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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学导数压轴题高中数学导数压轴题（一）高中数学导数压轴题1已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=bx，其中a，bR，设h（x）=f（x）g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f（1）=g（1）2求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2求b的取值范围；求证：12设函数f（x）=x3axb，xR，其中a，bR（1
2、）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求证：x1+2x0=0；（3）设a0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间1，1上的最大值不小于3已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（x）ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，若a1，h（x）=e3x3aexx0，ln2，求h（x）的极小值；（）设F（x）=2f（x）3x2kx（kR），若函数F（x）存在两个零点m，n（0mn），且2x0=m+n问：函数F（x）在点（x0，F（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明
3、理由4已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g（x）=x3+x2（f（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：（n2，nN*）5设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1有实数解，求实数m的取值范围（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值（3）证明不等式：（nN*）6已知函数，f（x）=alnxax3（aR）（1 ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间
4、；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范围取值时，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总存在极值？7已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2问：是否存在常数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不
5、存在，请说明理由8已知函数f（x）=alnxax3（a0）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）+（a+1）x+4e0对任意xe，e2恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*）（n!=123n）9已知函数f（x）=lnxa（x1），aR（）讨论函数f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）恒成立，求a的取值范围10设aR，函数f（x）=lnxax（）求f（x）的单调递增区间；（）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（）设
6、A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k证明：kg（x0）11已知函数f（x）=x3+（1a）x2a（a+2）x（aR），f（x）为f（x）的导数（）当a=3时证明y=f（x）在区间（1，1）上不是单调函数（）设，是否存在实数a，对于任意的x11，1存在x20，2，使得f（x1）+2ax1=g（x2）成立？若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由12设a为实数，函数f（x）=ex2x+2a，xR（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：当aln21且x0时，exx22ax+113已知函数f（
7、x）=xlnx，g（x）=（）记F（x）=f（x）g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；（）记（）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=minf（x），g（x），若m（x）=n（nR）在（1，+）有两个不等实根x1，x2（x1x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明14设函数f（x）=lnxax2bx（）当a=b=时，求f（x）的最大值；（）令F（x）=f（x）+ax2+bx+（0x3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0，b=1，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值15已知函数f（
8、x）=x2+lnx（1）求函数f（x）在1，e上的最大值，最小值；（2）求证：在区间1，+）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方16设f（x）=px2lnx（）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（）设g（x）=，且p0，若在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求实数p的取值范围17若f（x）=其中aR（1）当a=2时，求函数y（x）在区间e，e2上的最大值；（2）当a0，时，若x1，+），f（x）a恒成立，求a的取值范围18已知函数f（x）=（x36x2+3x+t）ex，tR（）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（abc）
9、处取极值，求t的取值范围；（）若存在实数t0，2，使对任意的x1，m，不等式f（x）x恒成立，求正整数m的最大值19已知函数f（x）=2lnxx2（） 求函数y=f（x）在上的最大值（）如果函数g（x）=f（x）ax的图象与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），且0x1x2y=g（x）是y=g（x）的导函数，若正常数p，q满足p+q=1，qp求证：g（px1+qx2）020设，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与直线2x+y+1=0垂直（1）求a的值；（2）若x1，+），f（x）m（x1）恒成立，求m的范围（3）求证：21已知函数（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）
