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1、2.3.12.3.1等差数列的前等差数列的前n n项和项和 泰姬陵坐落于印泰姬陵坐落于印度距首都新德里度距首都新德里200200多公里外的北方邦的多公里外的北方邦的阿格拉市，是十七世阿格拉市，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神主体建筑令人心醉神迷，陵寝以宝石镶嵌，迷，陵寝以宝石镶嵌，图案细致图案细致, ,绚丽夺目、绚丽夺目、美丽无比，令人叫绝美丽无比，令人叫绝. .成为世界八大奇迹之成为世界八大奇迹之一一. .问题呈现 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大传说
2、陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有小的圆宝石镶饰而成，共有100100层（见左层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？问题问题1 1： 一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架的最形架的最下面一层放一支铅笔，往下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放多放一支，最上面一层放100支支.这个这个V形架上共放着形架上共放着多少支铅笔？多少支铅笔？ 问题就是问题就是 求求“1+2+3+4+100=？” 德国古代著名数学家高斯德国古代著名数学家高斯1
3、0岁的时候很快就解决了这个问题：岁的时候很快就解决了这个问题：123100=？你知道高斯？你知道高斯是怎样算出来的吗？是怎样算出来的吗？高斯（高斯（Gauss,17771855），德国著名数学），德国著名数学家，他研究的内容涉及家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之史上最伟大的数学家之一，被誉为一，被誉为“数学王数学王子子”.问题问题2:2:求和求和:1+2+3+4+n=?记记:S= 1 + 2 + 3 +(n-2)+(n-1)+nS= n+(n-1)+(n-2)+ 3 + 2 +1)1(2 nnS上述求解过程带给我们什么启示？上述求解过程带给我们什么
4、启示？(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；所求的和可以用首项、末项及项数来表示；(2)等差数列中任意的第等差数列中任意的第k项与倒数第项与倒数第k项的和都项的和都等于首项与末项的和。等于首项与末项的和。2)1( nnS问题问题3 3：设等差数列设等差数列 an 的首项为的首项为a1，公差为，公差为d，如，如何求等差数列的前何求等差数列的前n项和项和Sn= a1 +a2+a3+an?解：解：因为因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 2)(1nnaanS 两式左右分别相加，得两式左右分别相加，得倒序相加倒序相加S=a1+ a2 +a3 +an-2+an-1+anS=an+an-
5、1+an-2+a3 + a2 +a12Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)变式：能否用变式：能否用a a1 1,n,d,n,d表示表示S Sn n？an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1 111()1) nSaadand（()(1) nnnnSaadand)(21nnaanS1()12nnn aaS公式dnaan) 1(11(1)22nn nSnad公式问题4： ?nnan如何求等差数列的前 项和S求和公式求和公式1()2nnn aaS等差数列的前等差数列的前n项和的公式：项和
6、的公式：1(1)2nn nSnaddnaan) 1(1公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前列前 n 项和公式项和公式.na1an1()2nnn aaS 例例1:根据下列条件，求相应的等差数列根据下列条件，求相应的等差数列 的的 nanS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda.32,7.0,5.14)3(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010 SdnnnaSn2) 11（2550)2(2) 150501005050（Sdnaan) 1(1,2617 . 05 .1432n.5 .6042)3
7、25 .14(2626 S 例例2 2、20002000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在关于在中小学实施中小学实施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市据此提出，某市据此提出了实施了实施“校校通校校通”工程的总目标：从工程的总目标：从20012001年起用年起用1010年年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500500万万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增
