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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1积分变换积分变换Fourier变换变换Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数级数；但全直线上的非周期函数不能用但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示表示；引进类似于引进类似于Fourier级数的级数的Fourier积分积分 (周期趋于无穷时的极限形式周期趋于无穷时的极限形式)“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网
2、格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。21 Fourier积分公式积分公式1.1 Recall: 在工程计算中在工程计算中, , 无论是电学还是力学无论是电学还是力学, , 经常要和随时间经常要和随时间变化的周期函数变化的周期函数fT(t)打交道打交道. . 例如例如: :具有性质具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中其中T T称作周期称作周期, , 而而1/T代表代表单位时间振动的次数单位时间振动的次数, , 单位时间通常取秒单位时间通常取秒, , 即每秒重复即每秒重复多少次多少次, , 单位是赫兹单位是赫兹( (Herz, , 或或Hz).).t“雪
3、亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, , 所有所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近线性组合来逼近. . Fourier级数级数方波方波4个正弦波的逼近个正弦波的逼近100个正弦波的逼近个正弦波的逼近“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公
4、共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4 01cossin2Tnnnaf tan t bn t 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可情况即可, , 通常研究在闭区间通常研究在闭区间-T/2,T/2内函数变化内函数变化的的情况情况. .是以是以T为周期的函数，在为周期的函数，在上满足上满足 Tf t,2 2T TDirichlet条件：条件： Tf t连续或只有有限个第一类间断点；连续或只有有限个第一类间断点； Tf t只有有限个极值点；只有有限个极值点； Tf t可展开成可展开成Fourier级数，且在连续点级数，且在
5、连续点t处成立：处成立：“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5 22222,2cos 0,1,2,2sin 1,2,TnTTTnTTTaf tn tdtnTbf tn tdtnT其其中中0100cossin22TTnnnf tf taan t bn t：t t在在间间断断点点 处处成成立立引进复数形式：引进复数形式：cos, sin22in tin tin tin teeeen tn ti“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息
6、化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。60101222222in tin tin tin tnnnin tin tnnnnnaeeeeabiaaibaibee 20002222222221,22211cossin11cossin1,2,TnnnnnnTTTTin tTnTTTTTin tTnTnTTnnaaibaibccdcf t dtTcf tn t in t dtf tedtTTdf tn t in t dtf tedt cTTncc令则级数化为：级数化为：“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支
7、撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7 2210, 1, 2,Tin tnTTcf t edt nT 221Tin tinin tnTTnnc efedeT ncF n Tnf tc的的离离散散频频谱谱； argTnf tc的的离离散散振振幅幅频频谱谱； .Tf tn的的离离散散相相位位频频谱谱；合并为：合并为：级数化为：级数化为：若以若以 描述某种信号，描述某种信号， Tf t则则 可以刻画可以刻画 的特征频率。的特征频率。nc Tf t“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以
8、公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8 limTTf tf t 对任何一个非周期函数对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期都可以看成是由某个周期函数函数fT(t)当当T时转化而来的时转化而来的. . 作周期为作周期为T的函数的函数fT(t), 使其在使其在-T/2,T/2之内等之内等于于f (t), 在在-T/2,T/2之外按周期之外按周期T延拓到整个数轴上延拓到整个数轴上, , 则则T越大越大, , fT(t)与与f (t)相等的范围也越大相等的范围也越大, , 这就说明当这就说明当T时时, ,周期函数周期函数fT(t)便可转化为便可转化为f (t), 即有
9、即有“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9例例 矩形脉冲函数为矩形脉冲函数为 1101tf tt如图所示如图所示: :1-1Otf (t)1“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10 44,22,422nnf tf tnnnT1-13T=4f4(t)t 现以现以f (t)为基础构造一周期为为基础构造一周期为T的周期函数的周期函数fT(t),
