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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中理科数学知识点高中理科数学知识点一.集合与常用逻辑用语 基础知识看一看一、牢记概念与公式1四种命题的相互关系2全称量词与存在量词全称命题p：xM，p(x)的否定为特称命题綈p：x0M，綈p(x0)；特称命题p：x0M，p(x0)的否定为全称命题綈p：xM，綈p(x)二、活用定理与结论1运算性质及重要结论(1)AAA，AA，ABBA.(2)AAA，A，ABBA.(3
2、)A(UA)，A(UA)U.(4)ABAAB，ABABA.2命题pq的否定是綈p綈q；命题pq的否定是綈p綈q.3“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”易错易混想一想1描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义抓住集合的代表元素如：x|ylg x函数的定义域；y|ylg x函数的值域；(x，y)|ylg x函数图像上的点集2易混淆0，0：0是一个实数；是一个集合，它含有0个元素；0是以0为元素的单元素集合但是0，而03集合的元素具有确定性、无序性和互异性在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性4遇到AB
3、时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样在应用条件ABBABAAB时，不要忽略A的情况5注重数形结合在集合问题中的应用列举法常借助Venn图解题；描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值6“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论7要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.保温训练手不凉1已知Ax|x23x20，Bx|logx42，则AB等于()A2,1,2B1,2 C2 D2,22“”是“sin sin ”的()A充分而不必
4、要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3命题p：m7，命题q：f(x)x2mx9(mR)有零点，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知集合Aa，b，c中任意2个不同元素的和的集合为1,2,3，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是()A1,2,3 B1,2 C1,0 D0,1,25已知集合Mx|y，Ny|y2x，则MN_.6.下面四个命题：函数yloga(x1)1(a0且a1)的图像必过定点(0,1)；已知命题p：xR，sin x1，则綈p：xR，sin x1；过点(1,2)且与直线2x3y40垂直的直线方程为3x
5、2y10；在区间(2,2上随机抽取一个数x，则ex1的概率为.其中所有正确命题的序号是_答案：二.函数与导数 基础知识看一看一、牢记概念与公式1函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(x)f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(x)f(x)成立，则f(x)为偶函数)(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(xT)f(x)(T0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期2指数与对数式的运算公式amanamn；(am)nam n；loga(MN)logaMl
6、ogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM；alogaNN；logaN(a0且a1，b0且b1，M0，N0)3指数函数与对数函数的性质解析式yax(a0且a1)ylogax(a0且a1)定义域R(0，)值域(0，)R图像关于直线yx对称奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0a1时，在R上是减函数；a1时，在R上是增函数0a1时，在(0，)上是减函数；a1时，在(0，)上是增函数4导数公式及运算法则(1)基本导数公式：c0(c为常数)；(xm)mxm1(mQ)；(sin x)cos x；(cos x)sin x；(ax)axln a(a0且a1)；(ex)ex；(logax) (a
7、0且a1)；(ln x).(2)导数的四则运算：(uv)uv；(uv)uvuv；(v0)5导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左正右负”f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f(x0)0且f(x)在x0附近“左负右正”f(x)在x0处取极小值(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”二、活用定理与结论1抽象函数的周期性与对称性(1)函数的周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa)，则f(x)为周期函数，2a是
8、它的一个周期设f(x)是R上的偶函数，且图像关于直线xa(a0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期设f(x)是R上的奇函数，且图像关于直线xa(a0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期(2)函数图像的对称性若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图像关于直线xa对称若函数yf(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图像关于点(a,0)对称若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图像关于直线x对称2函数图像平移变换的相关结论(1)把yf(x)的图像沿x轴左右平移|c|个单位(c0时向左移，
9、c0时向右移)得到函数yf(xc)的图像(c为常数)(2)把yf(x)的图像沿y轴上下平移|b|个单位(b0时向上移，b0时向下移)得到函数yf(x)b的图像(b为常数)3函数图像伸缩变换的相关结论(1)把yf(x)的图像上各点的纵坐标伸长(a1)或缩短(0a1)到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数yaf(x)(a0)的图像(2)把yf(x)的图像上各点的横坐标伸长(0b1)或缩短(b1)到原来的倍，而纵坐标不变，得到函数yf(bx)(b0)的图像4确定函数零点的三种常用方法(1)解方程判定法若方程易解时用此法(2)零点定理法根据连续函数yf(x)满足f(a)f(b)0，a1)的单调性忽视字母
10、a的取值讨论，忽视ax0；对数函数ylogax(a0，a1)忽视真数与底数的限制条件6易混淆函数的零点和函数图像与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化7不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0)既在切线上，又在函数图像上，导致某些求导数的问题不能正确解出8考生易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f(x0)0是函数yf(x)在xx0处有极值的充分条件保温训练手不凉1下列函数中，满足“对任意的x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2 Cf(x)ex Df(x)ln(x1)2直线ykxb与曲线yx3ax1相切于点(2