8、加都比上一年增加5050万元。那么，从万元。那么，从20012001年起的未来年起的未来1010年内，该市在年内，该市在“校校通校校通”工程中的总投入是多少？工程中的总投入是多少？分析：找关键句；分析：找关键句；求什么，如何求；求什么，如何求；解：由题意，该市在解：由题意，该市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的资金构成等差数列的资金构成等差数列an，且，且a1=500,d=50,n=10.故，该市在未来故，该市在未来10年内的总投入为：年内的总投入为：101010 110 5005072502S万元答答例例4、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，
9、前前20项的和是项的和是1220，由此可以确定求其前，由此可以确定求其前n项项和的公式吗？和的公式吗？解：由于解：由于S10310，S201220，将它们代，将它们代入公式入公式1(1)2nn nSnad可得可得111045310201901220adad146ad于是，所以所以2(1)46 32nn nSnnn 例例4、已知一个等差数列的前、已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前前20项的和是项的和是1220，由此可以确定求其前，由此可以确定求其前n项和项和的公式吗？的公式吗？1101011010()310622aaSaa1202012020()12201222aaSaa2010
10、60aa1060d6d14a 21132nn nSa ndnn（）另解： 两式相减得小结小结 1 1等差数列前等差数列前n n项和的公式；项和的公式； 2 2等差数列前等差数列前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法倒序相加法；倒序相加法； 3. 3.公式的应用公式的应用( (知三求一知三求一) )。（两个）（两个）1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad2.3.22.3.2等差数列的前等差数列的前n n项和项和2、等差数列an的前n项和公式2)(1nnaansdnnnasn2) 1(1复习复习1、等差数列an的基本性质：(1) a1+an=a2+an-1=a3+an-2=(3)如
11、果数列an的通项公式是 an=An+B(A、B是与n无关的常数），那么数列an一定是等差数列。 (2) a、A、b成等差数列 A=（a+b)/2练习练习1 1、计算、计算（1 1） 5+6+7+79+80（2 2） 1+3+5+1+3+5+ +（2 2n-1-1）（3 3）1-2+3-4+5-6+1-2+3-4+5-6+ +（2 2n-1-1）-2-2n-nn2 135+ 21n2 解：22nn2n 135+ 212+4+6+2nn3 解：原式21nn n1212nnn 3230提示：提示：n=76法二：法二：1212222nnnn练习练习2.已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为
12、Sn， 若若a4+a5=18，则则S8等于（等于（ ） A.18 B.36 C.54 D.72 D新课：例1 和公差分别是多少？，它的首项是等差数列吗？如果是，这个数列求这个数列的通项公式项和为的前已知数列,212nnnSnan例2的值最大的序号求使得项和为的前，已知等差数列nSSnn,743724 , 5n 运用等差中项的性质处理求和问题例例3 等差数列等差数列aan n 中，已知中，已知a a1111=8,=8,则则s s2121= = . .16882122212)(212111211aaaS练1 等差数列an中，已知s15=90,则a8= .6例例4、等差数列中前、等差数列中前15项的
13、和为项的和为-67，前，前45项的和为项的和为405，则前，则前30项的和为项的和为 。 解：由解：由 S S1515， S S30 30 S S1515， S S45 45 S S3030 构成等构成等差数列差数列得得 2 2（ S S30 30 S S1515 ）= S= S15 15 + + （ S S45 45 S S30 30 ）故故S S30 30 = = （3 3 S S15 15 + + S S45 45 ）/3=68/3=68 运用等差数列的性质处理求和问题 例例3 求集合求集合 的元素个数，并求这些元素的和的元素个数，并求这些元素的和.100,7|mNnnmmM且解：解：1
14、007 n72147100 n所以集合所以集合M中的元素共有中的元素共有14个个.将它们从小到大列出，得将它们从小到大列出，得,7, 72, 73, 74, 714即即 7，14，21，28，98这个数列是成等差数列，记为这个数列是成等差数列，记为 na14,98, 7141naa.7352)987(1414S2)1nnaanS（答：集合答：集合M共有共有14个元素，它们的和等于个元素，它们的和等于735. 补充：两个等差数列补充：两个等差数列2，6，10，190和和2，8，14，200,由这两个等差由这两个等差数列的公共项按从小到大数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列的顺序组成一个新数列,求求这个新数列的各项之和这个新数列的各项之和.解法：通项公式分别是an=2+(n1)4 bn=2+(n1)6观察： 2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，50， 2，8，14，20，26，32，38，77，50，39，43，47，51，因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=2, 公差 d=12的等差数列cn 因为，相同的项不大于190和200中的较小者，所以， cn=2+(n1)12190 得 n16 又 nN* 故这两个数列中相同的项共有16个。从而这个新数列的各项之和为 3114721221516216S