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1、-立体几何高考题,模拟题带答案-第 19 页2014高考及模拟立体几何带答案一解答题（共17小题）1（2014山东）如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点（）求证：AP平面BEF；（）求证：BE平面PAC2（2014四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（）若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；（）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论3（2014湖北）在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面AB
2、CD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2（）求证：BE平面PAD；（）求证：BC平面PBD；（）设Q为侧棱PC上一点，试确定的值，使得二面角QBDP为454（2014江苏）如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5求证：（1）直线PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC5（2014黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点（1）求证：AF平面PCE；（2）求证：平面PCE平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积6（2014南海区模拟）
3、如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCD，ABAD，PAB和PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点（）求证：PO平面ABCD；（）求证：OE平面PDC；（）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值7（2014天津模拟）如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1平面ABCD，DD1=2（1）求证：B1B平面D1AC；（2）求证：平面D1AC平面B1BDD18（2013北京）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAADE和F分别是
4、CD和PC的中点，求证：（）PA底面ABCD；（）BE平面PAD；（）平面BEF平面PCD9（2013天津）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（）证明：EF平面A1CD；（）证明：平面A1CD平面A1ABB1；（）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值10（2013浙江）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，ABC=120，G为线段PC上的点（）证明：BD平面PAC；（）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（）若G满足PC面BGD，求的值11（2013湖南）
5、如图在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动（1）证明：ADC1E；（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积12（2012山东）如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CB=CD，ECBD（）求证：BE=DE；（）若BCD=120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC13（2012江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1
6、F平面ADE14（2011天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC=45，AD=AC=1，O为AC中点，PO平面ABCD，PO=2，M为PD中点（）证明：PB平面ACM；（）证明：AD平面PAC；（）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值15（2011北京）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60（）求证：BD平面PAC；（）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长16（2010深圳模拟）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是A
7、B、SC的中点（1）求证：EF平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角AEFD的大小17（2010重庆）如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB（1）求证：AB平面PCB；（2）求二面角CPAB的大小的余弦值2014年12月05日参考答案与试题解析一解答题（共17小题）1（2014山东）如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点（）求证：AP平面BEF；（）求证：BE平面PAC考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定菁优网版权所有专题：综合题；空间位置关系与距离分析：
8、（）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PAOF，从而可证AP平面BEF；（）证明BEAP、BEAC，即可证明BE平面PAC解答：证明：（）连接CE，则ADBC，BC=AD，E为线段AD的中点，四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设ACBE=O，连接OF，则O是AC的中点，F为线段PC的中点，PAOF，PA平面BEF，OF平面BEF，AP平面BEF；（）BCDE是平行四边形，BECD，AP平面PCD，CD平面PCD，APCD，BEAP，AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，四边形ABCE是菱形，BEAC，APAC=A，BE平面PAC点
