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1、混沌光的时间相干性及其量子解释内容摘要：本文主要介绍了混沌光的概念及其产生的微观机制，并以杨氏干涉实验为例，提出光的相干度概念，然后进一步用量子理论来解释混沌光的相干性。关键词：混沌光 时间相干性 量子理论Abstract：This paper introduces the concept and the microscopic mechanism of chaotic light, and then, we use Youngs interference experiment, as a example, propose the degree of coherence of light co
2、ncept, and further by using the quantum theory to explain the coherence of chaotic light.Key words：chaotic light temporal coherence quantum theory引言光的相干性重要而复杂，在当今，社会生活中的很多方面都与光的时间相干性有着紧密的联系,许多重要的科学仪器就是利用光的相关原理制造出来的，而光源的特性直接影响了相干效果的好坏。作为实验室中的理想光源，激光的相干性的研究较为成熟，而对于实验室中最为常见的光源，混沌光，对它的研究却较少。目前一般的光学教材也普遍
3、没有将由混沌光光源获得相干光的微观机制与其定量的宏观干涉空间分布统一起来。这里我们将通过对混沌光的微观机制进行进一步研究，运用统计方法推出混沌光杨氏干涉条纹的一级相干度及二级相干度，并用量子理论对混沌光给出相同的结论。将两种理论进行对比，可便于读者进一步了解混沌光及其相干机制。1.混沌光1.1有限长波列的傅里叶分析在光的相干实验中，相干项可认为是一列波与自身延迟后的版本发生干涉，对于严格的无限长的单色波，无论延迟多久它仍能与自身发生干涉。而实际上任何光源所发出的光波都是由一系列有限长度的波列组成。一个严格无限长的单色波是无限长的单频率振动，用数学式表示为： （1.1）对于一有限持续时间的波列：
4、 （1.2）为波列持续的时间。根据傅里叶分析，可将此波列分解成多列无限长波列： （1.3）分解后不同频率波的强度为 （1.4）的图象像分别如下图： .图1.1 图1.2 图1.3图1.3中，强度第一个0值对应 ，故显然有 （1.5）这样傅里叶频谱的有效频率范围约等于单个波列振荡持续时间的倒数。1.2混沌光的分类实验室中常用的光源有两种：一种是激光；另一种是气体放电管。其中不同原子受到激发，彼此独立地发射它们的辐射，发射谱线的形状由原子速度的统计分布和随机发生的碰撞确定，这种常规的光源我们称之为混沌光源。例如钠光灯和钨丝灯。随便哪种混沌光光源发出的光束都有类似的统计性质，只是不同的混沌光束具有不
5、同的统计分布参数。 常见有两种分布函数：高斯分布和洛伦兹分布。低压气体放电管，例如钨丝灯，其密度分布函数为高斯分布函数： （1.6）为谱线半宽度。这里的系数由归一化性质决定，即： （1.7）高压气体放电管，例如钠光灯，谱线密度为洛伦兹型分布函数： （1.8）这里用的是频率，在后面计算中我们常用的是圆频率。1.3洛伦兹型光源微观机制我们先考虑钠光产生的微观机制。取任一原子进行研究，该原子受热、电作用会“自发”地断续向外辐射。若每次辐射的初相位和持续时间相同，则谱密度函数图象会和图象形状相同。而实际由于原子间的碰撞，波列的初相位和持续时间是无规则分布，如下图：23图1.3 图1.4大量个这样的原子
