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1、拉格朗日中值定理及其应用一、拉格朗日中值定理定理1. 设函数f(x)满足(1) 在闭区间a,b上连续；(2) 在开区间(a,b)内可导；则至少存在一点 . )()()(),(abafbffba，使 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 使 在a,b上满足罗尔定理条件，且由 能导出 则问题可解决.)(x),(x0)( ， )()()(abafbff证 令).( )()()()()(axabafbfafxfx由于f(x)在a,b上连续，因此 在a,b上连续.)(x)(x由于f(x)在(a,b)内可导，因此 在(a,b)内可导.又由于)
2、,(0)(ba因此 在a,b上满足罗尔定理条件，所以至少存在一点 ，使 ，即)(x),(ba0)(0, )()()(abafbff从而有 )()()(abafbffab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 如果f(x)在(a,b)内可导， 则在以 为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日中值定理，即),(),(00baxxbaxxxx00与 因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.,)()()(00 xfxfxxf其中 为之间的点.也可以记为xxx00与为10 ,)()()(00
3、0 xxxfxfxxf或, 10 ,)(0 xxxfy推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数.)(xf 事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得21,xx, 0)()()(1212xxfxfxf由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.推论2 若在(a,b)内恒有 ，则有)()(xgxf其中C为某常数.由推论1可知f(x)g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事实上，由已知条件及导数运算性质可得. 0
4、)()( )()(xgxfxgxf例1 函数 在区间1,3上满足拉格朗日中值定理的 =( ). 1 .D ; 3 .C ; 0 .B ;43 .A 由于 在1,3上连续，在(1,3)内可导，因此f(x拉格朗日中值定理条件. )在1,3上满足12)(2xxxf分析使),3 , 1(由拉格朗日定理可知，必定存在. )()()(abafbff由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(1)=4,而 . 14)(f12)(2xxxf二、拉格朗日中值定理的应用可解得 ，因此本例应选D. 1. 3) 1(341614. )ln(11xxxx例2 当x0时,试证不等式分析1ln)1ln()1ln(xx取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.则f(t)=ln(1+t) 在区间0,x上满足拉格朗日中值定理，因此必有一点 使得.), 0(x.)( )0()(xffxf,11)( 11)( )1ln()(fttfttf，,1 1)1(111ln)1ln(xxx说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时，f(x)与a,b的选取不是唯一的., 11111x即. )ln(11xxxx，因此由于x0, 11xxxx进而知谢谢大家