9、评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键2（2014四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（）若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；（）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定菁优网版权所有专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）先证明AA1平面ABC，可得AA1BC，利用ACBC，可以证明直线BC平面ACC1A1；（）取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，证明四边形
10、MDEO为平行四边形即可解答：（）证明：四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，AA1AB，AA1AC，ABAC=A，AA1平面ABC，BC平面ABC，AA1BC，ACBC，AA1AC=A，直线BC平面ACC1A1；（）解：取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点，则O为AC1的中点连接MD，OE，则MDAC，MD=AC，OEAC，OE=AC，MDOE，MD=OE，连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，DEMO，DE平面A1MC，MO平面A1MC，DE平面A1MC，线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE平面A1MC点评：本题考查线面垂直的判定
11、与性质的运用，考查存在性问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题3（2014湖北）在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90，AB=AD=PD=1，CD=2（）求证：BE平面PAD；（）求证：BC平面PBD；（）设Q为侧棱PC上一点，试确定的值，使得二面角QBDP为45考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题菁优网版权所有专题：证明题分析：（）取PD的中点F，连接EF、AF，由中位线得性质和ABCD及AB=1证出四边形ABEF为平行四边形，则BEAF，根据线面平行的判定得BE平面
12、PAD；（）由平面PCD底面ABCD，PDCD证出PDAD，利用三条线相互垂直关系，建立直角坐标系，求出，即BCDB，再由PD平面ABCD，可得PDBC，即证BC平面PBD；（）利用（）建立的坐标系和结论，求出平面PBD的法向量，利用求出Q的坐标，再利用垂直关系求平面QBD的法向量的坐标，由两个法向量的数量积运算表示二面角的余弦值，化简后求出（0，1）的值解答：解：（）取PD的中点F，连接EF，AF，E为PC中点，EFCD，且，在梯形ABCD中，ABCD，AB=1，EFAB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，BEAF，BE平面PAD，AF平面PAD，BE平面PAD（4分）（）平面PCD底
13、面ABCD，PDCD，PD平面ABCD，PDAD（5分）如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）（6分），BCDB，（8分）又由PD平面ABCD，可得PDBC，BC平面PBD（9分）（）由（）知，平面PBD的法向量为，（10分），且（0，1）Q（0，2，1），（11分）设平面QBD的法向量为=（a，b，c），由，得，（12分），（13分）因（0，1），解得（14分）点评：本题用了几何法和向量法进行证明平行及垂直关系、求值，有中点时通常构造中位线证明线线平行，根据线面平行的判定定理转化到线面平行；向量法主要利用数量积为零证
14、明垂直，对待二面角、线面角问题用向量法要简单些，建立坐标系要利用几何体中的垂直条件4（2014江苏）如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PAAC，PA=6，BC=8，DF=5求证：（1）直线PA平面DEF；（2）平面BDE平面ABC考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定菁优网版权所有专题：证明题；空间位置关系与距离分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DEPA，从而得出PA平面DEF；（2）要证平面BDE平面ABC，只需证DE平面ABC，即证DEEF，且DEAC即可解答：证明：（1）D、E为PC、AC的中点，DEPA，又PA平面DEF，DE平
15、面DEF，PA平面DEF；（2）D、E为PC、AC的中点，DE=PA=3；又E、F为AC、AB的中点，EF=BC=4；DE2+EF2=DF2，DEF=90，DEEF；DEPA，PAAC，DEAC；ACEF=E，DE平面ABC；DE平面BDE，平面BDE平面ABC点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目5（2014黄山一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点（1）求证：AF平面PCE；（2）求证：平面PCE平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积考点：直线与平
16、面平行的判定；棱锥的结构特征；平面与平面垂直的判定菁优网版权所有专题：计算题；证明题分析：（1）设G为PC的中点，连接FG，EG，根据中位线定理得到FGCD，AECD，进而可得到AFGE，再由线面平行的判定定理可证明AF平面PCE，得证（2）根据PA=AD=2可得到AFPD，再由线面垂直的性质定理可得到PACD，然后由ADCD结合线面垂直的判定定理得到CD平面PAD，同样得到GE平面PCD，再由面面垂直的判定定理可得证（3）先由（2）可得知EG为四面体PEFC的高，进而求出SPCF，根据棱锥的体积公式可得到答案解答：解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，F为PD的中点，E为AB的中
17、点，FGCD，AECDFGAE，AFGEGE平面PEC，AF平面PCE；（2）证明：PA=AD=2，AFPD又PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，ADCD，PAAD=A，CD平面PAD，AF平面PAD，AFCDPDCD=D，AF平面PCD，GE平面PCD，GE平面PEC，平面PCE平面PCD；（3）由（2）知，GE平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GFCD，所以GFPD，EG=AF=，GF=CD=，SPCF=PDGF=2得四面体PEFC的体积V=SPCFEG=点评：本题主要考查线面垂直的判定定理和性质定理、面面垂直的判定定理考查对立体几何中基本定理的掌握程度和灵活运用能力6