10、 令令T=4, , 则则“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11则则 222142111144111441sin11sinc0, 1, 2,22TnTnnnnnjtnTjtjtjtjjnnnnncf t edtTf t edtedteeejjn “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12 0sinsincsincsin0,lim1sinsi
11、nc 01,1,0 xxxxxxxxxx函函数数定定义义为为严严格格讲讲函函数数在在处处是是无无定定义义的的 但但是是因因为为所所以以定定义义用用不不严严格格的的形形式式就就写写作作则则函函数数在在整整个个实实轴轴连连续续。sinc(x)xsinc函数介绍函数介绍“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13前面计算出前面计算出1sinc 0, 1, 2,22,2nnncnnnnT 可将可将 以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上nc“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社
12、区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14 88,22,844nnf tf tnnnT1-17T=8f8(t)t 现在将周期扩大一倍现在将周期扩大一倍, 令令T=8, 以以f (t)为基础构造为基础构造一周期为一周期为8的周期函数的周期函数f8(t)“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15则则 224184111188111881sin11sinc0, 1, 2,44TnTnnn
13、nnjtnTjtjtjtjjnnnnncf t edtTf t edtedteeejjn “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16则在则在T=8时时, , 1sinc0, 1, 2,42,84nnncnnnn 再将再将 以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上nc“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17如果再将周期增加一倍如果再将周期增加一倍
14、, , 令令T=16, , 可计算出可计算出 1sinc0, 1, 2,82,168nnncnnnn 再将再将 以竖线标在频率图上以竖线标在频率图上nc“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。18一般地一般地, , 对于周期对于周期T 2211111111sin22sinc0, 1, 2,TnTnnnnjtnTjtjtjjnnnnncf t edtTedtTeeeT jT jnTT “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、
15、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。19 当周期当周期T越来越大时越来越大时, , 各个频率的正弦波的频率间各个频率的正弦波的频率间隔越来越小隔越来越小, , 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状函数的形状, , 因此因此, , 如果将方波函数如果将方波函数f (t)看作是周看作是周期无穷大的周期函数期无穷大的周期函数, , 则它也可以看作是由无穷多个无则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成穷小的正弦波构成, , 将那个频率上的轮廓即将那个频率上的轮廓即sinc函数的函数的形状看作是方波函数形状看
16、作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布的各个频率成份上的分布, , 称称作方波函数作方波函数f (t)的傅里叶变换的傅里叶变换. .“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。20 22,Dirichlet,22Fourier,12,nnTTitin tTnnnnTitnnTTTTf tTf tf tc ec ennTcf t edtT设设为为周周期期函函数数，在在上上满满足足条条件件则则可可展展开开为为级级数数: : 22jj1( )d.TnnTtTTnf tfee
17、T 即即 limTTf tf t由由1.21.2 Fourier积分公式与积分公式与Fourier积分存在定理积分存在定理“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。21 22jj1limd,TnnTtTTnnf tfeeTn 可可知知当当 取取一一切切整整数数时时所所对对应应的的点点便便均均匀匀分分布布在在整整个个数数轴轴上上: :T2O 1 2 3 n-1nT2)(,02)(21连续变量为此时视，无关与令nnnTTnT“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治
18、中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。22 2222jjjj01limd1limd2TnnTTnnTntTTntTnnf tfeeTfee 22jj0d1lim2TnTnnTnTtTnnnFfef tFe 令令 22nTTiiTnTTFfedfedF 12i tf tFe d由由定定积积分分定定义义（注注：积积分分限限对对称称）. .“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。23 FourierD
19、irichlet12002ii tf tfede df ttf tf tt 定定理理积积分分存存在在定定理理 若若在在任任何何有有限限区区间间上上满满足足条条件件，且且在在，绝绝对对可可积积，则则为为连连续续点点；为为间间断断点点。 ,|df tt 在在绝绝对对可可积积是是指指的的收收敛敛。 12ii tf tfede d即即 f t付付氏氏积积分分公公式式“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。24 jjj1dd21dd21cosd2sinsin,1cosdd2ttf
