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1、初等数论与中学数学知识间联系的研究 摘要：有人曾说在初等数学中再也没有比数论更好的课程了，确实，数论作为研究数的规律特别是整数规律的一门学科，虽然基础但是意义重大，中学数学中也有涉及到很多初等数论的知识，形式简单，意义明确，但是题型千姿百态，解题方法也多种多样，本文将对中学中涉及到的初等数论的部分知识即整除问题、余数问题及数的性质问题加以整理并以例题的形式给出其简单应用，便于今后学习。关键词：初等数论；中学数学；整除；余数；性质Research About the Connection of Elementary Number Theory and Mathematics of Middle
2、School xxxSchool of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, ChinaAbstract: It was told that There is no course better than the elementary number theory, Exactly, number theory is a Discipline of researching the rules of date Especially integer, it is fundamental but signi
3、ficant the education of middle school is almost involved the knowledge of elementary number theory. It is easy and clear, but the type of questions and the ways of solve the problems are quiet a lot , in This article we will arrange and solve the questions about dividing exactly or not and the natur
4、e of the integer ,By the way ,a great deal of examples are necessary of course for we learning in the future .Key words: Elementary Number Theory; Mathematics of middle school; Dividing exactly; Remainder; properties从小学到现在，我们学过的基本学科也不少了，语文、数学、外语、历史、地理、生物几乎从一开始进入学校就伴随着我们，这些年我们一直在研究新课改，对于取消某些学科的声音此起彼伏
5、，其实我认为学习这些每一门学科都很有必要性，因为它们时时存在于生活又应用于生活，数学当然也不例外。生活中时时刻刻有数学的影子，比如我们买东西要计算单价，然后计算买东西的数量，最后用单价乘以数量算出总价，总价即你需要给老板的钱；再比如设计建筑要计算其长宽高，计算其体积以便于寻找合适的地基；比如工业生产所需材料的多少等等都离不开数字的计算。当然数学在生活中的应用远不止这些简单的计算问题，科学技术是第一生产力，数学在更高端的科技应用方面更有不可估量的作用，它的丰富性对称性和高度的抽象性使得它比其它学科更具有魅力。在前人的肩膀上，数学研究产生了很多历史性的成果，逐渐诞生了很多分支。我们知道古代宫廷是有
6、等级制的，类比一下如果数学是宫廷里面的皇上，那么由数学而产生的其他各个分支应该各司其职，那么“皇后”这个职位当之无愧就非数论莫属了。数学的一个分支初等数论便也随之诞生了，初等数论顾名思义是以初级的数字为研究对象的一门学科了，那为什么叫初等数论呢，因为在它之上还有数论这样一个“始祖”同样的数论也是研究数的规律，两者区别就在于初等数论研究的是数字中最简单最基础的整数，而整数对于我们来说是最熟悉不过的了，可以说从出生开始就无时无刻不在用它，但是它看似简单却大有内容。数论的主要研究方法就是算术方法，当然里面也涉及到数学的很多其它思想比如转化思想，整体思想，归纳思想等等。为什么要研究初等数论与中学数学知
7、识间的联系呢？这要从数论的内容说起，初等数论作为大学学习的专业学科，是有原因的。其一，数论研究的就是整数的一些性质和规律，而我们学习数学无非就是学习以数字为基础的知识，所以数论应该是我们学习一切数学及其他学科知识的基础。其二，从小学到高中所学知识虽然也很详细，但是没有专门的研究过他们中间一些性质的联系，所以很有必要进行整合一些知识，以便我们能在今后的学习中能对数有个清晰的思路及脉络，做到“知其然并知其所以然”。初等数论研究的理论基础是什么呢，在小学最先学习的整数的运算无非就是加减乘除，在学习了复数之后我们知道加减等价，乘除等价，而乘除似乎又比加减相对来说复杂一点，所以研究数论首先从整数的运算之
