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1、变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第三章第三章 导数与定积分导数与定积分第第1节节 导数的概念与运算导数的概念与运算 1. 利用导数的定义求一些简单函数的导数. 2. 利用求导公式与求导法则求函数的导函数. 3. 利用导数的几何意义求切线斜率和切线方程，这也是高考的热点问 题. 一、基本概念一、基本概念 1. 导数的概念导数的概念 设函数 在 处附近有定义，如果 时， 与 的比 （也叫函数的平均变化率）有极限，即 无限趋近于某个 常数，我们把这个极限值叫函数 在 处的导数，记作( )yf x0
2、 xxxyxyxyx( )yf x0 x变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 或 . 即2.导数的几何意义：函数在这定点处的切线斜率导数的几何意义：函数在这定点处的切线斜率 函数 在 处的导数 ，表示曲线 在点 处的切线 的斜率，即 ，如图3-1所示. 过点 的切线方程为 . 同样可以定义曲线 在 的法线为过点 与曲线 在 的切线垂直的直线. 过点 的法线方程为 .3. 导数的物理意义导数的物理意义:瞬时速度瞬时速度 .0()fx0 x xy00000()()()limlimxxf xxf xy
3、fxxx 000( )()lim.xxf xf xxx( )yf x0 x0()fx( )yf x00,()P xf xPT0tan()fxP000()()yyfxxx( )yf x0 xx00,()P xf x( )yf x0 xxP0001()()yyxxfx 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 设 时刻一车从某点出发，在 时刻车走了一定的距离 . 在 时刻到 时刻，车走了 ，这一段时间里车的平均速度为 ，当 与 很接近时，这个平均速度近似于 时刻的瞬时速度.若令 ，则可以认为 ，即 就是
4、 时刻的瞬时速度.二、基本初等函数的导数公式二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式表0t t( )SS t0t1t10( )( )S tS t1010( )( )S tS ttt1t0t0t10tt101010( )( )limttS tS ttt0( )S t0t ， 为正整数 ， 为有理数( )yf x( )yfxycnyxn0,0,Qyxx且0,1xyaaa且log0,1,0ayx aax且sinyxcosyx0y 1nynxn1 yxlnxyaa1lnyxacosyxsinyx 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主
5、接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分三、导数的运算法则三、导数的运算法则(和、差、积、商和、差、积、商) 设 ，均可导，则 （1） ；（2） ； （3） ；（4） . 题型39 导数的定义 【例例3.1】 设 存在，求下列各极限. （1）；（2） . 【分析分析】 ，导数的定义中，增量 的 形式是多样的，但不论 选择哪种形式， 必须选择相应 的形式. 利用函数 在点 处可导的条件，可以将已知 极限变形转化为导数定义的结构形式.( )uu x( )vv xuvuvkuku20uu vuvvvvuvu vuv0()fx000(3)()limxf xxf xx 000()()limhf xhf
6、xh0000()()()limxf xxf xfxx xxy( )f x0 x变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分【解析解析】 (1) (2) 题型题型40 求函数的导数求函数的导数 【例例3.2】 求下列函数的导数. (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 【解析解析】(1) ； (2)； (3) ；0000000(3)()(3)()limlim33().3xxf xxf xf xxf xfxxx 0000000()()()()limlim( 1)().hhf
7、xhf xf xhf xfxhh 5yx41yx35yx10 xy 2logyxsinyx5 1455yxx44 155444yxxxx 332155525333555yxxxx 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 (4) ； (5) ； (6) .【评注评注】对于基本初等函数（指、对、幂、三角函数），可以直接根据导 数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌 握基本初等函数的导数公式. 题型41 导数的几何意义【例例3.5】 设 为曲线 上的点，且曲线 在点 处切线 倾斜角的取值
8、范围为 ，则点 横坐标的取值范围为（ ）. A. B. C. D.10 ln10 xy 1ln2yxsincosyxxP2:23C yxxCP0,4P11,2 1,00,11,12变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分【分析分析】根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线 在点 处切线的斜 率的范围是 ，根据导数的几何意义，只要函数的导数在这个范围即可.【解析解析】 ，由于曲线 在点 处的切线的倾斜角的取值范围为，所以其切线的斜率的范围为 ，根据导数的几何意 义，得 ，即 故选A.【评注评注】函数 在
