高中立体几何模拟题(附答案).doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中立体几何模拟题(附答案)2017年03月25日1879804507的高中数学组卷高中立体几何模拟题一选择题（共9小题）1在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z）； 点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，y，z）； 点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z）； 点P关于原点对称的点的坐标

2、是P4（x，y，z）A3B2C1D02空间四边形ABCD中，若向量=（3，5，2），=（7，1，4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A（2，3，3）B（2，3，3）C（5，2，1）D（5，2，1）3设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k=（）A2B4C2D44已知=（3，2，3），=（1，x1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A（2，+）B（2，）（，+）C（，2）D（，+）5若=（1，2），=（2，1，1），与的夹角为60，则的值为（）A17或1B17或1C1D16设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（1，1，2），则下列向量中是平面的法向量

3、的是（）A（1，2，5）B（1，1，1）C（1，1，1）D（1，1，1）7若=（1，2，2）是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是（）A（1，2，0）B（0，2，2）C（2，4，4）D（2，4，4）8如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）ABCD9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）ABCD二填空题（共3小题）10设平面的一个法向量为=（1，2，2），平面的一个法向量为=（2，4，k），若，则k=11

4、在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是12如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AB=BC=AA1，ABC=90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是三解答题（共18小题）13如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，ADFE，AFE=60，且平面ABCD平面ADEF，AF=FE=AB=2，点G为AC的中点（）求证：EG平面ABF；（）求三棱锥BAEG的体积；（）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由14如图，已知正三棱柱ABCA

5、1B1C1中，D是BC的中点（1）求证：平面AB1D平面B1BCC1；（2）求证：A1C平面AB1D15如图，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的ABD折起，使BDC=90（）证明：平面ADB平面BDC；（）设BD=1，求三棱锥DABC的表面积16三棱锥SABC中，SAAB，SAAC，ACBC且AC=2，BC=，SB=（1）证明：SCBC；（2）求三棱锥的体积VSABC17如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点 求证：（1）PA平面BDE；（2）BD平面PAC18如图，在四棱锥VABCD中底面ABCD是正方形，侧面VA

6、D是正三角形，平面VAD底面ABCD（1）证明：AB平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值19如图，在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2（）证明：直线CE平面PAB；（）求三棱锥EPAC的体积20如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点（）求证：FG平面PBD；（）求证：BDFG21如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ACAB，AC=AA1=1，AB=2，P为线段AB上的动点（I）求证：CA1C

7、1P；（II）若四面体PAB1C1的体积为，求二面角C1PB1A1的余弦值22已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离23如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点（）求证：PBDM；（）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值24在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBCBC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点（1）求证：AB平面DEG；

8、（2）求证：BDEG；（3）求二面角CDFE的正弦值25如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1M是棱SB的中点（）求证：AM面SCD；（）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求sin的最大值26如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，ABC=（1）证明：ABA1C；（2）求二面角AA1CB的正弦值27如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，Q为AD的中点（1）若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD；

9、（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA平面MQB；（3）在（2）的条件下，若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角MBQC的大小28如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB1=60，ABB1C（I）求证：平面AA1B1B平面BB1C1C；（II）求二面角BACA1的余弦值29在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，CDA=120，点N在线段PB上，且PN=（）求证：BDPC；（）求证：MN平面PDC；（）求二面角APCB的余弦值30如图，平

10、面ABCD平面PAD，APD是直角三角形，APD=90，四边形ABCD是直角梯形，其中BCAD，BAD=90，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点（）求证：EF平面PBO；（）求二面角APFE的正切值2017年03月25日1879804507的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1（2016春孝感期末）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是（）点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，y，z）； 点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，y，z）； 点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，y，z）； 点P关于原点对称

11、的点的坐标是P4（x，y，z）A3B2C1D0【解答】解：P关于x轴的对称点为P1（x，y，z）；关于yOz平面的对称点为P2（x，y，z）；关于y轴的对称点为P3（x，y，z）；点P关于原点对称的点的坐标是P4（x，y，z）故错误故选C2（2015秋石家庄校级期末）空间四边形ABCD中，若向量=（3，5，2），=（7，1，4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A（2，3，3）B（2，3，3）C（5，2，1）D（5，2，1）【解答】解：点E，F分别为线段BC，AD的中点，=，=（3，5，2）+（7，1，4）=（2，3，3）故选：B3（2015邹城市校级模拟）设平面的一个法向量为