20、 tfeefeftjftddftdf tft因因是是 的的奇奇函函数数。付氏积分公式也可以转化为三角形式付氏积分公式也可以转化为三角形式 f t“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。25又考虑到积分又考虑到积分 cos,ftd是是的的偶偶函函数数 1cosdd2f tft从从 01cosddf tft可可得得。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工
21、程”。262 Fourier变换变换2.1 Fourier变换的定义变换的定义 12ii tf tfede d已已知知：， ()Fourieri tFf t edtf tf t实实自自变变量量的的复复值值函函数数称称为为的的变变换换，记记为为。F F11Fourier2.i tFe dFF称称为为的的逆逆变变换换，记记为为F F“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。27 Fourierf tFf tF ：一一一一对对应应，称称为为一一组组变变换换对对。称称为为原原像像
22、函函数数，称称为为像像函函数数。 11,f tFFf tFf tf tF若若则则；若若则则FFFFFFFF Fourier积分存在定理的条件是积分存在定理的条件是Fourier变换存在的变换存在的一种充分条件一种充分条件. .“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。28 在频谱分析中在频谱分析中, , 傅氏变换傅氏变换F( )又称为又称为f(t)的频谱函的频谱函数数, , 而它的模而它的模|F( )|称为称为f (t)的振幅频谱的振幅频谱( (亦简称为频谱亦简称为频谱)
23、.).由于由于 是连续变化的是连续变化的, , 我们称之为连续频谱我们称之为连续频谱, , 对一个时间对一个时间函数函数f (t)作傅氏变换作傅氏变换, , 就是求这个时间函数就是求这个时间函数f (t)的频谱的频谱. .F f tF 的的频频谱谱密密度度函函数数； argf tF 的的振振幅幅频频谱谱； f t的的相相位位频频谱谱。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。29例例 1 1 求矩形脉冲函数求矩形脉冲函数 的付氏变换及其的付氏变换及其 积分表达式。积分表达
24、式。1,1( )0,1tf tt 111112sini ti ti tiieFf t edtedtieei 00011cos212sin2sincoscosi tf tFe dFtdttdd“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。30240001sincosd1010, sindsincd2tttttxxxxx因因此此可可知知当当时时 有有2Fs si in n另另外外，由由= =可可作作出出频频谱谱图图: :2F 23sin0k“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社
25、区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。31 jjj2200ed1jeededjttttFf tttt0,0( )e,0,0.ttf tt例例2 2 求求指指数数衰衰减减函函数数的的傅傅氏氏变变换换及及其其积积分分表表达达式式 其其中中tf (t) jj2222011jeded221cossindttf tFtt“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3222000cossind/ 2
26、0e0tttttt因因此此2.2 单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换 在物理和工程技术中在物理和工程技术中, , 常常会碰到单位脉冲函数常常会碰到单位脉冲函数. .因为有许多物理现象具有脉冲性质因为有许多物理现象具有脉冲性质, , 如在电学中如在电学中, , 要要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流流; ; 在力学中在力学中, , 要研究机械系统受冲击力作用后的运要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等动情况等. . 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数脉冲函数. .“雪亮工程是
27、以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。33 在原来电流为零的电路中在原来电流为零的电路中, 某一瞬时某一瞬时(设为设为t=0)进入进入一单位电量的脉冲一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流现在要确定电路上的电流i(t). 以以q(t)表示上述电路中的电荷函数表示上述电路中的电荷函数, 则则 0,0;1,0.tq tt 0dlimdtq tq ttq ti ttt 当当t 0时时, i(t)=0, 由于由于q(t)是不连续的是不连续的, 从而在普从而在普通通导数意义下导数意义下
28、, q(t)在这一点是不能求导数的在这一点是不能求导数的.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。34如果我们形式地计算这个导数如果我们形式地计算这个导数, , 则得则得 000010limlimttqtqitt 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度为了确定这样的电流强度, 引进引进一个称为狄拉克一个称为狄拉克(Dirac)函数函数, 简单记成简单记成d