10、处的切线方程；（）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（）在（）的条件下，设函数，若在1，e上至少存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围22已知函数，（）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；（）若p2p0，且至少存在一点x01，e，使得f（x0）g（x0）成立，求实数p的取值范围23已知a为常数，aR，函数f（x）=x2+axlnx，g（x）=ex（其中e是自然对数的底数）（）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求证：x0=1；（）令，若函数F（
11、x）在区间（0，1上是单调函数，求a的取值范围24已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex，其中e是自然对数的底数，e=2.71828（1）若函数（x）=f（x），求函数（x）的单调区间；（2）若x0，g（x）kf（x+1）+1恒成立，求实数k的取值范围；（3）设直线l为函数f（x）的图象上一点，A（x0，f（x0）处的切线，证明：在区间（1，+）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切25已知函数f（x）=x，函数g（x）=f（x）+sinx是区间1，1上的减函数（）求的最大值；（）若g（x）t2+t+1在x1，1上恒成立，求t的取值范围；（）讨论关于x的方程的根的个数26已知函数
12、f（x）=ln（1+x）ax在x=处的切线的斜率为1（）求a的值及f（x）的最大值；（）证明：1+ln（n+1）（nN*）；（）设g（x）=b（exx），若f（x）g（x）恒成立，求实数b的取值范围27设函数f（x）=lnxax（aR）（1）若直线y=3x1是函数f（x）图象的一条切线，求实数a的值；（2）若函数f（x）在1，e2上的最大值为1ae（e为自然对数的底数），求实数a的值；（3）若关于x的方程ln（2x2x3t）+x2xt=ln（xt）有且仅有唯一的实数根，求实数t的取值范围28已知函数f（x）=xe1x，g（x）=（2a）x2lnx+a2（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若对
13、于x0（0，e，在区间（0，e上总存在两个不同实数xi（i=1，2），使得f（x0）=g（xi），求实数a的取值范围29已知函数（）求函数f（x）的单调区间；（）函数f（x）在区间1，2上是否有零点，若有，求出零点，若没有，请说明理由；（）若任意的x1，x2（1，2）且x1x2，证明：（注：ln20.693）30已知函数f（x）=nxxn，xR，其中nN，且n2（）讨论f（x）的单调性；（）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）g（x）；（）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x
14、2x1|+2-高中数学导数压轴题 教师用书一解答题（共30小题）1（2017南京一模）已知函数f（x）=ax2+lnx，g（x）=bx，其中a，bR，设h（x）=f（x）g（x），（1）若f（x）在x=处取得极值，且f（1）=g（1）2求函数h（x）的单调区间；（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x1，x2求b的取值范围；求证：1【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值菁【专题】压轴题；函数思想；转化法；导数的综合应用【分析】（1）根据极值点处的导数为零，结合f（1）=g（1）2列出关于a，b的方程组，求出a，b，然后再利用导数研究导数研
15、究单调区间；（2）将a=0代入，研究极值的符号，即可求出求b的取值范围，结合的结论，通过适当的变形，利用放缩法和基本不等式即可证明【解答】解：（1）由已知得f，（x0），所以，所以a=2由f（1）=g（1）2，得a+1=b2，所以b=1所以h（x）=x2+lnx+x，（x0）则，（x0），由h（x）0得0x1，h（x）0得x1所以h（x）的减区间为（1，+），增区间为（0，1）（2）由已知h（x）=lnx+bx，（x0）所以h，（x0），当b0时，显然h（x）0恒成立，此时函数h（x）在定义域内递增，h（x）至多有一个零点，不合题意当b0时，令h（x）=0得x=0，令h（x）0得；令h（x）0
16、得所以h（x）极大=h（）=ln（b）10，解得且x0时，lnx0，x+时，lnx0所以当时，h（x）有两个零点证明：由题意得，即，得因为x1，x20，所以b（x1+x2）0，所以，因为0b，所以eb1，所以x1x2e2，所以1【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值的关系，以及函数的零点存在定理和不等式的证明，培养了学生的运算能力，化归能力，分类讨论的能力，属于难题2（2016天津）设函数f（x）=x3axb，xR，其中a，bR（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求证：x1+2x0=0；（3）设a0，函数g（x）=|f（x）|
17、，求证：g（x）在区间1，1上的最大值不小于【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】压轴题；转化思想；分类法；导数的综合应用【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a0时f（x）0，f（x）在R上递增；当a0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由条件判断出a0，且x00，由f（x0）=0求出x0，分别代入解析式化简f（x0），f（2x0），化简整理后可得证；（3）设g（x）在区间1，1上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用f（x）单调性和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，