12、，平面的一个法向量为，若，则k=（）A2B4C2D4【解答】解：平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，由题意可得，k=4故选：D4（2014秋越城区校级期末）已知=（3，2，3），=（1，x1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A（2，+）B（2，）（，+）C（，2）D（，+）【解答】解：与 的夹角为钝角，cos，0且 与 不共线0且（3，2，3）（1，x1，1）32（x1）30且xx的取值范围是（2，）（，+）故选B5（2014秋从化市校级期末）若=（1，2），=（2，1，1），与的夹角为60，则的值为（）A17或1B17或1C1D1【解答】解：，cos60=，化为2+1617=

13、0，解得=17或1故选B6（2015春济南校级期中）设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）A（1，2，5）B（1，1，1）C（1，1，1）D（1，1，1）【解答】解：（1，1，1）（1，2，1）=1+21=0，（1，1，1）（1，1，2）=1+12=0，向量（1，11）是此平面的法向量故选B7（2016秋兴庆区校级期末）若=（1，2，2）是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是（）A（1，2，0）B（0，2，2）C（2，4，4）D（2，4，4）【解答】解：（2，4，4）=2（1，2，2），向量（2，4，4）与平面的一个法向量平行

14、，它也是此平面的法向量故选C8（2015株洲一模）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）ABCD【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）=（2，0，1），=（2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量cos，=BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D9（2015广西模拟）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AC=2，BC=，D，E分别是AC1和BB1的

15、中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为（）ABCD【解答】解：取AC的中点为F，连接BF、DF因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1BB1，又因为DF是三角形ACC1的中位线，故DF=CC1=BB1=BE，故四边形BEDF是平行四边形，所以EDBF过点F作FG垂直与BC交BC与点G，由题意得FBG即为所求的角因为AB=1，AC=2，BC=，所以ABC=，BCA=，直角三角形斜边中线BF是斜边AC的一半，故BF=AC=CF，所以FBG=BCA=故选A二填空题（共3小题）10（2016秋碑林区校级期末）设平面的一个法向量为=（1，2，2），平面的一个法向量为=（2，4，k），若，则k=4

16、【解答】解：，存在实数使得，解得k=4故答案为：411（2009安徽）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是（0，1，0）【解答】解：设M（0，y，0）由12+y2+4=1+（y+3）2+1可得y=1故M（0，1，0）故答案为：（0，1，0）12（2016秋临沂期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AB=BC=AA1，ABC=90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系由于AB=BC=AA1，不妨取AB=2，则E（0，1，0），F

17、（0，0，1），C1（2，0，2）=（0，1，1），=（2，0，2）=异面直线EF和BC1的夹角为故答案为：三解答题（共18小题）13（2015重庆校级模拟）如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，ADFE，AFE=60，且平面ABCD平面ADEF，AF=FE=AB=2，点G为AC的中点（）求证：EG平面ABF；（）求三棱锥BAEG的体积；（）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由【解答】（I）证明：取AB中点M，连FM，GMG为对角线AC的中点，GMAD，且GM=AD，又FEAD，GMFE且GM=FE四边形GMFE为平行四边形，即EGFM又EG平

18、面ABF，FM平面ABF，EG平面ABF（4分）（）解：作ENAD，垂足为N，由平面ABCD平面AFED，面ABCD面AFED=AD，得EN平面ABCD，即EN为三棱锥EABG的高在AEF中，AF=FE，AFE=60，AEF是正三角形AEF=60，由EFAD知EAD=60，EN=AEsin60=三棱锥BAEG的体积为（8分）（）解：平面BAE平面DCE证明如下：四边形ABCD为矩形，且平面ABCD平面AFED，CD平面AFED，CDAE四边形AFED为梯形，FEAD，且AFE=60，FAD=120又在AED中，EA=2，AD=4，EAD=60，由余弦定理，得ED=EA2+ED2=AD2，EDA