8、一除法入手，而两数相除又分为整除与非整除，故初等数论以整除理论为基础进行研究数字规律。整数之间能否整除这个问题毫无疑问我们已经会判断，有时候我们需要判断几个分式的和能否整除一个整数，这样直接求比较困难，所以最常用的方法是将其转化为整除问题。1. 初等数论中涉及到的整除问题1.1 整除的相关概念及性质 整除：设是给定的数，且，若整数，使则称整除，记作，此时称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数。带余除法：任给，若有满足条件，和分别叫做除以的商与余数。一般地，时，那么被整除记为，此称是的倍数，是的约数。最小公倍数：的最小公倍数的意思就是能被其中每一个所整除的最小正整数，记。最大公约数：且中不能全部
9、为0，那么个数的最大公约数就是能整除的最大正整数，记。定理1：对任意的正整数，有。定义：对于整数，且，若，则称关于模同余，则记为。定理2：(整除的性质)设整数为非零整数，若，则；若，则；(1)若，则对任意整数，有；(2) 若且，则；(3) 若，且，则；(4) 若为素数，且，则或。定理3：设为整数，为正整数，则若，则；若，则；若，则。应用：任給，(），则，使得。1.2 整除问题的一些典型例题例1：证明，这里。分析一：由整除所学知识，必能整除连续个整数相乘的积，而题目刚好是三个数，如果能证得它们连续的话刚好可以被整除，但是仔细观察并非如此，可以考虑分解因式，然后再用分配律，即可。 证明： 命题得证
10、。思路二:看到，不妨回忆一下我们高中以前学过的平方数列，即如下，然后变换一下形式便可以得到证明思路。 证明： 则 即3 而 则 即得证。思路三：利用数学归纳法，思路比较单一，在此不做赘述。数论的知识比较灵活，与以前学过的知识有密切的联系，故解题方法很多，可举一反三，例2即如此。 例2：证明是整数，这里。 分析：此题一看感觉不是一个整除问题，但是将整个式子进行变形之后便会有所察觉=，整个题就转变成证明能否整除6的问题。 = = 且又 23=6，6|是整数，即是整数，得证。若是正整数，则；若是正奇数，则；下面例3便是对该公式的直接应用： 例3：已知，求证：。 证明：因为若，则；若，则； ，所以；
11、，所以； ，所以； 又且，所以。2. 关于余数的概念及一些例题2.1 同余的相关概念两个整数相除可以分为整除和非整除即余数为0和余数不为0两种，那么两整数相除就有余数相同和余数不相同的情况，同余的概念就在此种情况下诞生。同余顾名思义即余数相同，那么两个整数与同时除以一个整数，若所得余数相同则与是不是就是同余呢，答案当然也是正确的，此时我们记作，既然与除以的余数相同，根据小学所学知识是不是有与的差就能被整除呢，即，事实上结论的正确性毋庸置疑。我们不妨举几个简单的例子，13除以2的余数是1,17除以2的余数也是1.那么就有，而17-13=4，而2|4。即得到结论：，在此注意等价转化思想的应用。对于
12、同余的一些性质，常用的有下面几个，设，是整数，则传递性：且，则有。可加性：且，则有。可乘性：且，则有。对于以上几条性质的理解，举几个比较简单的例子即可很好的理解。例如，则有其乘积，差，和，经验可知完全符合上述规律，同样也可以用这种举例的方法来加深记忆。同样地，整数也可以按模来分类，比如模为5情况下，可以将整数分成5类：0(mod5)：0，5，10，15，251(mod5)：1，6, 11，16，262(mod5)：2，7，12，17，27，3(mod5)：3，8，13，18，28，4(mod5)：4，9，14，19，29，2.2 同余问题的一些典型例题 例1：求除以7的余数。 分析：本题主要考
13、察同余的可乘性。 解：余4，余3，则，所以除以7的余数是12除以7的余数即为5。 例2：求除以6的余数。 分析：如果算出结果以后，再除以6，即的结果算出来为1427564，除以6之后余数为2，遇到比较大的数字这种方法就行不通了，那么有没有更好更简单的方法呢，下面我们就用同余的方法解决这个问题： 解： 5264(mod6 )，1184(mod6 )，235 (mod6） 52611844(mod6）2(mod6）又5261182325(mod6）4(mod6） 即52611823不能被6整除，余数为4。 例3：试判断除以3的余数。分析：这种题型和上面两种例子就有所不同，第一，涉及到的计算均为数字
14、，其二，数字有涉及到幂，相对来说结果比较大，所以直接算的话很麻烦，所以我们可以考虑应用整除的性质解题。解： ， ， 被3除的余数为2。3. 数的属性及其在证明题中的应用3.1 数的相关概念基本定义：奇数、偶数、素数、合数、最大、最小公约数和完全平方数。(1)奇数和偶数偶数：凡是可以被2整除的数称为偶数，任一偶数可表为 (Z）。奇数：凡是不可以被2整除的数称为偶数，任一奇数可表为或(Z）。奇、偶数具有如下性质，总结起来就一句话：“加减同偶异奇，乘除同同异偶”。奇数之和差为偶数，偶数之和差也为偶数，一奇一偶之和差则为奇数；偶数乘偶数之积为偶数，奇数乘奇数之积为奇数，奇数乘偶数之积为偶数。若是整数，
