能成为极值点呢？(3) 定理定理 定理定理 （极值的第一充分条件）（极值的第一充分条件） 设函数在设函数在 的某个领域内可导，且的某个领域内可导，且 。)(xf0 x0)

11、(0 xf如果当时，；当时，如果当时，；当时， ,则函则函数在数在 处取得极大值。处取得极大值。0 xx 0)( xf0 xx 0)( xf)(xf0 x如果当时，；当时，如果当时，；当时， 则函则函数在数在 处取得极小值。处取得极小值。0 xx 0)( xf0 xx 0)( xf)(xf0 x0 x)(xf )(xf0 x如果在如果在 的两侧，的两侧， 具有相同的符号，则函数在具有相同的符号，则函数在 处不取得极值。处不取得极值。 (4) 求函数极值的基本步骤求函数极值的基本步骤 由极值第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：由极值第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：（1 1）求

12、函数的定义域。）求函数的定义域。 )(xf（2 2）求）求 ，解方程，解方程 ，求出驻点，找出使，求出驻点，找出使 不存在的点。不存在的点。)(xf 0)( xf)(xf （3）用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干）用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干 子区间；列表考察子区间；列表考察 在各个子区间内的符号，判在各个子区间内的符号，判 定出函数定出函数 在子区间上的单调性，得到极值点。在子区间上的单调性，得到极值点。)(xf )(xf（4）求出各极值点处的函数值，就得到函数）求出各极值点处的函数值，就得到函数 的全部极值。的全部极值。)(xf(5) 举例举例 例例5 5 求函数

13、求函数 的极值。的极值。2332)(xxxf),() 1(666)(2xxxxxf解：因为函数的定义域为解：因为函数的定义域为, 0)x(f, 0 x112x令令得驻点得驻点列表分析列表分析x)( xf)(xf0( 0 , 1 )( - , 0)1(1 , + )+-+f(0)=0f(1)=-1所以，所以，)(xf有极大值有极大值极小值极小值, 0)0(f1) 1 (f(5) 举例举例例例6 6 求函数求函数 的极值。的极值。32)2(1)(xxf),(31)2(32)(xxf解：函数的定义域为解：函数的定义域为2x当当是是f(x)的不可导点，列表分析的不可导点，列表分析x)( xf)(xf+

14、-f(2)=12( - , 2)(2 , + )所以，函数所以，函数f（x）有极大值）有极大值1)2(f(6) 训练题二训练题二 1. 求函数求函数 的极值。的极值。 2. 求函数求函数 的极值。的极值。1) 1()(32 xxf3223)(xxxf答案：答案：1. 极小值极小值 ；2. 极大值极大值 ，极小值，极小值 0)0(f21) 1(f0)0(f(1) 定理定理2. 极值第二充要条件极值第二充要条件定理（极值的第二充分条件）定理（极值的第二充分条件） 设函数设函数 在在 处具有二阶导数，且处具有二阶导数，且 ， ，则，则)(xf0 x0)(0 xf0)(0 xf当当 时，函数时，函数

15、在在 处取得极大值。处取得极大值。)(xf0 x0)(0 xf0 x)(xf0)(0 xf当当 时，函数时，函数 在在 处取得极小值。处取得极小值。对于不可导点是否为极值点，只能用第一充分条件定理来判断对于不可导点是否为极值点，只能用第一充分条件定理来判断 当当 时，用第一充分条件来求函数的极值。时，用第一充分条件来求函数的极值。0)x(f0 (2) 举例举例 2. 极值第二充要条件极值第二充要条件例例7 7 求函数求函数 的极值。的极值。xxxf3)(3),1x)(1x(33x3)x(f2xxf6)( 解：因为解：因为0)( xf1x令令得得, 06) 1(f 06) 1 ( f又因为又因为2) 1(f2) 1 (f所以，函数有极大值所以，函数有极大值极小值极小值(3) 训练题三训练题三2. 极值第二充要条件极值第二充要条件1. 求函数求函数 的极值。的极值。2. 求函数求函数 的极值。的极值。3. 求函数求函数 的极值。的极值。4. 求函数求函数 的极值。的极值。 2332)(xxxfxexxf)(xxxfln)(33( )(1)1f xx答案：答案：1. 极小值极小值 ，极大值，极大值 ；2. 极大值极大值 3. 极小值极小值 ; 4. 没有极值没有极值6)3(f314)(f1)0(fe1)e1(f