19、E又EDCD=D，AE平面DCE，又AE面BAE，平面BAE平面DCE （12分）14（2014南昌模拟）如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点（1）求证：平面AB1D平面B1BCC1；（2）求证：A1C平面AB1D【解答】证明：（1）因为B1B平面ABC，AD平面ABC，所以ADB1B （2分）因为D为正ABC中BC的中点，所以ADBD （2分）又B1BBC=B，所以AD平面B1BCC1 （4分）又AD平面AB1D，故平面AB1D平面B1BCC1 （6分）（2）连接A1B，交AB1于E，连DE （7分）因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点 （8分）又D

20、为BC的中点，所以DE为A1BC的中位线，所以DEA1C （10分）又DE平面AB1D，所以A1C平面AB1D （12分）15（2011陕西）如图，在ABC中，ABC=45，BAC=90，AD是BC上的高，沿AD把是BC上的ABD折起，使BDC=90（）证明：平面ADB平面BDC；（）设BD=1，求三棱锥DABC的表面积【解答】解：（）折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDC=D，AD平面BDC，AD平面ABD平面ADB平面BDC（）由（）知，DADB，DBDC，DCDA，DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=，从而所以三棱锥DABC的表面积为：16（2016

21、徐汇区一模）三棱锥SABC中，SAAB，SAAC，ACBC且AC=2，BC=，SB=（1）证明：SCBC；（2）求三棱锥的体积VSABC【解答】解：（1）SAAB SAAC ABAC=ASA平面ABC，AC为SC在平面ABC内的射影，又BCAC，由三垂线定理得：SCBC（2）在ABC中，ACBC，AC=2，BC=，AB=，SAAB，SAB为Rt，SB=，SA=2，SA平面ABC，SA为棱锥的高，VSABC=ACBCSA=2=17（2016秋咸阳期末）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点 求证：（1）PA平面BDE；（2）BD平面PAC【解答】证明（1）连接

22、OE，在CAP中，CO=OA，CE=EP，PAEO，又PA平面BDE，EO平面BDE，PA平面BDE（2）PO底面ABCD，BD平面ABCD，BDPO又四边形ABCD是正方形，BDACACPO=O，AC，PO平面PACBD平面PAC18（2014嘉定区校级二模）如图，在四棱锥VABCD中底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（1）证明：AB平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值【解答】证明：（1）平面VAD平面ABCD，ABAD，AB平面ABCD，平面VAD平面ABCD=AD，AB面VAD（2）取VD中点E，连接AE，BE，VAD是正三角形，A

23、B面VAD，AE，VD平面VADABVD，ABAEAEVD，ABVD，ABAE=A，且AB，AE平面ABE，DVD平面ABE，BE平面ABE，BEVD，AEB即为所求的二面角的平面角在RTABE中，cosAEB=19（2012河南模拟）如图，在四棱锥PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E为PD的中点，AB=1，PA=2（）证明：直线CE平面PAB；（）求三棱锥EPAC的体积【解答】解：（1）取AD中点F，连接EF、CFPAD中，EF是中位线，可得EFPAEF平面PAB，PA平面PAB，EF平面PABRtABC中，AB=1，BAC=60，AC=2又RtAC

24、D中，CAD=60，AD=4，结合F为AD中点，得ACF是等边三角形ACF=BAC=60，可得CFABCF平面PAB，AB平面PAB，CF平面PABEF、CF是平面CEF内的相交直线，平面CEF平面PABCE面CEF，CE平面PAB（2）PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD又ACCD，PA、AC是平面PAC内的相交直线CD平面PACCD平面DPC，平面DPC平面PAC过E点作EHPC于H，由面面垂直的性质定理，得EH平面PACEHCDRtACD中，AC=2，AD=4，ACD=90，所以CD=2E是CD中点，EHCD，EH=CD=PAAC，SRtPAC=2因此，三棱锥EPAC的体积V=S