15、则与有奇偶性相同；若、是整数，则与奇偶性相同。 (2)素数和合数素数：素数的概念是针对大于1的整数来说的，即若一个整数只有1和它本身两个约数，则该整数为素数。若与均为素数，很显然有(，)=1，此时称与互素，例如7除了1和7之外没有其它约数，故7为素数。3，5，7，11.等等均为素数。合数：合数也是针对大于1的整数来说的，与素数不同的是，合数需要有除了1的它本身之外的约数。例如：4除了1和4还有2，故4为合数。6，8，9，12等等均为合数。(3)平方数若，则就是一个完全平方数。如，观察可知，完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。这是我们在学习整数的时候的一些基础知识，在数论证明中也有广
16、泛的应用。3.2 判断一些数的属性的例题及方法例1：若两个质数的和等于，求这两个质数的积？分析：首先是个奇数，由奇数与偶数的性质可知，这两个数一奇一偶。而由题意可知，满足条件的一个数只有2，所以这两个数是2和.乘积为。看似简单的一道题，非常巧妙地融合了奇偶数、合质数的性质，知识点虽然基本，但不仅考验学生掌握的熟悉程度，还考验他们思维的灵敏度，本题是“用青菜萝卜做出的一道佳品”。 例2：证明和互素，即为最简分数，。 分析：要证明分数为最简分数，实际上只要证明与互素即可。 证明1：(反证法）假若可约，则存在d1，使 (，)=d，那么，使得(，)=1，有 得， 矛盾，故为最简分数。 分析：事实上，本
17、题目除了反证法之外，还有一个直接的正面证法。 证明2：设 (，)=d，若，使得(，)=1，则有 消去，得 得 ，由， (，)=1 (，) =(,14m+3) =(，1) . 例3：设正整数满足。证明：不是素数。证明：由于，则设，其中，则为了方便起见，可以设 (p与q不等） 则有： 故所以不是素数，为合数。例4：设是的任意一种排列，证明：若，则的乘积结果是偶数。解法1：(反证法)假设为奇数，则由奇数偶数的性质得均为奇数，因为只有奇数个奇数的和才是奇数，则 奇数= = =0这与“奇数偶数”矛盾。所以是偶数。另解：假设为奇数，则均为奇数与k的奇偶性相反。举个简单的例子，1，2，3，4，5，6，7无论
18、怎么两两配对，都有最后一对奇偶性是相同的，翻译一下即为n必须为偶数。但与题目矛盾，所以假设不成立，故所求的是偶数。本题很好地体现了用反证法解题的优势。例5：是整数是它们任意一个的一个排列，证明下面式子是偶数。证明：(反证法）假设为奇数，则由奇偶数的性质可得为奇数，9个奇数的和仍为奇数，则 奇数= = =0 但是奇数不为0，矛盾，所以假设不成立。当然此题还有第二种方法，在此省略。 上述两道例题都用了一个方法叫奇偶分析法，奇偶分偶法就是用奇数和偶数来分析问题的一种方法，我们都知道整数可以分为两类奇数与偶数。数学中遇到奇数与偶数的问题是如果用其它方法无法解答可以考虑奇偶分析法。一般情况下题目都有所暗
19、示，比如像本题奇数偶数之类的字眼便是线索。例6：证明若正整数满足，则和都是完全平方数。证明： 由， 得，即故只需要证明，下证： 设，则根据带最大公因数性质得，因为，所以又。又，则。所以，故得证。故和互质，所以和都是完全平方数。仔细分析发现该题应用了因式分解法，何为因式分解？因式分解就是为了解题需要把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也就是我们平时所说的分解因式。在初中涉及多项式知识的时候我们就大概学习过因式分解，当时主要介绍了提公因式法和公式法。还有十字相乘法在初中和高中的解题中有很广泛的应用，尤其是在学习了二次函数及高次函数以及后来的求导的知识后发现十字相乘
20、法的作用之大，与二次函数的求根公式以及引申出来的韦达定理经常完美结合。所以因式分解的灵活应用一定要注意。研究结论： 上述几道例题分别从整除问题，同余问题以及数的性质问题进行了分类举例，并给出了解题方法，从中我们可以看出用初等数论的知识完全可以解决我们高中所学习的一些常见问题，方法多样，类型多样。纵观上面例题，我们分别用了奇偶分析法，转化法，整体法，分解因式法等等数学中重要的思想方法，值得留意。对于这些典型的例题，只要掌握了方法其实也是很简单的，所以初等数论和高中知识的融会贯通需要我们以后多多总结学习，在此只是粗略的选了几个知识点加以分析整理和解答。参考文献：1 闵嗣鹤,严士健.初等数论.第3版
21、.北京:高等教育出版社，2003.2 张奠宙，宋乃庆. 数学教育概论.高等教育出版社，2004年10月第一版.3 张文鹏.初等数论M.西安：陕西师范大学出版社,2007.4 朱思良.整数的性质.上海教育出版社.1958.5 罗增儒.数学竞赛导论M西安：陕西师范大学出版社，2001.6 张昌铨.西南师范学院.初等数论基础知识选介及题例(上）J.数学教学通讯.1984年04期.致谢：在整个论文的撰写过程中，经过对相关资料和文献的解读借用，再加上李嘉老师在我论文撰写过程中不断地指导并提出宝贵的意见，才让我的论文得以顺利完成。我在这里向李嘉老师表示真诚的感谢，同时也感谢同组同学的真诚的交流和热心地帮助。 第 11 页 共 11 页