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1、2.5 等比数列的前n项和第1课时 1.1.掌握等比数列的前掌握等比数列的前n n项和公式项和公式. .( (重点）重点）2.2.掌握前掌握前n n项和公式的推导方法项和公式的推导方法. .（重点）（重点）3.3.对前对前n n项和公式能进行简单应用项和公式能进行简单应用. .（难点）（难点）问题问题1 1：传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活中，发现了的生活中，发现了6464格棋（也就是现在的国际象棋）格棋（也就是现在的国际象棋）的有趣和奥妙，决定要重赏发明人的有趣和奥妙，决定要重赏发明人他的宰相他的宰相西萨西萨 班班 达依尔，让他达依尔，让他随
2、意选择奖品随意选择奖品. . 宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格内赏他四粒麦子四粒麦子依此依此类推，每一格上的类推，每一格上的麦子数都是前一格麦子数都是前一格的两倍，国王一听，的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来几粒麦子，加起来也不过一小袋，他也不过一小袋，他就答应了宰相的要就答应了宰相的要求求. .实际上国王能实际上国王能满足宰相的要求吗？满足宰相的要求吗？问题2：甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后
3、一天返还的钱是前一天的二倍.问谁赢谁亏？ 分析：数学建模an：100，100，100，100 q=1 bn：1， 2， 22， 23，229 q=2S S3030=100+100+100=100+100+100 T T3030=1+2+2=1+2+22 2+2+22929 这是一个比较大小的问题，实质上是求等比数列前n项和的问题.在等比数列an中,当当q=1q=1时时 ，S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n1 1+a+an n= = nana1 1当当q1q1时，时，S Sn n=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+an n1 1+a+an n = =
4、？qsn=错错位位相相减减法法23111111nna qa qa qa qa q1(1)1nnaqSqq1若若q=1时时,1nSna 1nnaa已知:等比数列中 ,q,n.求S123nnSaaaa11(1)nnq Saa q111111qnaqqqaSnn)(探究（一探究（一) )：等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式两边同时乘以两边同时乘以 q 得：得： 3qa21111qaqaanS11nqa通项公式通项公式: :an=a1qn-1等比数列等比数列 a an n a1qna1q qn-1anq111111qnaqqqaSnn)(11111qnaqqqaaSnn说明：说明：1、以上
5、推导公式的方法我们称之为以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法错位相减法”. 等比数列的前等比数列的前n n项和公式可不只有上面项和公式可不只有上面这种方法啊！它的推导方法还有好多种这种方法啊！它的推导方法还有好多种, ,有有兴趣的同学可别忘了下去研究啊兴趣的同学可别忘了下去研究啊！等比数列的前等比数列的前n项和公式为：项和公式为：(2) 1( ) 1(1 (1) 1( ) 1(1)1 (1111qnaqqqaaSqnaqqqaSnnnn或) 1(1nqa3.3.在公式在公式（1 1）中中，当当q1时，时， 分母是分母是1q时，分子是时，分子是 ， 分母是分母是q1时，分子是时，分子是 。)
6、1 (1nqa2.当公比当公比q不确定时，应当分不确定时，应当分q=1和和q1两种情况讨论。两种情况讨论。4.4.五个量五个量n n，a a1 1，q q，a an n，S Sn n中，解决中，解决“知三求二知三求二”问题问题. . 方程意识要强，计算要过关。方程意识要强，计算要过关。去看看如何使用吧!n+1判断判断是非：是非：n2222132n21211)(nn）（ 2)()(21211n12168421n)(2n011)11(55555nn个个问题问题1：棋盘上各个格子里的麦粒数依次是：棋盘上各个格子里的麦粒数依次是于是棋盘上的麦粒总数就是于是棋盘上的麦粒总数就是有了上述公式，就可以解决开
7、头提出的问题了，有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了，问题问题1 1：a a1 1=1,q=2,n=64.=1,q=2,n=64.可得可得: :S S6464= =估计千粒麦子的质量约为估计千粒麦子的质量约为40g40g，那么麦粒的总质量超过，那么麦粒的总质量超过了了70007000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言亿吨，因此，国王不能实现他的诺言. .问题问题2 2：答案：答案：2 230301 (1 (分分) )10737418. 23 (10737418. 23 (元元) ) 远大于远大于30003000元元1，2，22, 23，2631+2+22+23+2631 19 9例例 求求下
8、下列列等等比比数数列列前前8 8项项的的和和: :1 11 11 1（1 1） , , , , , ,. .2 24 48 81 1（2 2）a a 2 27 7，a a ，q q 0 0. .2 24 43 3例例1、 当当时时 8 81 19 98 88 81 11 12 2 由由a a = =2 27 7, ,a a = =, ,可可得得2 27 7q q , ,2 24 43 32 24 43 3又又由由q q 0 0, ,可可得得1 1 q q = = - - , ,3 31 12 27 7 1 1- - - -3 31 1 6 64 40 0于于是是n n = =8 8，S S =
9、 = =. .1 18 81 11 1- - - -3 3练习练习1.1.根据下列各题中的条件根据下列各题中的条件, ,求出相应求出相应等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n 6, 2, 3)1(1nqa21,21, 8)2(1naqa2312115)2(189)1(或答案nnSS2.在等比数列数列 中na441,96,5.1)1(Sqaa和求已知515,831,21)2(aaSq和求已知812)2(215314)1(51414aaqqaaSq答案方程思想方程思想(知三求二）知三求二）例2、某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%
10、，那么从第一年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%) (1+10%)台21 . 15000第n年产量为台11 . 15000n则n年内的总产量为：121 . 151 . 151 . 155n解：由题意,从第1年起,每年的销售量组成一个等比数列 ,na其中,30000, 1 .1%101,50001nSqa.300001 . 111 . 115000n即.6 .11 .1n两边取常用对数，得 6.1lg1.1lgn5041.020.01.1lg6.1lgn(
11、年)答：约5年可以使总销售量量达到30000台1.1.在正项等比数列在正项等比数列aan n 中，若中，若S S2 2=7, S=7, S6 6=91, =91, 则则S S4 4的值的值为（为（ ）A.28 B.32 C.35 D.49A.28 B.32 C.35 D.49A A2 2一个等比数列共有一个等比数列共有3n3n项，其前项，其前n n项之积为项之积为A A，次，次n n项之项之积为积为B B，末，末n n项之积为项之积为C C，则一定有（，则一定有（ ）A. A+B=C B. A+C=2B C. AB=C D. AC=BA. A+B=C B. A+C=2B C. AB=C D. AC=B2 2D D课后思考：课后思考：提示提示:对q进行分类讨论: 21:1nqqq求和综上综上:(1)0,1;(2)1,;101,;1nqSqSnqqqSq解当时当时(3)当且时1,11,11nqSqSqq或等等比比数数列列前前 n项项和和公公式式q1,q=1分类讨论分类讨论乘公比乘公比错位相减错位相减小结小结111111qnaqqqaSnn)(或或11111qnaqqqaaSnn知三求二知三求二等比数列的等比数列的前前n n项和公式项和公式 方方 程程 思思想想数学源于生活数学源于生活数学用于生活数学用于生活