6、总电场可写为： （1.9）为所有原子共同的振幅和圆频率，它由原子内部性质决定。由大量单位矢量形成的合成矢量振幅和相位如图：图1.5由图可知 （1.10）由于每个单位矢量的随机性，大小也随机，因此光强变化也很快。而实际上我们感觉不到光强度的变化，主要是因为原子平均自由飞行时间，也就是平均每次振动时间较小，一般为，但和在时间间隔内变化显著。一般观察分辨时间远小于。按照气体运动论，原子在两次碰撞中飞行持续时间在到间的几率为 （1.11）频率分布函数为： （1.12）上式的含义与（1.8）式相同，式中指数因子前面的常数是为了保证归一化条件，为谱线半宽度。以上讲到原子每次辐射的持续时间和初相位的改变主要
7、是因为原子间的无规则碰撞，从而导致了傅里叶分析后的频谱宽度的增大，我们称这种频率增宽机制为碰撞增宽。这是一种均匀增宽机制，产生的是洛伦兹线型，每个原子吸收或者发射都和其它原子相同。除了碰撞增宽外，辐射增宽也属于这种增宽机制，原则上，没有一种实验方法能把一定频率的光归之于一组特定的原子。宽度由原子态不受干扰的时间间隔的有限平均值引起。1.4多普勒增宽机制谱线增宽还有一种类型：非均匀增宽机制。这种谱线增宽来源于确定跃迁频率的某些参数有一统计分布，故不同原子吸收或者发射光的频率略有不同，这类谱线增宽过程一般产生高斯线型。气体中诸原子的速度有一分布，由于多普勒效应，发射光的频率也有一定分布。由于原子在
8、电场振动方向上的速度不同，同时刻不同原子辐射出的波列的频率也就不同。大量个这样的原子总电场为： （1.13）根据多普勒效应可知 （1.14）式中为该原子在电场振动方向的分速度。设电场振动方向为z方向，按照麦克斯韦分布律，温度为T时，气体中一个原子速度的z方向速度分量在到之间的概率为： （1.15）归一化处理后，该原子速度的z方向速度分量在到之间的相对概率为： （1.16）代人（1.14）式结果得： （1.17）如果令 （1.18）可求得多普勒增宽曲线在其最大高度一半处的全宽度为： （1.19）实际计算时，常用高斯分布的方均根展宽表示，它们之间的换算关系为： （1.20）将（1.17）式进行归一
9、化换算可得高斯线型函数， （1.21）上式的含义与（1.6）式相同，式中指数因子前面的常数是为了保证归一化条件： （1.22）我们将高斯线型函数与洛伦兹型函数进行比较，当两曲线半峰宽度相同时，即时图像如下图：图1.6可见在半宽度相同的情况下，高斯型曲线的峰较尖锐，即谱线单色性较好。2.时间相干性2.1时间相干效应由于原子每次持续发光的时间有限，它一次发出的光波只能是一有限长度的波列，设光速为，则波列长度为，考察杨氏干涉实验：图2.1为一点光源，为在某一时刻发射的一列光波，这一列光波被杨氏干涉装置分成了、两个波列，这两个波列沿不同路径、传播后，又重新相遇。由于这两列波是从同一波列分割出来的，所以
10、它们具有完全相同的频率和一定的相位关系，可以发生干涉，并能观察到干涉条纹。如果两路的光程差太大，和到考察点的光程差大于波列的长度，使得当波列刚到达点时，波列已经过去了，两列波不能相遇，无法发生干涉，而此时另一发光时刻发出的波列经分割后的波列刚好和相遇并叠加，但由于波列和无固定的相位关系，因此与在考察点无法发生干涉。所以干涉的必要条件是两光波在相遇点的光程差小于波列的长度。2.2相干长度由以上分析可知，能产生干涉条纹的最大光程差应等于原子一次持续发光的波列长度，这也是光的相干长度，即 （2.1）利用（1.5）式可得 （2.2）又由频率与波长关系，只计绝对值时可得，故有 （2.3）由此可见，光源单