25、PACEH=20（2016春哈尔滨校级月考）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，BD交AC于点E，F是线段PC中点，G为线段EC中点（）求证：FG平面PBD；（）求证：BDFG【解答】证明：（）连接PE，G、F为EC和PC的中点，FGPE，FG平面PBD，PE平面PBD，FG平面PBD（6分）（）菱形ABCD，BDAC，又PA面ABCD，BD平面ABCD，BDPA，PA平面PAC，AC平面PAC，且PAAC=A，BD平面PAC，FG平面PAC，BDFG（14分）21（2009丹东二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ACAB，AC=AA1=

26、1，AB=2，P为线段AB上的动点（I）求证：CA1C1P；（II）若四面体PAB1C1的体积为，求二面角C1PB1A1的余弦值【解答】（I）证明：连接AC1，侧棱AA1底面ABC，AA1AB，又ABACAB平面A1ACC1又CA1平面A1ACC1，ABCA1（2分）AC=AA1=1，四边形A1ACC1为正方形，AC1CA1AC1AB=A，CA1平面AC1B（4分）又C1P平面AC1B，CA1C1P （6分）（II）解：ACAB，AA1AC，且C1A1平面ABB1A，BB1AB，由，知=，解得PA=1，P是AB的中点（8分）连接A1P，则PB1A1P，C1A1平面A1B1BA，PB1C1A1，

27、PB1C1P，C1PA1是二面角的平面角，（10分）在直角三角形C1PA1中，即二面角的余弦值是22（2003天津）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离【解答】解：（1）取BD中点M连接MC，FMF为BD1中点，FMD1D且FM=D1D又ECCC1且ECMC，四边形EFMC是矩形EFCC1又FM面DBD1EF面DBD1BD1面DBD1EFBD1故EF为BD1与CC1的公垂线（）解：连接ED1，有VEDBD1=VD1DBE由（）知EF面DBD1，设点D1到面BDE的距离为

28、d则AA1=2，AB=1，故点D1到平面DBE的距离为23（2013广州三模）如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面ABCD，PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点（）求证：PBDM；（）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值【解答】（本题满分13分）解：（）解法1：N是PB的中点，PA=AB，ANPBPA平面ABCD，所以ADPA又ADAB，PAAB=A，AD平面PAB，ADPB又ADAN=A，PB平面ADMNDM平面ADMN，PBDM （6分）解法2：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz，设BC=1，可得，A（0，0，0），P（

29、0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0）因为 ，所以PBDM （6分）（）解法1：取AD中点Q，连接BQ和NQ，则BQDC，又PB平面ADMN，CD与平面ADMN所成的角为BQN设BC=1，在RtBQN中，则，故所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为 （13分）解法2：因为所以 PBAD，又PBDM，所以PB平面ADMN，因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角因为 所以CD与平面ADMN所成的角的正弦值为 （13分）24（2014烟台二模）在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBCBC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点（

30、1）求证：AB平面DEG；（2）求证：BDEG；（3）求二面角CDFE的正弦值【解答】（1）证明：ADEF，EFBC，ADBC，BC=2AD，G为BC的中点，ADBG，且AD=BG，四边形ABCD是平行四边形，ABDG因为AB不在平面DEG中，DG在平面DEG内，AB平面DEG（2）证明：EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE，AEEB，EB、EF、EA两两垂直以点E为坐标原点，EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，由已知得：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），G（2，2，0），BDEG（

31、3）解：由已知得是平面EFDA的法向量，设平面DCF的法向量为，令z=1，得x=1，y=2，即设二面角CDFE的大小为，则，二面角CDFE的正弦值为25（2015漳州模拟）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1M是棱SB的中点（）求证：AM面SCD；（）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；（）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求sin的最大值【解答】解：（）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，

32、1）则，设平面SCD的法向量是，则，即令z=1，则x=2，y=1于是，又AM平面SCD，AM平面SCD（）易知平面SAB的法向量为设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，则=，即平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为（）设N（x，2x2，0），则=当，即时，26（2011琼海一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，ABC=（1）证明：ABA1C；（2）求二面角AA1CB的正弦值【解答】解：（1）证明：在ABC中，由正弦定理可求得ABAC以A为原点，分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图则A（0，0，0）B（2，0，0）即ABA1C（