18、（2014南海区模拟）如图，四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCD，ABAD，PAB和PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点（）求证：PO平面ABCD；（）求证：OE平面PDC；（）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角菁优网版权所有专题：证明题分析：（）由条件先证明四边形ABFD为正方形，由等腰三角形的性质证明POBD，由勾股定理求得POAO，从而证得PO平面ABCD（）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出 和 的坐标，由 可得 O
19、EPF，从而证得OE平面PDC （） 设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角，求出一个法向量为，又，可得 和 夹角的余弦值，即为直线CB与平面PDC所成角的正弦值解答：解：（）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=ABABAD，AB=AD，ABDC，四边形ABFD为正方形O为BD的中点，O为AF，BD的交点，PD=PB=2，POBD，.（2分）=，=，在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，POAO，（4分）AOBD=O，PO平面ABCD （5分）（）由（）知PO平面ABCD，又ABAD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直
20、角坐标系，如图所示：由已知得：A（1，1，0），B（1，1，0），D（1，1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），则，OEPF，OE平面PDC，PF平面PDC，OE平面PDC （9分）（） 设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角，则，即，解得，令z1=1，则平面PDC的一个法向量为，又，则，直线CB与平面PDC所成角的正弦值为（14分）点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，把CB和平面PDC所称的角的正弦值转化为CB和平面PDC的法向量夹角的余弦值，是解题的难点和关键7（2014天津模拟）如图，在四棱台ABCDA1B1C1D
21、1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1平面ABCD，DD1=2（1）求证：B1B平面D1AC；（2）求证：平面D1AC平面B1BDD1考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）设ACBD=E，连接D1E，根据平面ABCD平面A1B1C1D1的性质得B1D1BE，而B1D1=BE=，则四边形B1D1EB是平行四边形，从而B1BD1E，又因B1B平面D1AC，D1E平面D1AC，根据线面平行的判定定理可知B1B平面D1AC；（2）根据侧棱DD1平面ABCD，AC平面ABCD，得ACDD1而下底ABCD是正
22、方形则ACBD，根据DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，则AC平面B1BDD1，AC平面D1AC，根据面面垂直的判定定理可知平面D1AC平面B1BDD1解答：证明：（1）设ACBD=E，连接D1E，平面ABCD平面A1B1C1D1B1D1BE，B1D1=BE=，四边形B1D1EB是平行四边形，所以B1BD1E又因为B1B平面D1AC，D1E平面D1AC，所以B1B平面D1AC（2）证明：侧棱DD1平面ABCD，AC平面ABCD，ACDD1下底ABCD是正方形，ACBDDD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，AC平面B1BDD1AC平面D1AC，平面D1AC平面B1BDD1点
23、评：本题主要考查了直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理，同时考查了空间想象能力以及推理能力，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强8（2013北京）如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD=2AB，平面PAD底面ABCD，PAADE和F分别是CD和PC的中点，求证：（）PA底面ABCD；（）BE平面PAD；（）平面BEF平面PCD考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离分析：（）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD（）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BEAD，再利用直线和平面平
24、行的判定定理证得BE平面PAD（）先证明ABED为矩形，可得BECD 现证CD平面PAD，可得CDPD，再由三角形中位线的性质可得EFPD，从而证得 CDEF 结合利用直线和平面垂直的判定定理证得CD平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理证得平面BEF平面PCD解答：解：（）PAAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA平面ABCD（）ABCD，ABAD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BEAD又AD平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE平面PAD（）平行四边形ABED中，由ABAD可得，A
25、BED为矩形，故有BECD 由PA平面ABCD，可得PAAB，再由ABAD可得AB平面PAD，CD平面PAD，故有CDPD再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EFPD，CDEF 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD平面BEF由于CD平面PCD，平面BEF平面PCD点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题9（2013天津）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱A1A底面ABC，且各棱长均相等D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（）证明：EF平面A1CD；（）证明：平面A1CD平面A1ABB1