29、 d-函数函数: 000tttd有了这种函数有了这种函数, , 对于许多集中于一点或一瞬时的量对于许多集中于一点或一瞬时的量, , 例例如点电荷如点电荷, , 点热源点热源, , 集中于一点的质量及脉冲技术中的集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等非常窄的脉冲等, , 就能够象处理连续分布的量那样就能够象处理连续分布的量那样, , 以以统一的方式加以解决统一的方式加以解决. .“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。35 00010000lim0ttttttttd
30、dd 给给函函数数序序列列，定定义义。d d (t)1/ O 0001dlimdlim1ttttdtdd（在极限与积分可交换意义下）（在极限与积分可交换意义下）工程上将工程上将d d- -函数称为函数称为单位脉冲函数单位脉冲函数。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。36 可将可将d d- -函数用一个长度等于函数用一个长度等于1 1的有向线段表示的有向线段表示, , 这个这个线段的长度表示线段的长度表示d d- -函数的积分值函数的积分值, , 称为称为d d- -
31、函数的强度函数的强度. .tOd d (t)1d d-函数有性质函数有性质： 00d0d.t f ttft tf ttf tf tdd 及及（为为连连续续函函数数）可见可见d d- -函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。都有明确意义。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。37d d-函数的傅氏变换为函数的傅氏变换为: : 0ede1j tj tttFttddF F于是于是d d t 与常数与常数1构成了一傅氏变换对
32、构成了一傅氏变换对. . 1112i tte ddF F 2i te dtd证法证法2：若若F( =2dd , 由傅氏逆变换可得由傅氏逆变换可得 012ed12j tj tf ted 例例1 1 证明：证明：1和和2d d ( )构成傅氏变换对构成傅氏变换对. .证法证法1：112.j tj sedtstedsd F F“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。38 000001ed212edee.2e2j tjtj tj tjtf tF d d 证证：即即和和构构成成了
33、了一一个个傅傅氏氏变变换换对对。002e2jtd 例例 ： 证证明明和和构构成成一一个个傅傅氏氏变变换换对对。由上面两个函数的变换可得由上面两个函数的变换可得0jj0ed2ed2tttt d d “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。39例如常数例如常数, , 符号函数符号函数, , 单位阶跃函数以及正单位阶跃函数以及正, , 余弦函数余弦函数等等, , 然而它们的广义傅氏变换也是存在的然而它们的广义傅氏变换也是存在的, , 利用单位脉利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可
34、以求出它们的傅氏变换冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换. . 所谓所谓广义是相对于古典意义而言的广义是相对于古典意义而言的, , 在广义意义下在广义意义下, , 同样可同样可以说以说, ,象原函数象原函数f(t)和象函数和象函数F( )构成一个傅氏变换对构成一个傅氏变换对. . 在物理学和工程技术中在物理学和工程技术中, , 有许多重要函数不满足傅有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件氏积分定理中的绝对可积条件, , 即不满足条件即不满足条件 df tt “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频
35、监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。40例例4 求正弦函数求正弦函数f (t)=sin 0t的傅氏变换的傅氏变换。 0000j0jjj0000esindeeed2 j1(ee)d2 j1222 jj.ttttjtjtFf tt ttt d d d d F F00O|F()|t0sint“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。41例例 5 证明证明： 0,0,1,0tu tt单单位位阶阶跃跃函函数数 1.u tjd F F证：证：1011121112211coss
36、in2211sin11sin222j tj tj tedjjededjtjtdjttddd d d F F“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4202,0sin2,0ttdt 1110,02211,02111,022ttu tjtd F F“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。433 Fourier变换与逆变换的性质变换与逆变换的性质 这一
37、讲介绍傅氏变换的几个重要性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, , 为了叙述方为了叙述方便起见便起见, , 假定在这些性质中假定在这些性质中, , 凡是需要求傅氏变换的函凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件数都满足傅氏积分定理中的条件, , 在证明这些性质时在证明这些性质时, , 不再重述这些条件不再重述这些条件. . 111af tbg taf tbg tA FB GAFBGFFFFFFFFFFFF1.1.线性性质线性性质: :“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治
38、安防控工程”。442. 位移性质位移性质: : 0000100j tjtjtf t teFFef tef tF，或或F FF FF F 000000j tjs tj tj tj sf t tf t t edtst tf s edsef s edseF F F证明：证明： 00,f tFt若若，F F为实常数，则为实常数，则“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。45 1( )0,11() ;( )f tFatf atFF atfaaaaF FF FF F若若，则则3.