33、2）由（1）知设二面角AA1CB的平面角为，=27（2012日照二模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=60，Q为AD的中点（1）若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA平面MQB；（3）在（2）的条件下，若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角MBQC的大小【解答】（1）证明：连BD，四边形ABCD菱形，BAD=60，ABD为正三角形，Q为AD中点，ADBQPA=PD，Q为AD的中点，ADPQ又BQPQ=Q，AD平面PQB，AD平面PAD平面PQB平面PAD；（2）当t=时，使得PA平面MQB

34、，连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，则O为BD的中点，又BQ为ABD边AD上中线，N为正三角形ABD的中心，令菱形ABCD的边长为a，则AN=a，AC=aPA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQB=MNPAMN=即：PM=PC，t=；（3）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQAD，又平面PAD平面ABCD，所以PQ平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，0），Q（0，0，0），P（0，0，）设平面MQB的法向量为，可得，而PAMN，y=0，x=取平面ABCD的法向量cos

35、=二面角MBQC的大小为6028（2015玉山县校级模拟）如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，CBB1=60，ABB1C（I）求证：平面AA1B1B平面BB1C1C；（II）求二面角BACA1的余弦值【解答】证明：（）由侧面AA1B1B为正方形，知ABBB1又ABB1C，BB1B1C=B1，AB平面BB1C1C，又AB平面AA1B1B，平面AA1B1BBB1C1C（）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则COBB1由（）知，CO平面AB1B1A建立如图所示的坐标系Oxyz其中O是BB1的中点，OxAB，OB1为y轴，OC为z轴不妨设

36、AB=2，则A（2，1，0），B（0，1，0），C（0，0，），A1（2，1，0）=（2，0，0），=（2，1，），设=（x1，y1，z1）为面ABC的法向量，则=0，=0，即取z1=1，得=（0，1）设=（x2，y2，z2）为面ACA1的法向量，则=0，=0，即取x2=，得=（，0，2）所以cosn1，n2=因此二面角BACA1的余弦值为29（2016青岛一模）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，CDA=120，点N在线段PB上，且PN=（）求证：BDPC；（）求证：MN平面PDC；（）求二面角APCB的余弦值【解答】

37、证明：（I）ABC是正三角形，M是AC中点，BMAC，即BDAC又PA平面ABCD，PABD又PAAC=A，BD平面PACBDPC（）在正ABC中，BM=在ACD中，M为AC中点，DMAC，AD=CDADC=120，在等腰直角PAB中，PA=AB=4，PB=，MNPD又MN平面PDC，PD平面PDC，MN平面PDC（）BAD=BAC+CAD=90，ABAD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，B（4，0，0），C，P（0，0，4）由（）可知，为平面PAC的法向量，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令z=3，得x=3，则平面PBC的一个法向量为，设二面角APCB的

38、大小为，则所以二面角APCB余弦值为30（2012东港区校级模拟）如图，平面ABCD平面PAD，APD是直角三角形，APD=90，四边形ABCD是直角梯形，其中BCAD，BAD=90，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点（）求证：EF平面PBO；（）求二面角APFE的正切值【解答】解（）证明：取BP中点G，连EG，由E为PC中点故EG=BC，且EGBC又F为OD中点OF=BC=OD，且OFBCODEG与OF平行且相等，故四边形OFEG为平行四边形EFGO则EF面PBO（）连CO，OP，则BACO，又ABAD，面ABCD面APDCO面APD故面COP面APD过E作ENOP于N，则EN面APD过N作NHPF于H，连EH，则EHPF，故NHE为二面角APFE的平面角由于E为PC中点，故EN=CO=AB=1APD=90，AD=4，PD=2由O为AD的中点，故OD=2，又F为OD的中点，可知PFAD从而NHOD又N是DP的中点H为PF的中点NH=OF=tanNHE=2二面角APFE平面角的正切值为2-