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1、在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.1.傅里叶级数定义及适用条件傅里叶级数定义及适用条件2.2.常见周期信号的频谱常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱非周期性信号的频谱3.3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质傅里叶变换的定义及适用条件及性质4.4.周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换5.5.抽样定理抽样定理6.6.功率频谱与能量频谱功率频谱与能量频谱7.7.系统频域分析法系统频域分析法8.8.希尔伯特变换希尔伯特变
2、换第第3 3章章 傅里叶变换傅里叶变换l 重点：重点：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 傅里叶傅里叶17681768年生于法国年生于法国,1807,1807年提年提出出“任何周期信号都可用正弦函数任何周期信号都可用正弦函数级数表示级数表示”,1822,1822年在年在“热的分析热的分析理论理论”一书中再次提出。一书中再次提出。18291829年狄年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得
3、到大规模的应用，则傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪是到了上世纪6060年代之后。年代之后。3.1 傅里叶变换的产生傅里叶变换的产生傅里叶的两个最主要的贡献：傅里叶的两个最主要的贡献：（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和加权和”;（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三角函数三角
4、函数就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：备正交函数的三个条件：3.2 周期信号的傅里叶分析周期信号的傅里叶分析1.归一化：归一化：2.归一正交化：归一正交化：3.归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么周期的终点周期的终点 设三角函数的完备函数集为设三角函数的完备函数集
5、为：其中其中三角函数集也可表示为：三角函数集也可表示为：3.2.1 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式基频基频 周期周期 周期的起点周期的起点 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么时，有时，有（2 2）“单位单位”常数性，即当常数性，即当 满足满足：（1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪
6、费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么可以将可以将“任意任意”周期函数周期函数 在这个正交函数集中展开为在这个正交函数集中展开为系系数数称为傅里叶级数称为傅里叶级数 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么同上式同上式 傅里叶级数的傅里叶级数的三角展开式三角展开式 另一种形式另一种形式 直流分量直流分量 n=1n1基波分量基波分量 n次谐波分量
7、次谐波分量 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么可展开为傅里叶级数的条件：可展开为傅里叶级数的条件：（2 2）在区间内有有限个间断点；在区间内有有限个间断点；（1 1）绝对可积，即：绝对可积，即：（3 3）在区间内有有限个极值点。在区间内有有限个极值点。Direchlet条件条件傅里叶级数存傅里叶级数存在的充要条件在的充要条件式中，式中，为为n次谐波振幅。次谐波振幅。为为n次谐波初始相位。次谐波初始相位。！并非任意周期信号都
8、能进行傅里叶级数展开并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.从三角函数形式的傅里叶级数推导从三角函数形式的傅里叶级数推导3.2.2 傅里叶级数的复指数形式傅里叶级数的复指数形式利用欧拉公式利用欧拉公式:式中式中幅度幅度 相位相位 复指数复指数 幅度幅度 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪
9、费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么的具体求法如下：的具体求法如下：2.直接从复变正交函数集推导直接从复变正交函数集推导中展开，有中展开，有在复变正交函数空间在复变正交函数空间将原函数将原函数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么式中式中例例求求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。已知冲激序列已知冲激序列-T0 O T0 2T0 t在日常生活中，随处都可以
10、看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么的三角傅里叶级数为：的三角傅里叶级数为：又又解解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么求下图中三角波求下图中三角波的三角傅里叶级数。的三角傅里叶级数。则则为为的周期延拓，即的周期延拓，即 将将去除直流分量，则仅剩交流分量去除直流分量，则仅剩交流分
11、量在在内的函数记为内的函数记为（1）将周期函数）将周期函数例例解解A-T0 O T0 2T0 t在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 故在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（2 2）利用直接法求解）利用直接法求解故故 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的
12、现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么常称为常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。的截断傅里叶级数表示式。用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为：（1）intf=int(f,v)；给出符号表达式给出符号表达式f对指定变量对指定变量v的的（不带积分常数）不定积分；（不带积分常数）不定积分；（2）intf=int(f,v,a,b)；给出符号表达式给出符号表达式f对指定变量对指定变量v的的定积分。定积分。3.2.3 傅里叶级数的傅里叶级数的MATLAB