18、再利用不等式的性质证明结论成立【解答】解：（1）若f（x）=x3axb，则f（x）=3x2a，分两种情况讨论：、当a0时，有f（x）=3x2a0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（，+），、当a0时，令f（x）=3x2a=0，解得x=或x=，当x或x时，f（x）=3x2a0，f（x）为增函数，当x时，f（x）=3x2a0，f（x）为减函数，故f（x）的增区间为（，），（，+），减区间为（，）；（2）若f（x）存在极值点x0，则必有a0，且x00，由题意可得，f（x）=3x2a，则x02=，进而f（x0）=x03ax0b=x0b，又f（2x0）=8x03+2ax0b=x0+2ax0b=f（x0
19、），由题意及（）可得：存在唯一的实数x1，满足f（x1）=f（x0），其中x1x0，则有x1=2x0，故有x1+2x0=0；（）设g（x）在区间1，1上的最大值M，maxx，y表示x、y两个数的最大值，下面分三种情况讨论：当a3时，11，由（I）知f（x）在区间1，1上单调递减，所以f（x）在区间1，1上的取值范围是f（1），f（1），因此M=max|f（1）|，|f（1）|=max|1ab|，|1+ab|=max|a1+b|，|a1b|=，所以M=a1+|b|2当a3时，由（）、（）知，f（1）=f（），f（1）=，所以f（x）在区间1，1上的取值范围是f（），f（），因此M=max|f（）
20、|，|f（）|=max|，|=max|，|=，当0a时，由（）、（）知，f（1）=f（），f（1）=，所以f（x）在区间1，1上的取值范围是f（1），f（1），因此M=max|f（1）|，|f（1）|=max|1+ab|，|1ab|=max|1a+b|，|1ab|=1a+|b|，综上所述，当a0时，g（x）在区间1，1上的最大值不小于【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题3（2016离石区二模）已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（x）ax在其定义域内为增函数，
21、求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，若a1，h（x）=e3x3aexx0，ln2，求h（x）的极小值；（）设F（x）=2f（x）3x2kx（kR），若函数F（x）存在两个零点m，n（0mn），且2x0=m+n问：函数F（x）在点（x0，F（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；导数的概念及应用【分析】（）先根据题意写出：g（x）再求导数，由题意知，g（x）0，x（0，+）恒成立，即由此即可求得实数a的取值范围；（）由（）知，利用换元法
22、令t=ex，则t1，2，则h（t）=t33at，接下来利用导数研究此函数的单调性，从而得出h（x）的极小值；（）对于能否问题，可先假设能，即设F（x）在（x0，F（x0）的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnxx2kx结合题意，列出方程组，证得函数在（0，1）上单调递增，最后出现矛盾，说明假设不成立，即切线不能否平行于x轴【解答】解：（）g（x）=f（x）ax=lnx+x2ax，由题意知，g（x）0，对任意的x（0，+）恒成立，即又x0，当且仅当时等号成立，可得（）由（）知，令t=ex，则t1，2，则h（t）=t33at，由h（t）=0，得或（舍去），若，则h（t）0，h（t）单调递减；若，则
23、h（t）0，h（t）单调递增当时，h（t）取得极小值，极小值为（）设F（x）在（x0，F（x0）的切线平行于x轴，其中F（x）=2lnxx2kx结合题意，有得所以，由得所以设，式变为设，所以函数在（0，1）上单调递增，因此，yy|u=1=0，即，也就是此式与矛盾所以F（x）在（x0，F（x0）的切线不能平行于x轴【点评】此题是个难题本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，根据解题要求选择是否分离变量，体现了转化的思想和分类讨论以及数形结合的思想方法，同时考查了学生的灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力4（2016
24、商丘三模）已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g（x）=x3+x2（f（x）+）在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：（n2，nN*）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数f（x）；解f（x）0（或0）；得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2）处的切线的倾斜角为4
25、5，即切线斜率为1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t1，2，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解【解答】解：（）（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（）得a=2，f（x）=2lnx+2x3，g（x）=3x2+（m+4
26、）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=2由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：，（10分）（）令a=1此时f（x）=lnx+x3，所以f（1）=2，由（）知f（x）=lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，（12分）n2，nN*，则有0lnnn1，【点评】本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题5（2016湖南模拟）设函数f（x）
27、=（1+x）22ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1有实数解，求实数m的取值范围（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值（3）证明不等式：（nN*）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；导数的概念及应用【分析】（1）依题意得f（x）maxm，x0，e1，求导数，求得函数的单调性，从而可得函数的最大值；（2）求导函数，求得函数的单调性与最值，从而可得p的最小值；（3）先证明ln（1+x）x，令，则x（0，1）代入上面不等式得：，从而可得利用叠加法可得结论【解答】（1）解：依题意得f
28、（x）maxm，x0，e1，而函数f（x）的定义域为（1，+）f（x）在（1，0）上为减函数，在（0，+）上为增函数，f（x）在0，e1上为增函数，实数m的取值范围为me22（2）解：g（x）=f（x）x21=2x2ln（1+x）=2xln（1+x），显然，函数g（x）在（1，0）上为减函数，在（0，+）上为增函数函数g（x）的最小值为g（0）=0要使方程g（x）=p至少有一个解，则p0，即p的最小值为0（3）证明：由（2）可知：g（x）=2xln（1+x）0在（1，+）上恒成立所以ln（1+x）x，当且仅当x=0时等号成立令，则x（0，1）代入上面不等式得：即，即所以ln2ln11，将以上n