9、某点处的导数、曲线 在某点处切线的 斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解 题中要善于在这三者之间转化.CP0,1223yxx22yxCP0,40,10 22 1x11.2x ( )yf x( )yf x变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第第2节节 导数的应用导数的应用 1.利用导数的符号判断函数的单调性变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 一般地，函数的单调性与其导数正负有如下
10、关系：在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减. 2.函数极值的概念 设函数 在点 连续且 ，若在点 附近的左侧 ，右侧 ， 则 为函数的极大值点；若在点 附 近的左侧 ，右侧 ，则 为函数的极大值点. 函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个 定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值 大. 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值 点., a b( )0fx ( )yf x( )0fx ( )yf x( )yf x0 x0()0yfx0 x0()0fx0()0fx0 x0 x0()0fx0
11、()0fx0 x变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分3.函数的最大值、最小值 若函数 在闭区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点与区间端点处取得. 题型42 利用原函数与导函数的关系判断图象 【例例3.7】若函数 的导函数在区间 是增函数，则函数 在区间 上的图象可能是 （ ）.AB C D( )yf x, a b, a b( )yf x, a b( )yf x, a byyyyxxxxOOOaaaabbbb变电站电气主接线是指变电站
12、的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分【分析分析】 利用导数的几何意义求解.【解析解析】 由导数的几何意义是切线的斜率知，函数 图象上的切线斜 率递增. 选项B中曲线从左到右的点的切线斜率由大到小变化； 选项C，斜率是一个常数；选项D中曲线从左到右的点的切线 斜率先增后减，只有A项中曲线上从左到右的点的切线斜率是 递增的. 故选A. 题型 43 利用导数求函数的单调区间【例例3.8】 求函数 的单调区间.【解解 析析】 ，令 得 或 ，如表3-1所示. 的单调区间为 和 单调减区间为 .( )f x3227( )15432
13、f xxxxxR2( )2715235fxxxxx( )0fx 32x 5x ( )f x, 5 3,.235,2变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分表3-1极大值极小值x( )fx( )f x, 5 535,2323,200变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分题型44 函数的极值与最值的求解【例例3.9】设函数 ，则（ ）. A. 为 的极大值点 B. 为 的极小值点 C. 为 的极大值点 D.
14、 为 的极小值点【分析分析】 求函数的极值点，即求解导函数的变号零点.【解析解析】 因为 ，所以 . 当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减. 因此， 时，函数 取得极小值. 故选D. ( )exf xx1x ( )f x1x ( )f x1x ( )f x1x ( )f x( )exf xx( )ee1exxxfxxx1x( ) 0fx ( )f x1x ( )0fx ( )f x1x ( )f x变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分题型45 已知含参函数在区间上单调性或无单
15、调性或存在单调区间， 求参数的范围【例例3.11】 已知函数 . （1）当 时，求 的极值； （2）若 在 上是增函数，求 的取值范围.【 解解 析析 】（1） 当 时， ，令 得 ， 令 得 ，故 在区间 上单调递减， 在区间 上单调递增，在 处， 有极小值. 所以 是 的极小值. （2）若 在 内是增函数，当且仅当42( )32 314f xaxaxx16a ( )f x( )f x1,1a32( )124 31441 331fxaxaxxaxax16a 2( )221fxxx( )0fx 2x ( )0fx 2x ( )f x, 2 2,2x ( )f x( 2)12f ( )f x(
16、)f x1,1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 ，即 在 上恒成立.( i ) 当 时， 恒成立；( ii) 当 时，令 为开口向上的二次函数，其对称轴 为 ， 在 上的最大值为 ，令 得(iii) 当 时， 为开口向下的二次函数，其在 上 的最大值为 ，令 ，得 . 综上， 的取值范围是 .2( )413310fxxaxax2331 0axax 1,10a 23311 0axax 0a 2( )331g xaxax12x ( )g x1,1(1)g(1)331 0gaa 1;6a0a 2(