26、；（）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（I）连接ED，要证明EF平面平面A1CD，只需证明EFDA1即可；（II）欲证平面平面A1CD平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；（III）先过B作BGAD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG面A1CD，从而BCG为所求的角，最后在直角BGC中，求出sinBCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值解答：证明：（I）三棱柱AB
27、CA1B1C1中，ACA1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DEAC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点A1F=DE，A1FDE，所以A1DEF是平行四边形，所以EFDA1，DA1平面A1CD，EF平面A1CD，EF平面A1CD（II）D是AB的中点，CDAB，又AA1平面ABC，CD平面ABC，AA1CD，又AA1AB=A，CD面A1ABB1，又CD面A1CD，平面A1CD平面A1ABB1；（III）过B作BGA1D交A1D于G，平面A1CD平面A1ABB1，且平面A1CD平面A1ABB1=A1D，BGA1D，BG面A1CD，则BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由A1ADBGD，
28、得BG=，在直角BGC中，sinBCG=，直线BC与平面A1CD所成角的正弦值点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题10（2013浙江）如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，ABC=120，G为线段PC上的点（）证明：BD平面PAC；（）若G是PC的中点，求DG与PAC所成的角的正切值；（）若G满足PC面BGD，求的值考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）由PA面
29、ABCD，可得PABD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BDAC再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD面PAC（）由三角形的中位线性质以及条件证明DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tanDGO的值（）先证 PCOG，且 PC=由COGCAP，可得，解得GC的值，可得PG=PCGC 的值，从而求得 的值解答：解：（）证明：在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，PABD AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BDAC而PAAC
30、=A，BD面PAC（）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA面ABCD，可得GO面ABCD，GOOD，故OD平面PAC，故DGO为DG与平面PAC所成的角由题意可得，GO=PA=ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC22ABBCcosABC=4+4222cos120=12，AC=2，OC=直角三角形COD中，OD=2，直角三角形GOD中，tanDGO=（）若G满足PC面BGD，OG平面BGD，PCOG，且 PC=由COGCAP，可得，即 ，解得GC=，PG=PCGC=，=点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于
31、中档题11（2013湖南）如图在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动（1）证明：ADC1E；（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积考点：直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离分析：（1）根据直三棱柱的性质，得ADBB1，等腰ABC中利用“三线合一”证出ADBC，结合线面垂直判定定理，得AD平面BB1C1C，从而可得ADC1E；（2）根据ACA1C1，得到EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角由A1C1A1B1且A
32、1C1AA1，证出A1C1平面AA1B1B，从而在RtA1C1E中得到EC1A1=60，利用余弦的定义算出C1E=2A1C1=2，进而得到A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1A1B1E的体积解答：解：（1）直棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，AD平面ABC，ADBB1ABC中，AB=AC，D为BC中点，ADBC又BC、BB1平面BB1C1C，BCBB1=BAD平面BB1C1C，结合C1E平面BB1C1C，可得ADC1E；（2）直棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角BAC=B1A1C1=90，A1C1A1B
33、1，又AA1平面A1B1C1，可得A1C1AA1，结合A1B1AA1=A1，可得A1C1平面AA1B1B，A1E平面AA1B1B，A1C1A1E因此，RtA1C1E中，EC1A1=60，可得cosEC1A1=，得C1E=2A1C1=2又B1C1=2，B1E=2由此可得V=SA1C1=点评：本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题12（2012山东）如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CB=CD，ECBD（）求证：BE=DE；（）若BCD=120，M为线段AE
34、的中点，求证：DM平面BEC考点：直线与平面平行的判定菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）设BD中点为O，连接OC，OE，则COBD，CEBD，于是BD平面OCE，从而BDOE，即OE是BD的垂直平分线，问题解决；（2）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN平面BEC，DN平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN平面BEC，又DM平面DMN，于是DM平面BEC；证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，易证AB=AF，D为线段AF的中点，连接DM，则DMEF，由线面平行的判定定理即可证得结论解答：证明：（I）设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC=CD知，COBD，