39、相似性质：相似性质：证明：证明： 1,01,0sjas atj tsjaf s edsaaf atf at edtf s edsaaF F 11()j saf s edsFaaa“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。46例例1 1 计算计算 。 52 utF F方法方法1 1：（先用相似性质，再用平移性质）：（先用相似性质，再用平移性质）( )2 , 552g tu tgtut令令那那么么 52552525152 5 5112 5511515.55jjjutgtg t
40、u teu tejejd dF FF FF FF FF F“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。47方法方法2：（先用平移性质，再用相似性质）：（先用平移性质，再用相似性质） 25,()525g tutg tut令令则则 252255525525252 515 ( )511515.55d djjjjjutg teg teuteu tejejF FF FF FF FF F“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理
41、为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。484.微分性质：微分性质： f tj FF F lim0 0,1,2,1 ,ktnnftknftjFF F一一般般地地，若若则则 ( )( )()nnnnnnFjtf ttf tjFFjt f tt f tj F 像像函函数数的的微微分分性性：或或或或F FF FF FF F像原函数的微分性质：像原函数的微分性质： ( )lim0,tf tFf t若若，且且F F则则“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程
42、”。495.积分性质：积分性质： lim00,1.tttf tFf s dsFf s dsFj设设，若若则则F FF F6 6. 帕塞瓦尔帕塞瓦尔( (Parserval) )等式等式 221d.2f ttFd f tF 设设， 则则有有F F“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。50 实际上实际上, , 只要记住下面五个傅里叶变换只要记住下面五个傅里叶变换, , 则所有的则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里
43、叶变换的性质导出性质导出. . 022j0411j1je2eettttu tu t edd d “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。51 00j0j0221,e12,e21jd1djj1jtttt tu tjtu tjjtu tddd d d d dd 因因由由位位移移性性质质得得由由得得由由例例2 2 利用傅氏变换的性质求利用傅氏变换的性质求d d (t-t0),性质性质 0je,ttu t以以及及的的傅傅氏氏变变换换. .性质“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村
44、（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。52例例3 3 若若 f (t)=cos 0t u(t), 求其求其傅氏变换傅氏变换。 00jj0000002201jee2112j1jj2ttu tf tu tFd d d d d “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。537.7.卷积与卷积定理卷积与卷积定理卷积定义卷积定义： f tg tf s g t s ds f ggffghf g
45、f hfg hf ghA f gA fgfA gAdf g tf tg tf tg tdtftf tf tdd 交交换换律律：加加法法分分配配律律：结结合合律律：数数乘乘：为为常常数数求求导导：卷积的简单性质：卷积的简单性质：“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。54例例1 1 求下列函数的卷积：求下列函数的卷积： 120000, ;,0,.0e0ttttf tf tett 由卷积的定义有由卷积的定义有 01212000d0ed0eed11eeeetttttttttf
46、 tf tff te “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5511 ( )( ) ( )( )1 ( )( )2 ( )( )2f gfgFGFGf gf gfgFGFGf gF FF FF FF FF FF FF FF F或或：化化简简卷卷积积运运算算或或：化化简简傅傅氏氏变变换换卷积定理：卷积定理：“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。
47、56例例2 2 求求 的傅氏变换。的傅氏变换。 0jtf tetu t 0012jtjtf tetu tetu tF FF FF FF F0202011. dd jttj020211221122jjtdtd dd d 性质“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。57利用卷积公式来证明积分公式：利用卷积公式来证明积分公式： ( )tty tf s dsfu tdf tu t令令 ( )10tf s dsf tu tf tu tFjFFjd d FFFFFFFF证明：证明： lim00,0tttf tFf s dsFFf s dsFid ，若若F FF F设设则则