17、 )331g xaxax1,112g1331 0242gaa43aa4 1,3 6变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分【例例3.12】 已知函数 . （1）若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 求 ， 的值； （2）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围.【解解 析析】（1）由函数 的图象过原点，得 ， 又 ， 在原点处的切线斜 率 ，则 ，所以 或 . 故 或 ， . （2）由 ，得 ， ， 又 在 上不单调，则 在 内有实根，32( )12f xxa xa axb, a bR( )
18、f x3,ab( )f x1,1a( )f x0b 2( )32 12fxxa xa a( )f x3(0)23fa a 3a 1a 3a 1a 0b ( )0fx 1xa223ax ( )f x1,1( )0fx 1,1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 即有 或 ， 解得 或. 综上， 的取值范围是 .【评注评注】 若 在某区间上不单调，则 在此区间有实数根，可 先考虑 在整个定义域内的根的情况，结合函数的图 象和性质找出给定区间有实根的充要条件.1123aaa 211323aaa 111
19、2aa 5112aa ( )f x( )0fx ( )0fx a115,122变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分【例例3.13】设函数 ，若函数 在 上存在 单调递增区间，求实数 的取值范围.【分分 析析】 函数 在给定的区间存在单调区间，转化为导函数在给定区 间上大于零有解.【解解 析析】依题意， 有解，得 在 区间 上有解，则 ， ， 令 ， ，易知 在 上为增函数， 所以最大值为 .2( )ln() ,f xxxaaR( )f x1,2a( )f x1( )2()0,1,2fxxaxx1
20、22axx1,2max12axx1,2x1,1,22yxxx2221211022xyxx 12yxx1,294变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分题型46 含参函数的单调性（区间）【例例3.14】设函数 ，在 处取得极值，且曲线 在点 处的切线垂直于直线 . （1）求 、 的值； （2）若函数 ，讨论 的单调性.【解解 析析】 （1）由 ，故 ， 又 在 处取得极值，故 ，从而 ， 由曲线 在点 处的切线与直线 垂直 可知该切线斜率为 ，即 ，有 ，从而 （2）由（1）知 ， 故 ，令 ，2(
21、)0f xaxbxk k0 x ( )yf x1,(1)f210 xy abe( )( )xg xf x( )g x2( )0f xaxbxk k( )2fxaxb( )f x0 x (0)0f0b ( )yf x1,(1)f210 xy 2(1)2f22a 1.a 2e( )0 xg xkxk222e2( )0 xxxkg xkxk( )0g x 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 有 . 当 ，即当 时， 在 上恒成立，故函 数 在 上为增函数； 当 ，即当 时，方程 有 两个不相等的实根
22、 ， . 当 时， ，故 在 上为减函数； 当 时， ，故 在 上 为增函数. 综上所述，当 时， 在 上为增函数；当 时， 在 和 上为增函数，在 上为减函数.2200 xxkk440k1k( )0g x R( )g xR440k01k220 xxk111xk 211xk ,11xk ( )0g x ( )g x11,11kk11,xk( )0g x ( )g x11,k1k( )g xR1k ( )g x,11k11,k11,11kk变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分题型47 方程解（函数
23、零点）的个数问题【例例3.16】 设 为实数，函数 . （1）求 的极值； （2）若方程 有三个实数根，求 的取值范围； （3）若 恰好有两个实数根，求 的值.【解解 析析】 （1） ，令 ，得 . 如表3-3所示. 表3-3a3( )3f xxxa ( )f x( )0f x a( )0f x a2( )33fxx ( )0fx 1x 极大值极小值x( )fx( )f x, 1 11,111,00变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分可知 在 和 上单调递减，在 上单调递增，极小值为 ，极大值为
24、（2）若要 有 个实数根，只需要 ，即 ，得 ，故 的取值范围是 .（3）若要 恰好有两个实数根，只需要 或 ，即 或 ， 解得 所以当 有两个根时，【评注评注】 本类题要结合函数用单调性和极值入手，体现数形结合的数学 思想.( )f x, 1 1,1,1( 1)4fa(1)2.fa( )0f x 3( )0( )0fxfx极大极小2020aa 22a a2,2( )0f x ( )0( )0fxfx极大极小( )0( )0fxfx极大极小2020aa2020aa22.aa 或( )0f x 22.aa 或变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变
25、电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分题型48 不等式恒成立与存在性问题【例例3.17】已知函数 . （1）求 的最小值； （2）若对于所有 都有 ，求实数 的取值范围.【分析分析】 第（2）问可用分离变量的方法求解.【解析解析】 的定义域是 . （1） ，令 ，解得 ；令 ，解 得 . 从而 在 单调递减，在 单调递增. 所以，当 时， 的最小值为 . （2）依题意，得 在 上恒成立. 即不等式 ( )lnf xxx( )f x1x1( )1f xax a( )lnf xxx0,( )1lnfxx ( )0fx 1ex ( )0fx 10ex( )f x10,e1,e1ex ( )