11、,3)，则b的值为()A3 B9 C15 D73若函数f(x)x2bx(bR)，则下列结论正确的是()AbR，f(x)在(0，)上是增函数 BbR，f(x)在(0，)上是减函数CbR，f(x)为奇函数 DbR，f(x)为偶函数4函数f(x)的所有零点的和等于()A2 B1 C0 D15已知a，b2，c，则下列关系式中正确的是()Acab Bbac Cacb Dab0，b0)(4)ab2(a，bR)(5) (a0，b0)2可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域3一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2bxc
12、0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是易错易混想一想1不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错2解形如一元二次不等式ax2bxc0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a0，a0进行讨论3应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把0直接转化为f(x)g(x)0，而忽视g(x)0.4容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数yx(x0)时应先转化为正数再求解5解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解6
13、求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(2,2)连线的斜率，而(x1)2(y1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等保温训练手不凉1已知1aa3aBaa2a3 Ca3a2a Da2aa32直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个 B1个 C2个 D无数个3已知a，bR，且ab50，则|a2b|的最小值是()A20 B150 C75 D15 4已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组确定若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为()A3 B4 C3 D45已知yf(x)是偶
14、函数，当x0时，f(x)(x1)2，若当x2，时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()A1 B. C. D.6不等式x1的解集是_7已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值为_答案：48若函数f(x)(a24a5)x24(a1)x3的图像恒在x轴上方，则a的取值范围是_答案：1,19)四三角函数与平面向量 基础知识看一看一、牢记概念与公式1同角三角函数的基本关系(1)商数关系：tan (k，kZ)；(2)平方关系：sin2cos21(R)2三角函数的诱导公式诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限其中，“奇、偶”是指“k(kZ)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角看作锐角时
15、，原函数值的符号3三种函数的性质函数ysin xycos xytan x图像单调性在(kZ)上单调递增；在2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(kZ)4三角恒等变换的主要公式sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan()；sin 22sin cos ；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.5平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条
16、件：abab.两个非零向量垂直的充要条件：abab0|ab|ab|.(2)若a(x，y)，则|a|.(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则|.(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .二、活用定理与结论1三角函数的两种常见变换(1)ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)(A0，0)(2)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)(A0，0)2正、余弦定理(1)正弦定理a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.注：R是三角形的外接圆半径(2)
17、余弦定理cos A，cos B，cos C.b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.3三点共线的判定三个点A，B，C共线，共线；向量，中三终点A，B，C共线存在实数，使得，且1.易错易混想一想1注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为x2k，k，也可以表示为x2k，k.2三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置决定3在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正弦函数、余弦函数的有界性4求yAsin(x)的单调区间时，要注意，A的符号Bsin Asin B
18、.7要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；00(R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0a0；但不说0与任意非零向量垂直8当ab0时，不一定得到ab，当ab时，ab0；abcb，不能得到ac，消去律不成立；(ab)c与a(bc)不一定相等；(ab)c与c平行，而a(bc)与a平行9两向量夹角的范围为0，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价保温训练手不凉1已知cos 2，则sin2()A.B. C. D.2已知锐角ABC的面积为3，BC4，CA3，则角C的大小为()A75 B60 C45 D303已知角的终边上一点的坐标为，则角
19、的最小正值为()A. B. C. D.4设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且|2|，则点P的坐标为()A(3,1) B(1，1) C(3,1)或(1，1) D无数多个5若函数f(x)12sin2sin，则f(x)图像的一个对称中心的坐标为()A. B. C. D.6若函数ytan(0)的图像向右平移个单位后，与函数ytan的图像重合，则的最小值为()A. B. C. D.7在ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2a2acc2，CA90，则cos Acos C()A. B. C D8非零向量a(sin ，2)，b(cos ，1)，若a与b共线，则tan_.9若
20、3cos cos()0，则cos2sin 2的值是_10关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则bc；若a(1，k)，b(2,6)，ab，则k3；非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)五数_列 基础知识看一看一、牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)前n项和Snna1d(1)q1，Sn(2)q1，Snna1二、活用定理与结论1等差等比数列an的常用性质等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq(2)anam(nm)d(3)
