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1、目录目录学习要求学习要求1.1.理解极限的概念；熟练掌握基本初等函数在理解极限的概念；熟练掌握基本初等函数在自变量的某个过程中的极限。自变量的某个过程中的极限。2.2.掌握函数在一点极限存在的充要条件，会求掌握函数在一点极限存在的充要条件，会求分段函数在分段点的极限。分段函数在分段点的极限。1.2 极极 限限目录目录 割圆求周长割圆求周长思路：思路：利用圆的内接正多边形近似替代圆的周长利用圆的内接正多边形近似替代圆的周长 随着正多边形边数的增多，近似程度会越好。随着正多边形边数的增多，近似程度会越好。问题：若正多边形边数问题：若正多边形边数n n无限增大，无限增大， 两者之间的关系如何？两者之
2、间的关系如何？ 我国古代数学家刘徽用割圆术我国古代数学家刘徽用割圆术, ,初步解决了这个问题。初步解决了这个问题。1 1、 求圆的周长问题求圆的周长问题一、极限概念的引入一、极限概念的引入目录目录割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽目录目录割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽目录目录割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之
3、又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录
4、目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆
5、周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽目录目录通过上面演示观察得通过上面演示观察得: 若正多边形边数若正多边形边数n无限增大，则无限增大，则 正多边形周长无正多边形周长无 限接近于圆的周长。限接近于圆的周长。目录目录nan1 ;,1,41,31,21, 1n1 1、数列极限定义的引入、数列极限定义的引入例例解：解：数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列. .可看作一动点在数轴上依次取可看作一动点在数轴上依次取.,1,31,21, 1321naaaan 21413101. 01,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nann 对于对于“无限接近无限接
6、近”这种变化趋势，我们给出下面的数学定义：这种变化趋势，我们给出下面的数学定义：通过上面演示观察得通过上面演示观察得: :二、数列极限二、数列极限目录目录定义定义 1.6 如果如果n无限增大时无限增大时, ,数列数列na的通项的通项na的值无的值无限接近一个确定的常数限接近一个确定的常数A, ,则称则称A是数列是数列na当当n趋向趋向于无穷大时的极限于无穷大时的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于 A, ,记为记为 )(:,lim nAaAannn或或 注意：注意： 如果数列没有极限如果数列没有极限, ,就说数列是就说数列是发散发散的的. .2. 数列极限的定义数列极限的定义并并写写
7、出出收收敛敛数数列列的的极极限限观观察察变变化化趋趋势势 ,;,21,161,81,41,21 ).1(n例例 , 3, 2, 1)3(n;21)1(, 0, 1, 0, 1 )2(! n目录目录nna21 nn21,解：解：;,21,161,81,41,21 ).1(n.,1,81,41,21321naaaan 214181010确定常数确定常数021lim nn极限存在极限存在目录目录;, 0, 1, 0, 1 )2(;, 4, 3, 2, 1 )3 nnan nn,（非确定常数）（非确定常数）极限不存在（发散）极限不存在（发散） nyn,极限不存在（发散）极限不存在（发散） ,10不能趋
8、于一个确定的数不能趋于一个确定的数之间摆动之间摆动与与该数列在数该数列在数A定定的的常常数数不不能能无无限限地地接接近近一一个个确确目录目录的的极极限限时时三三 )( , .xfx 由于数列实际上可以看成是定义域为正整数由于数列实际上可以看成是定义域为正整数域的函数域的函数, 所以所以, 可望将数列的极限理论推广到可望将数列的极限理论推广到函数中函数中, 并用极限理论研究函数的变化情形并用极限理论研究函数的变化情形. 1 : nxxnn从数列 ), 0( 1 xxy与函数的图形可以看出: . 01lim , 01limxnxnOxy123 n nxn1 xy1目录目录. )( )( )b,)x
9、(f1时时的的极极限限当当为为函函数数称称，则则常常数数某某个个确确定定的的常常数数无无限限趋趋近近于于增增大大时时，函函数数取取负负值值且且绝绝对对值值无无限限有有定定义义，当当在在区区间间（设设函函数数定定义义 xxfAAxfxAxfxAxfx )(,)(lim 或或记记作作的的极极限限的的定定义义时时)(.1xfx 2定义定义), a（x 正正), （3定义定义 x AxfxAxfx )(,)(lim 或或记记作作AxfxAxfx )(,)(lim 或或记记作作目录目录xyarctan ,2arctanlim:xx由图形可知由图形可知.2arctanlim:xx同理可知同理可知2y 2y
10、.时时的的极极限限、数数当当根根据据图图形形写写出出反反正正切切函函 xx发现问题发现问题没有没有?当当x+ + 时时, ,函函数趋于数趋于 /2;/2;当当x- - 时时, ,函数趋于函数趋于- - /2;/2;那那 ? x例例目录目录THANK YOUSUCCESS2022-8-321可编辑目录目录.)(lim)(lim)(lim:1 . 1AxfxfAxfxxx 的的充充分分必必要要条条件件是是定定理理思考题：思考题：)11(limxx 的极限存在吗？的极限存在吗？1)11(lim xxxyo1xxf11)( .2、当、当x时时,函数函数f(x)极限存在的充要条件极限存在的充要条件1)1