13、仿真实现仿真实现在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.3 周期信号的对称性周期信号的对称性 1纵轴对称性纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。（2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。正弦分量
14、（即奇函数之和仍然是奇函数）。满足满足 的周期为的周期为T 的函数；即平移半个周期的函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。后的信号与原信号关于横轴对称。定义：定义：l 奇谐函数奇谐函数l 偶谐函数偶谐函数满足满足 的周期为的周期为T 的函数；即的函数；即平移半个周期后信号与原信号重合。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2横轴对称性横轴对称性（2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。）偶谐函数的傅里叶级数中只
15、有偶次谐波分量。（1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。量也包含有偶次谐波分量。！利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。其直流分量去掉，以免发生误判。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费
16、粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么已知奇谐函数：已知奇谐函数：例例解解在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.4 常见周期信号的频谱常见周期信号的频谱3.4.1 频谱的概念频谱的概念频频谱谱图图表示信号含有的各个频率分量表示信号含有的各个频率分量的幅度值。其横坐标为频率的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹），纵坐标对应各（单位为赫兹），纵坐标对应各频率分量的幅度值频率分量的幅度值 。l
17、 振幅频谱振幅频谱（幅频特性图）（幅频特性图）表示信号含有的各个频率分量表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率；纵坐的相位。其横坐标为频率；纵坐标对应各频率分量的相位标对应各频率分量的相位 （单（单位常用度或弧度）。位常用度或弧度）。l 相位频谱相位频谱（相频特性图）（相频特性图）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例例，求频谱，求频谱解解（1 1）单边频谱：）单边频谱：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。
18、也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（2）双边频谱：）双边频谱：包络线包络线 频谱图随参数的变化规律：频谱图随参数的变化规律：1）周期）周期T不变，脉冲宽度不变，脉冲宽度 变化变化在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第一个过零点：第一个过零点：谱线间隔谱线间隔情况情况1 1：第一个过零点为第一个过零
19、点为n=4。在在 有值（谱线）有值（谱线）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 第一个过零点第一个过零点第一个过零点第一个过零点n n=8=8=8=8 情况情况2 2：脉冲宽度缩小一倍脉冲宽度缩小一倍第一个过零点增加一倍第一个过零点增加一倍谱线间隔不变谱线间隔不变幅值减小一倍幅值减小一倍在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食
20、的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第一个过零点为第一个过零点为第一个过零点为第一个过零点为n n=16=16。情况情况3 3：脉冲宽度再缩小一倍脉冲宽度再缩小一倍示意图示意图 第一个过零点再增加一倍第一个过零点再增加一倍谱线间隔不变谱线间隔不变幅值再减小一倍幅值再减小一倍在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 由大变小，由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即第一过零点频率增大，即 所所以以 称
21、为信号的带宽，称为信号的带宽，确定了带宽。确定了带宽。由大变小，频谱的幅度变小。由大变小，频谱的幅度变小。由于由于 T 不变，谱线间隔不变，即不变，谱线间隔不变，即 不变。不变。结结 论论在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 第一个过零点第一个过零点情况情况 1：时，谱线间隔时，谱线间隔2）脉冲宽度）脉冲宽度 不变不变,周期周期T变化变化 示意图示意图 第一个过零点第一个过零点谱线间隔谱线间隔幅值幅值:在日常生活中，随处都可
22、以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 第一个过零点第一个过零点 情况情况 2：时，谱线间隔时，谱线间隔周期周期T T扩展一倍扩展一倍示意图示意图 谱线间隔减小一倍谱线间隔减小一倍第一个过零点不变第一个过零点不变幅值减小一倍幅值减小一倍 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 第一
23、个过零点第一个过零点 情况情况 3：时，谱线间隔时，谱线间隔周期周期T T再扩展一倍再扩展一倍示意图示意图 谱线间隔再减小一倍谱线间隔再减小一倍幅值再减小一倍幅值再减小一倍 第一个过零点不变第一个过零点不变在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 不不变，变，F Fn n 的第一个过零点频率不变，的第一个过零点频率不变，即即 带宽不变。带宽不变。T T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。由小变大，谐波频率成分丰富，且频