35、又已知CEBD，ECCO=C，所以BD平面OCE所以BDOE，即OE是BD的垂直平分线，所以BE=DE（II）证法一：取AB中点N，连接MN，DN，M是AE的中点，MNBE，又MN平面BEC，BE平面BEC，MN平面BEC，ABD是等边三角形，BDN=30，又CB=CD，BCD=120，CBD=30，NDBC，又DN平面BEC，BC平面BEC，DN平面BEC，又MNDN=N，故平面DMN平面BEC，又DM平面DMN，DM平面BEC证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，CB=CD，BCD=120，CBD=30，ABD是等边三角形，BAD=60，ABC=90，因此AFB=30，AB=AF，又A
36、B=AD，D为线段AF的中点，连接DM，DMEF，又DM平面BEC，EF平面BEC，DM平面BEC点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题13（2012江苏）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且ADDE，F为B1C1的中点求证：（1）平面ADE平面BCC1B1；（2）直线A1F平面ADE考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）根据三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，得到CC1平面
37、ABC，从而ADCC1，结合已知条件ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD平面BCC1B1，从而平面ADE平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形A1B1C1中，A1FB1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F平面BCC1B1，结合AD平面BCC1B1，得到A1FAD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F平面ADE解答：解：（1）三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC，AD平面ABC，ADCC1又ADDE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线AD平面BCC1B1，AD平面ADE平面ADE平面BCC1B1；（2）A1B1C1中，A1B1=A1C1
38、，F为B1C1的中点A1FB1C1，CC1平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，A1FCC1又B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线A1F平面BCC1B1又AD平面BCC1B1，A1FADA1F平面ADE，AD平面ADE，直线A1F平面ADE点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题14（2011天津）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC=45，AD=AC=1，O为AC中点，PO平面ABCD，PO=2，M为PD中点（）证明：PB平面ACM；（）证明：AD平面PAC；（）求直线AM与平面ABCD所
39、成角的正切值考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角菁优网版权所有专题：综合题；转化思想分析：（I）由O为AC中点，M为PD中点结合平行四边形的对角线性质，考虑连接BD，MO，则有PBMO，从而可证（II）由ADC=45，且AD=AC=1，易得ADAC，POAD，根据线面垂直的判定定理可证（III）取DO中点N，由PO平面ABCD，可得MN平面ABCD，从而可得MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtANM中求解即可解答：解：（I）证明：连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PBMO因为PB平面ACM
40、，MO平面ACM所以PB平面ACM（II）证明：因为ADC=45，且AD=AC=1，所以DAC=90，即ADAC又PO平面ABCD，AD平面ABCD，所以POAD，ACPO=O，AD平面PAC（III）解：取DO中点N，连接MN，AN因为M为PD的中点，所以MNPO，且MN=PO=1，由PO平面ABCD，得MN平面ABCD所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中，所以，在RtANM中，=即直线AM与平面ABCD所成的正切值为点评：本题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力、推理论证能力15（2011北京）如图，在四棱锥P
41、ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，BAD=60（）求证：BD平面PAC；（）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；（）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离菁优网版权所有专题：综合题；转化思想分析：（I）由已知条件可得ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证（II）结合已知条件，设AC与BD的交点为O，则OBOC，故考虑分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，设PB与AC所成的角为，则，代入公式可求（III）分别求平面
42、PBC的法向量，平面PDC的法向量由平面PBC平面PDC可得从而可求t即PA解答：解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，又因为PA平面ABCD，所以PABD，PAAC=A所以BD平面PAC（II）设ACBD=O，因为BAD=60，PA=AB=2，所以BO=1，AO=OC=，以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）所以，设PB与AC所成的角为，则cos=|（III）由（II）知，设，则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令，平面PBC的法向量所以，同理平面PDC的法向量，因为平面PBC平面PDC，所以=0，即