21、Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq(2)anamqnm(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sn0)2判断等差数列的常用方法(1)定义法：an1and(常数)(nN*)an是等差数列(2)通项公式法：anpnq(p，q为常数，nN*)an是等差数列(3)中项公式法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数，nN*)an是等差数列3判断等比数列的三种常用方法(1)定义法：q(q是不为0的常数，nN*)an是等比数列(2)通项公式法：ancqn(c，q均是不为0的常
22、数，nN*)an是等比数列(3)中项公式法：aanan2(anan1an20，nN*)an是等比数列易错易混想一想1已知数列的前n项和求an，易忽视n1的情形，直接用SnSn1表示事实上，当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1.2易混淆几何平均数与等比中项，正数a，b的等比中项是.3等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算如等差数列an)与bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求时，无法正确赋值求解4易忽视等比数列中公比q0，导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解5运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论一定分q1和q1两种情况进行讨论
23、6对于通项公式中含有(1)n的一类数列，在求Sn时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知an1an1d或q(n2)，求an的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论7数列相关问题中，切忌忽视公式中n的取值范围，混淆数列的单调性与函数的单调性如数列an的通项公式ann，求最小值，既要考虑函数f(x)x(x0)的单调性，又要注意n的取值限制条件8求等差数列an前n项和Sn的最值，易混淆取得最大或最小值的条件保温训练手不凉1若等差数列an的前n项和为Sn，且a2a36，则S4的值为()A12B11 C10 D92设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分
24、条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5()A35 B33 C31 D294记Sn是等差数列an的前n项的和，Tn是等比数列bn的前n项的积，设等差数列an的公差d0，若对小于2 012的正整数n，都有SnS2 012n，则推导出a1 006a1 0070，设等比数列bn的公比q1，若对于小于24的正整数n，都有TnT24n，则()Ab11b121 Bb12b131 Cb11b121 Db12b1315已知an是等差数列，a4a66，其前5项和S510，则其公差d_.6(2013合肥质检)已知数列an
25、中，a1，an11(n2)，则a2 014_.7设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是_8将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415根据上述排列规律，数阵中第n(n3)行从左至右的第3个数是_六立体几何 基础知识看一看一、牢记概念与公式1简单几何体的表面积和体积(1)S直棱柱侧ch(c为底面的周长，h为高)(2)S正棱锥侧ch(c为底面周长，h为斜高)(3)S正棱台侧(cc)h(c与c分别为上、下底面周长，h为斜高)(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S圆柱侧2rl(r为底面半径，l为母线)，S圆
26、锥侧rl(同上)，S圆台侧(rr)l(r、r分别为上、下底的半径，l为母线)(5)体积公式V柱Sh(S为底面面积，h为高)，V锥Sh(S为底面面积，h为高)，V台(SS)h(S、S为上、下底面面积，h为高)(6)球的表面积和体积S球4R2，V球R3.2“向量法”求解“空间角”的公式(1)向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为，则cos |cosa，b|.(2)向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为，则sin |cosn，a|.(3)向量法求二面角求出二面角l的两个半平面与的法向量n1，n2，若二面角l所成的角为锐角
27、，则cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角为钝角，则cos |cosn1，n2|.二、活用定理与结论1把握两个规则(1)三视图排列规则：俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图一样；侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度和正(主)视图一样，宽度与俯视图一样画三视图的基本要求：正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧一样高(2)画直观图的规则画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x轴、z轴平行的线段长度不变，与y轴平行的线段长度为原来的一半2线、面位置关系判定的六种方法(1)线面平行a，a，a.(2)线线平行ab，ab，ab，cb.(3)面面平行，.(4)线线垂直ab
28、.(5)线面垂直l，a，a，b.(6)面面垂直，.易错易混想一想1混淆“点A在直线a上”与“直线a在平面内”的数学符号关系，应表示为Aa，a.2在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主3易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数.4不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错如由，l，ml，易误得出m的结论，
29、就是因为忽视面面垂直的性质定理中m的限制条件5注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系6几种角的范围两条异面直线所成的角090直线与平面所成的角090斜线与平面所成的角090二面角0180两条相交直线所成的角(夹角)090直线的倾斜角0180两个向量的夹角0180锐角00)(3)圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)4圆锥曲线定义、标准方程和性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2a(2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e (0e1)e1渐近线yx二、活用定理与结论1直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20的位置关系(1)平行A1B2A2B10(斜率相等)且B1C2B2C10(在y轴上截距不相等)；(2)相交A1B2A2B10；(3)重合A1B2A2B10且B1C2B2C10；(4)垂直A1A2B1B20