24、谱幅度变小。T T 时时，谱线间隔，谱线间隔 0 0，这时：，这时：周期信号周期信号 非周期信号；离散频谱非周期信号；离散频谱 连续频谱连续频谱结结 论论在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下：里叶变换。典型周期信号如下：1.1.周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 2 2.周期对称方波信号周期对称方波信号 3 3.周
25、期锯齿脉冲信号周期锯齿脉冲信号 4 4.周期三角脉冲信号周期三角脉冲信号 5 5.周期半波余弦信号周期半波余弦信号 6 6.周期全波余弦信号周期全波余弦信号3.4.2 常见周期信号的频谱常见周期信号的频谱在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号 (1)(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解设周期矩形脉冲：脉宽为设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为，脉冲幅度为E，周
26、期为，周期为T1在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么（2 2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱相位谱相位谱幅度谱幅度谱在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，
27、也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么复数频复数频实数频谱实数频谱幅度谱与相位谱合并幅度谱与相位谱合并在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点：对称方波信号有两个特点：(1)(1)是正负交替的信号，其直流分量是正负交替
28、的信号，其直流分量a0等于零；等于零；(2)(2)它的脉宽恰等于周期的一半，即它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2/2。2.2.周期对称方波信号的傅里叶级数周期对称方波信号的傅里叶级数在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不
29、了什么幅度谱幅度谱相位谱相位谱在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.3.周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号，是奇函数故周期锯齿脉冲信号，是奇函数故 ，可求出傅里叶级数系数可求出傅里叶级数系数bn。如何求如何求bn留作思考！留作思考！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。
30、也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以度以1/n的规律收敛。的规律收敛。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4.4.周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号，是偶函数，故周期三角脉冲信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数可求出傅里叶级数系数a
31、0、an。如何求如何求bn留作思考！留作思考！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以波分量，谐波的幅度以1/n2 2的规律收敛。的规律收敛。其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你
32、并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5.5.周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号，是偶函数，故周期半波余弦信号，是偶函数，故 ，可求出傅里叶级数系数可求出傅里叶级数系数a0、an。如何求如何求bn留作思考！留作思考！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以分量，谐波的幅度以1
33、/n2 2的规律收敛。的规律收敛。其傅里叶级数表达式为其傅里叶级数表达式为：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么6.6.周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号，是偶函数。周期全波余弦信号，是偶函数。令余弦信号为令余弦信号为则，全波余弦信号为：则，全波余弦信号为：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都
34、可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛。的规律收敛。其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么如果用有限如果用有限傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号，必然引进一个误差。如果完全逼
35、近，则号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则 n=.实际中，实际中，n=N,N是有限整数。是有限整数。如果如果 N愈接近愈接近 n，则，则 其均方误差愈小其均方误差愈小若用若用2N1项逼近，则项逼近，则3.4.3 吉布斯效应吉布斯效应在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么误差函数和均方误差误差函数和均方误差误差函数误差函数均方误差均方误差在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一
36、点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对称方波对称方波,是偶函数且奇谐函数。是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项。所以其只有奇次谐波的余弦项。例例-E/2T1/4-T1/4tE/2o在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对称方波有限项的傅里叶级数对称方波有限项的傅里叶级数 （N=1N=1、2 2、3 3时的逼近波形）时的逼近波形）（3）N