11、色性越好，即越小，相干长度就越长。 钠光波列长度约为0.058cm，较实验器材尺寸较小，相干现象效果不明显。而低压镉灯相干长度为40cm，低压氪（）灯发光的相干长度为70cm，氦氖激光器发射的激光的相干长度长达几百千米，是实验室中较为理想的相干实验光源，而钠光灯由于相干长度较短，因此一般很少用来做相干实验的光源。3.混沌光的相干度3.1起伏光束的谱在观察点，光的频谱可有如下定义的电场傅里叶分量确定 （3.1）频率为的光的周期平均强度正比于： （3.2）式中，由于观察时间T相对很大，故上式积分时间可用T代替无穷大。定义一级电场相关函数 （3.3）则有： （3.4）由于一般情况下，我们定义归一化的
12、谱分布函数： （3.5）式中为归一化相关函数，也称为光的一级时间相干度。一般情况下积分只对正部分进行，至于负部分，可以用代替，则（3.5）式变为 （3.6）其中 （3.7）则(3.5)式变为： （3.8）可见，只要知道正部分一级相干度，我们就可以由对称关系求取谱分布函数。3.2洛伦兹型光的一级相干性为了便于分析，这里我们先只考虑碰撞增宽机制，而不考虑其他增宽因素。假设采样的时间T能延续多个相干时间，则方程（3.3）中的时间平均仅取决于光的特性，而与T无关。另外也假设，检测器的分辨时间远小于相干时间，并且检测器平行于光束的线度远小于波长。由（1.9）式有 （3.9）由于不同原子发出的波列的位相有
13、不同的随机值，因此交叉项给出的平均值贡献为零，余下的项，由于所有辐射原子是等价的，故有： （3.10）这样，光的整体的相关函数就转换成单一原子的相关函数。原子在同一次持续振动时的相位相同，即，在一次碰撞之后才跃变到另一随机相位，这样单一原子的相关函数变正比于原子自由飞行时间大于的几率，利用几率分布函数（1.11）式，我们可得 （3.11）这样（3.10）式变为 （3.12）归一化的相关函数或一级相干度为 （3.13）将上式代人（3.8）式可求得碰撞增宽机制的谱分布函数为 （3.14）如果我们令 （3.15）可以发现（3.14）式与（1.12）式完全相同。 如果同时考虑另一种均匀增宽机制辐射增宽
14、，则必须加上辐射阻尼参数，总阻尼参数 （3.16）进行类推可得 （3.17）对应相干时间 （3.18） 我们还可以注意到，当时间远大于平均相干时间时，一级相干度 （3.19）说明相干现象很不明显，这也是前面提到的为什么不同的混沌光有不同相干长度的原因。3.3杨氏干涉实验的一级相干度混沌光的杨氏干涉实验是一个简单的实验，它的处理方法说明了一些普遍性原理。下图是杨氏干涉实验的简化描述，由一理想点光源发出的混沌光束（先假设为洛伦兹型光）通过透镜成平行光，然后垂直照射到两针孔的屏1上，在位于第一个屏后面的第二格屏上会看到干涉条纹。图3.1设为时刻在观察屏上处辐射的总电场，则该电场是两个小孔（位于和）在
15、较早时刻和时的电场线性叠加，因此有 （3.20）其中 （3.21）系数与分别于和成反比，但由于从小孔辐射的次波与原入射光束有位相差，因此与是纯虚数，同时下面讨论也忽略了针孔衍射效应。 由于杨氏干涉实验中的条纹常用照相机底片记录，或用肉眼观察，因此在这两种情况下，记录时间比混沌光相干时间大得多，即实验的光强度为时间内平均光强，形式为 （3.22）可以看出在第二个屏上的平均光强包含三项贡献，前面两项表示两个小孔单独存在时再屏2上处产生的光强，这两项没有干涉效应。条纹的干涉现象有第三项干涉引起。可以求出 （3.23）这是因为从不同原子发出的波列的初相位有不同的无规则值，因此交叉项给出的平均贡献为零，