11、1(lim xx. 1)11(lim xx目录目录xxe)1(limxxe)1(limxxe)1(lim xxelimxxelimxxe lim1、不存在不存在0不存在不存在0不存在不存在（2）（1）不存在不存在例：观察下列函数在例：观察下列函数在x趋于无穷时极限是否存在趋于无穷时极限是否存在.目录目录xycos xxcoslimxxcoslimxxcoslim 2、不存在不存在, 1 , 1cos,之间摆动在函数时当xx.coslim,不存在不存在不能趋于一个确定的数不能趋于一个确定的数xx 目录目录小小 结结1.研究变量研究变量(数列或函数数列或函数)的变化趋势的变化趋势2. 数列极限数列
12、极限:当当n时时, an A.否则无极限。否则无极限。3. .函数极限函数极限(1) 当当x时时, f (x) A(2) 当当x+ 时时, f (x) A(3) 当当x- 时时, f (x) AAxfxfAxfxxx )(lim)(lim)(lim) 4 (目录目录的极限的极限时时四四 )( , .0 xfxx x x0 时函数的极限, 是描述当 x 无限接近 x0 时, 函数 f (x)的变化趋势.目录目录注意：注意：.)(. 2)(. 10随随自自变变量量的的变变化化趋趋势势极极限限讨讨论论的的是是函函数数值值是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数的的极极限限与与xfxxf2、 xx
13、0 时函数的极限时函数的极限目录目录.1 11)(, 1)( :. 1221时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数引引例例 xxxxfxxf解解：由图形可以看到由图形可以看到.xyo12)(xf)(xfy . . 21)( , 1 1 xxfx时时当当 f 1( x ) 在点 x= 1 处有定义. 函数 f 2( x ) 在点 x= 1 处没有定义. 11)( , 1 22 xxxfx时时当当. 2)1( 1 xx目录目录无限只考虑有无定义在必考虑 , )( 0 xxxxf的的变变化化函函数数时时接接近近 )( , 0 xfx趋趋势势即即可可。我们不我们不这类极限过程时这类极限过程时在讨
14、论在讨论 , 0 xx 目录目录 2 例：观察并求出下列极限例：观察并求出下列极限)1 (lim) 1 (20 xx 1o1-1xxsinlim) 3 (0 xxcoslim) 5 (0 xxsinlim) 4 (2 xxcoslim) 6 ( )1 (lim) 2 (21xx =1=0=0=1=1=-1目录目录0 xD 总结：若函数总结：若函数f(x)f(x)是定义域为是定义域为DD的初等函数，且有限点的初等函数，且有限点，则极限，则极限)()(lim00 xfxfxx xCxxxx00limlim0 x如：如：C目录目录3 3、单侧极限单侧极限( (左极限和右极限左极限和右极限) ) 0,
15、 10,1)(2xxxxxf设设两两种种情情况况分分别别讨讨论论和和分分00 xx,)1(0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;0 xx记记作作,)2(0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近.0 xx记记作作yox1xy 112 xy解解观察可知观察可知: :1)1(lim)(lim200 xxfxxx1)1(lim)(lim00 xxfxxx例例左极限左极限右极限右极限).(0lim),(0limxfxfxx求求?)(lim0 xfx1目录目录.)(lim)(lim)(lim 000AxfxfAxfxxxxxx 定理定理4 .函数在一点极限存在的充分必要条件函数在一点极限存在的充分必要条件左、
16、右极限相等左、右极限相等极限存在极限存在目录目录yx11 o xxx0lim:左极限左极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等, ,.)(lim0不存在不存在xfx证证1)1(lim0 xxxx 0lim:右极限右极限11lim0 x.0101 xxxxxxxx.lim0不存在不存在验证验证xxx例例目录目录).(lim , 00063)( 0 xfxxxxfx 讨讨论论设设例例6)63(lim )(lim 00 xxfxx解解？如何求如何求分段点左右两边表达式相同不需分左右极限分段点左右两边表达式相同不需分左右极限目录目录5 5、讨论分段函数在分段点的极限的步骤、讨论分段函数在分段点的极
17、限的步骤: :；选择正确的表达式求选择正确的表达式求)(lim).10 xfxx ；选择正确的表达式求选择正确的表达式求)(lim).20 xfxx .).3 根根据据定定理理得得出出结结论论注意：有时不需分左右极限求解注意：有时不需分左右极限求解目录目录).(lim),(lim0, 1000, 1)( 10 xfxfxxxxxxfxx 讨讨论论设设x-111-1oy11)xlim)(lim)1(00 （xxxf1)1(lim)(lim00 xxfxx)(lim)(lim00 xfxfxx 练习练习.)(lim0不不存存在在xfx0)1(lim)(lim)2(11 xxfxx解解目录目录).(
18、lim)(lim),(lim 0 230 13)(000 xfxfxfxxxxfxxxx 及及求求已已知知213lim)(lim00 ）（xxxxf, 223lim)(lim 00 ）（ xxfxx. 2)(lim 0 xfx解解练习练习目录目录五、极限的性质五、极限的性质. 0, 02 0, 01 ,lim3 AyAyAy则则极极限限值值）如如果果变变量量（；则则极极限限值值）如如果果变变量量（那那么么：、保保号号性性：已已知知极极限限2 2、局部有界性、局部有界性1 1、唯一性、唯一性目录目录六、小结六、小结. 1变化趋势的问题变化趋势的问题自变量变化下函数值的自变量变化下函数值的理解极限是研究函数在理解极限是研究函数在2.理解极限的七种变化过程的极限的定义理解极限的七种变化过程的极限的定义 00000 xxxxxxxxxxxxxxxnAxf )(lim目录目录3.用定理用定理1.1讨论分段函数在分段点的极限讨论分段函数在分段点的极限4.结合图形熟记基本初等函数在各点的极限结合图形熟记基本初等函数在各点的极限.；选择正确的表达式求选择正确的表达式求)(lim. 10 xfxx ；选选择择正正确确的的表表达达式式求求)(lim. 20 xfxx .1 . 1. 3得得出出结结论论根根据据定定理理目录目录THANK YOUSUCCESS2022-8-342可编辑