37、=3:（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么有限项的有限项的N越大，误差越小例如越大，误差越小例如:N=9-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81在日常生活中，随处都可以
38、看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么N越大，越接近方波越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真；波形将会失真；有吉伯斯现象发生。有吉伯斯现象发生。结论结论在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不
39、了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么以周期矩形脉冲以周期矩形脉冲为例：为例：只需修改上面程序只需修改上面程序(3.2.3节节)中函数中函数CTFShchsym.m的内容，需注意：因周期信号频谱的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在绘制频谱时采用是离散的，故在绘制频谱时采用stem而非而非plot命令。命令。谐波阶数取谐波阶数取还需用到还需用到MATLAB的反褶函数的反褶函数fliplr来实现频谱的来实现频谱的反褶。反褶。上机练习！上机练习！3.4.4 周期信号的周期信号的MATLAB仿真实现仿真实现在日常生活中，随
40、处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么对周期矩形脉冲信号，有对周期矩形脉冲信号，有3.5 非周期性信号的频谱非周期性信号的频谱3.5.1 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么谱线间隔谱线间隔谱线间隔谱线间隔0 从物理概念考虑：
41、信号的能量存在，其频谱从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。分布的规律就存在。由于由于1从周期信号到非周期信号从周期信号到非周期信号 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么信号的频谱分布是不会随着信号的周信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。期的无限增大而消失的。T 时，信时，信号的频谱分布仍然存在。号的频谱分布仍然存在。结论结论无限多个无穷小量
42、之和仍可等于一个有限量。无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。从数学角度来看：从数学角度来看：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么所以，傅里叶级数展开为：所以，傅里叶级数展开为：为频谱密度函数。为频谱密度函数。定义定义在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么
43、周期信号：周期信号：频谱是离散的，且各频率分量频谱是离散的，且各频率分量的复振幅的复振幅 为有限值。为有限值。非周期信号：非周期信号：频谱是连续的，且各频率分量的频谱是连续的，且各频率分量的复振幅复振幅 为无限小量。为无限小量。所以，对非周期信号来说，仅仅去所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。谱不能直接引用复振幅的概念。！在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费
44、这一点点算不了什么2傅里叶逆变换傅里叶逆变换怎样用怎样用计算计算在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.正、逆傅里叶变换正、逆傅里叶变换反变换反变换正变换正变换!傅里叶变换对的形式并不唯一傅里叶变换对的形式并不唯一傅里叶
45、变换存在的充分条件傅里叶变换存在的充分条件:用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么4傅傅里叶变换的另外几种形式里叶变换的另外几种形式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，
46、随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。1.1.单边指数信号单边指数信号 6 6.符号函数符号函数2 2.双边指数信号双边指数信号 7 7.冲激函数傅里叶变换对冲激函数傅里叶变换对 3 3.奇双边指数信号奇双边指数信号 8 8.冲激偶的傅里叶变换冲激偶
47、的傅里叶变换 4 4.矩形脉冲信号矩形脉冲信号 9.阶跃信号的傅里叶变换阶跃信号的傅里叶变换5 5.钟形脉冲信号钟形脉冲信号 10 10.复正弦信号复正弦信号 3.5.2 常见信号的傅里叶变换常见信号的傅里叶变换在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么1.单边指数信号的傅里叶变换单边指数信号的傅里叶变换 其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点
48、算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么利用傅里叶变换定义公式利用傅里叶变换定义公式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么时域波形单边指数信号的频谱如下：单边指数信号的频谱如下：频域频谱在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在
49、浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2.双边指数信号的傅里叶变换双边指数信号的傅里叶变换 其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：（正实函数）（正实函数）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么利用傅里叶变换定义公式利用傅里叶变换定义公式求解过程求解过程在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认
50、为浪费这一点点算不了什么时时域域波波形形双边指数信号的频谱如下：双边指数信号的频谱如下：频频域域频频谱谱相位相位在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.3.奇双边指数信号的傅里叶变换奇双边指数信号的傅里叶变换在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么频域频谱频域