16、同理有 （3.24）由（3.21）式可得 （3.25）将（3.10）式至（3.17）进行推广可得 （3.26）则光强度简化为 （3.27）可见度可表示为 （3.28）分析可知，在第二个屏中心处且，条纹可见度为1，但轴外区域由于且，所以可见度小于1.我们再来关注下光场一级相干度，在时空点和处 （3.29）光的相干程度可由下式表示 （3.30）对于洛伦兹型光，可见的大小依赖混沌光的线宽参数作出线宽参数为的洛伦兹型光一级相干度图像如下图，虚线为严格单色波对应的相干度。图3.23.4高斯型光的一级相干性考虑主要有多普勒效应引起发射频率展宽时的相干度，忽略其他谱线增宽因素，辐射光束在一固定观察点的总电场
17、可写作 （3.31）一级电场相关函数可写成 （3.32）光束传播的方向取作z轴，由于各位相角具有固定值，但随机分布，所以当时，平均贡献为零，余下部分为 （3.33）式中 （3.34）结合（3.21）式可知这里的与（3.25）式中的物理意义相同，都为相关时间。根据（1.21）式，将（3.33）式的求和改为积分 （3.35）多普勒增宽光的这一结果与碰撞及辐射增宽光的相关函数（3.26）类似。对应一级相干度为 （3.36）也做出具有方均根宽度为的高斯型混沌光的相干度图像图3.3如果同时考虑具有参数为的洛伦兹增宽和参数为的高斯增宽，则一级相干度为 （3.37）这里假定两种机制是独立的。3.5混沌光的二
18、级相干度前面研究的混沌光的强度起伏性质，是单一瞬间所取读数的强度平均，现在我们研究诸双时测量，即按固定的时间延迟得到的一系列成对的强度读数。每对强度读数乘积的平均就是光的强度的相关函数，它类似于方程（3.3）所定义的电场相关函数。对应的，我们引入时间二级相干度： （3.38）可见，二级相干度依赖于不同时刻的两个强度的相关，而不是两个场的相关。为了确定混沌光的二级相干度，我们仍假定光束电场有不同的辐射原子的独立贡献组成 （3.39）这样电场二级相关函数为 （3.40）考虑到不同原子相位的随机性及不同原子贡献的等价性 （3.41）如果再假设辐射原子的数目相当大，所有的成对原子的贡献大大超过单个原子
19、的贡献，上式可以近似为 （3.42）利用一级相干度和二级相干度的定义，由（3.10）式和（3.42）式可得出 （3.43）这一重要关系对各种混沌光都成立。我们作出线宽参数分别为和的高斯型和洛伦兹型频率分布的混沌光的二级相干度图像。图3.4（3.29）和（3.38）式所定义的一级相干度和二级相干度，只是一系列相干函数等级系列中的头两个，可以设想一个一般的干涉实验，其测量结果决定于任意时空点上诸电场的相关性，任何这种测量的结果都按某种方式取决于诸相干函数的等级系列，第r级相干度可定义为 （3.44）只有当一阶、二阶或更高阶的相干度均为1时，才能称为完全相干光。4.干涉性的量子解释4.1 杨氏干涉实
20、验的量子理论杨氏干涉实验的量子解释与前面的经典理论相似。在经典模式中我们将电矢量E写为 （4.1）同样，在量子领域，我们也将电场算符分为正频分量和负频分量两部分： （4.2）式中 （4.3） （4.4）、分别表示正频分量和负频分量。考虑从两个狭缝出来的辐射场在第二个屏处叠加则有 （4.5）经典理论中，电场强度正比于，类似的量子领域强度算符正比于类似于（3.22）式，也有 （4.6）考虑到光子的粒子性，引入产生算符和湮灭算符，粒子数算符。在干涉实验图中屏1上，狭缝1后面的光子数为，记为模1，狭缝 2后面的光子数为，记为模2。而在屏2上光子数由两种模共同决定。当两狭缝宽度相同时，入射光就有等同可能