26、f x11eef ( )1f xax 1,变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 对于 恒成立 ，即 设 ，则，令 得 . 当 时，因为 ，故 在 上 是增函数，当 时，因为，故 在 上是减函数. 所以 在 上的最小值是 . 故 的 取值范围是 . 【评注评注】 第（2）问的解法一应用分离变量的方法解题，使得构造的新 函数中不含参数，避免了对参数的分类讨论.1lnaxx1,x1( )lng xxx21111( )1g xxxxxmin1ln,1,.axxx( )0,g x 1x 1x 21( )0
27、 xg xx( )g x1,01x21( )0 xg xx( )g x(0,1)( )g x1,(1)1ga,1变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分题型49 利用导数证明不等式【例例3.21】设 为实数，函数 ， . （1）求 的单调区间与极值； （2）求证：当 且 时， . 【分分 析析】 证明不等式可构造函数 ，转化为函数在 上恒大于 .【解解 析析】 （1）由 ， 知 ， . 令 ，得 ，于是当 变化， 、 变化如 表3-4所示. 表 3-4a( )e22xf xxaxR( )f xln2
28、 1a 0 x 2e21xxax2( )e21xg xxax0,0( )e22xf xxaxR( )e2xfxxR( )0fx ln2x x( )fx( )f x极小值x( )fx( )f x,ln2ln2ln2,0变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分 故 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ， 在 处取得极小值， （2）设 ， ，于是 ， 由（1）知当 时， 最小值为 于对任意 ，都有 ，所以 在 上单调递增，于 是当 ，对 都有 ，而 ，从 而 ， ，即 ，故【评注评注】 一般地，要证 在区
29、间 上成立，构造辅助函数 ，通过分析 的单调性，从而求出 在 上的最小值，只要能证明 ，就可证明 . ( )f x,ln2ln2,( )f xln2x ln2(ln2)e2ln222 1 ln2.faa2( )e21xg xxaxxR( )e22xg xxaxR.ln2 1a ( )g x(ln2)2 1ln20gaxR( )0g x( )g xRln2 1a 0,x( )(0)g xg(0)0g( )0g x 0,x2e210 xxax 2e21.xxax( )( )f xg xI( )( )( )F xf xg x( )F x( )F xImin( )0F x( )( )f xg x变电站
30、电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分题型50 导数在实际问题中的应用【例例3.22】 一个圆环直径为 ，通过铁丝 、 、 、 ( 、 、 是圆上三等分点) 悬挂在 处，圆环呈水平状态并距天花板 ，如图3-9所示. （1）设 长为 ( )，铁丝总长为 ( ) ， 试写出 关于 的函数解析式，并写出 函数定义域； （2）当 取多长时，铁丝总长 有最小值，并求此最小值.【解解 析析】 （1）由题意 四点构成一个正三棱锥， ， ， 为 该三棱锥的三条侧棱. 三棱锥的侧棱 ，于是 有 . 2 2mBC1CA2C
31、A3CA1A2A3AB2mBCx mymyxxy123,C A A A1CA2CA3CA21(2)2CAx23 (2)2yxx(02)x变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分（2）对 求导得 . 令 得，解得 或 （舍）.当 时， ；当 时， . 故当 时，即 时， 取得最小值为 .y23(2)1(2)2xyx 0y 229(2)(2)2xx32x 52x 30,2x0y 3,22x0y 32x 1.5BC y6变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。
32、变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分第第3节节 定积分和微积分基本定理定积分和微积分基本定理 一般地，设函数 在区间 上连续，用分点 将区间 等分成 个小区 间，每个小区间长度为 ，在每个小区间 上取一点 ，作和式 .( )f x, a b0121iinaxxxxxxb, a bnbaxxn1,iixx1,2,iin11( )( )nnniiiibaSfxfn 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分当 无限接近于 （亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常数 为函数 在区间
33、 上的定积分. 记为 .其中 为被积函数， 为积分变量， 为积分区间， 为积分上限， 为积分下限.x0n nSSS( )f x, a b( )baSf x dx( )f xx, a bba121sindxxx1123111112sindcoscos1cos1.3333xxxxx 变电站电气主接线是指变电站的变压器、输电线路怎样与电力系统相连接，从而完成输配电任务。变电站的主接线是电力系统接线组成中一个重要组成部分题型52 求曲边梯形的面积【例例3. 17】 由曲线 ， 围成的封闭图形的面积为（ ）. A. B. C. D. 【解解 析析】 由 得 和 ，则由 和 围成的封闭 图形的面积为 . 故选A.2yx3yx112141371223xx0 x 1x 2yx3yx1123340011111d343412xxxxx