21、在模1模2中被记录，因此我们取 （4.7） （4.8）将方程（4.5）式写成 （4.9）这样，对于n个光子入射的光束，（4.6）式给出的干涉图样的强度为 （4.10）第一项为狭缝1后面平均光子数，等于 （4.11）通过（5.7）（5.8）式代换，可求得 （4.12）同理可得 （4.13）最后一项为干涉项，它正比于 （4.14）由上式可知，整个强度表达式（4.10）式直接与入射光子数成正比。这样，用n个入射光子的干涉实验所观察到的强度分布也能用一系列每次以一个光子通过干涉仪的n个全同实验建立起来。杨氏干涉实验中，干涉出现从源到屏，通过两种不同路径的几率幅之间，这两种路径分别对应两个狭缝。在第二个
22、屏上的强度与两几率幅之和的模平方成正比。这种解释与经典解释原理一致。4.2一级量子相干度 杨氏干涉实验条纹强度的量子力学表达式（4.6）与相应的经典表达式（3.22）式非常相似。也引进量子力学一级相干度。通过与经典表达式（3.29）的类比，定义一级量子相干度为 （4.12）如果已知密度算符，多模统计混合的一级相干度很容易由上式确定。考虑一种情形，密度算符为 （4.13）仅限于和z轴平行的波矢，可求得一级相干度为 （4.14）如果光束具有伦伦兹型频率分布（1.12），考虑到量正比于光束在频率处的强度，因此我们可以写出 （4.15）将（4.14）式转变为对k的积分 （4.16）式中L是z方向光腔长
23、度，这样，一级相干度（4.14）就变成 （4.17）对于频率分布很窄的光束，积分下限可用代替，而不会显著改变积分值。于是该积分可用简单的回路积分算出，结果为 （4.18）这一表达式与经典结果（3.13）相同 这种计算可以毫无困难地推广到洛伦兹型分布的混沌光。这些结果表明，多模激发情况下，量子理论可以得到与经典理论一致的结论。4.3二级量子相干度由于光束量子态的各种可能性，一级相干性实验的经典和量子预言之间的差异往往难以觉察，更显著的差异发生在二级相干度的测量中。二级量子相干度可以类似于经典形式（3.38）式 （4.19）我们先来考虑下单模情况，将（4.3）式和（4.4）式代入上式，则二级相干度
24、可以有很大的简化 （4.20）利用产生算符和湮灭算符性质 （4.21） （4.22）可算出 （4.23）可以看到对于不同的单模激发，二级相干度去不同的值，这和一级相干性不同。对于多模激发，需要用更普遍的定义（4.19）。我们考虑一中多模混沌光束，其密度算符也由（4.13）式给出，则我们可以算出 （4.24）由此可见，混沌光的量子力学二级相干度与经典表达式（3.43）式相同。5.结束语混沌光源作为实验室中最常见的光源，它的强度相位具有随机性，因此通过研究它的干涉性质，我们加深对混沌关的认识，也更容易对波动光学理论的基础进行理解和掌握。本文前半部分为经典干涉理论，后半部分为量子理论，经典理论的有点
25、在于它有时能用易于想象的经典模型进行处理，且常常与全量子力学计算的结果相同。而量子力学理论虽然计算较为复杂，但它有比经典理论更为广泛的适用范围。通过将两种理论进行比较，我们可以更进一步了解光的干涉理论。参考文献：1张宝志.混沌光光的杨氏干涉条纹J. 哈尔滨工业大学学版社报，2006,11（38）：20032005.2孔艳，朱益清，朱拓.时间相干性的进一步精确描述J.江南大学学报（自然科学版），2003,10（4）：421426.3梁铨廷.物理光学M.北京：电子工业出版社，2008:375184.4姚启均.光学教程M.北京：高等教育出版社，2008：7278.5R.loudon.于良 等译.光的量子理论M.北京：高等教育出版社，1992:92257.6夏学江.光的干涉及其应用M.北京：高等教育出版社，1983:118.7邹邦银.热力学与分子物理学M.武汉：华中师范大学出版社，2005:181184.8羊国光，宋菲君.高等物理光学M.合肥：中国科技大学出版社，2008:168184.