29、个等式相加即可得到：【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查恒成立问题，属于中档题6（2016江门模拟）已知函数，f（x）=alnxax3（aR）（1 ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，问：m在什么范围取值时，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总存在极值？【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数f（x）；解f（x）0（或0）；得到函数的增区间（或
30、减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，即切线斜率为1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t1，2，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围【解答】解：（） ，当a=1时，令导数大于0，可解得0x1，令导数小于0，可解得x0（舍）或x1故函数的单调增区间为（0，1），单调减区间是（1，+）（） 得a=2，f（x）=2lnx+2x3，g（x）=3x2+（m+4）x2g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=2，由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成
31、立，所以有：，【点评】此题是个难题本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题7（2016鹰潭校级模拟）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1
32、，l2的斜率分别为k1，k2问：是否存在常数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】压轴题；导数的综合应用【分析】（1）先求原函数的导数，根据f（x）0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于的方程，有解则存在，无解则不存在【解答
33、】解：（1）当a=2时，函数f（x）=x3+x22x+b则f（x）=3x2+5x2=（3x1）（x+2）令f（x）0，解得2x，所以f（x）的单调递减区间为（2，）；（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，则即x3+x2+（3x25x1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，令y=2x3+x2+x，则y=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=或x=，则函数y=2x3+x2+x在（，），（，+）上是增函数，在（，）上是减函数，由于x=时，y=；x=时，y=；故实数b的取值范围为：（，）
34、（，+）；（3）设点A（x0，f（x0），则在点A处的切线l1的切线方程为yf（x0）=f（x0）（xx0），与曲线C联立得到f（x）f（x0）=f（x0）（xx0），即（x3+x2+ax+b）（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（xx0），整理得到（xx0）2x+（2x0+）=0，故点B的横坐标为xB=（2x0+）由题意知，切线l1的斜率为k1=f（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f（2x0+）=12x02+20x0+a，若存在常数，使得k2=k1，则12x02+20x0+a=（3x02+5x0+a），即存在常数，使得（4）（3x02+5x0）=（1）a，
35、故，解得=4，a=，故a=时，存在常数=4，使得k2=4k1；a时，不存在常数，使得k2=4k1【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决8（2016宜春校级模拟）已知函数f（x）=alnxax3（a0）（）讨论f（x）的单调性；（）若f（x）+（a+1）x+4e0对任意xe，e2恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；（）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*）（n!=123n）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；不等式
36、的证明菁优网版权所有【专题】计算题；证明题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（）求导f（x）=（x0），从而判断函数的单调性；（）令F（x）=alnxax3+（a+1）x+4e=alnx+x+1e，从而求导F（x）=，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可；（）令a=1，此时f（x）=lnx+x3，从而可得f（1）=2，且f（x）=lnx+x3在（1，+）上单调递增，从而可得lnx+x10，即lnxx1对一切x（1，+）成立，从而可得若n2，nN*，则有ln（+1）=，从而化ln（22+1）
37、+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*）为ln（+1）+ln（+1）+ln（+1）1（n2，nN*）；从而证明【解答】解：（）f（x）=（x0），当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，单调减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），单调减区间为（0，1；（）令F（x）=alnxax3+（a+1）x+4e=alnx+x+1e，则F（x）=，若ae，即ae，F（x）在e，e2上是增函数，F（x）max=F（e2）=2a+e2e+10，a，无解若eae2，即e2ae，F（x）在e，a上是减函数；在a，e2上是增函数，F（e）=a+10，
38、即a1F（e2）=2a+e2e+10，即a，e2a若ae2，即ae2，F（x）在e，e2上是减函数，F（x）max=F（e）=a+10，即a1，ae2，综上所述，a（）证明：令a=1，此时f（x）=lnx+x3，所以f（1）=2，由（）知f（x）=lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时，f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，n2，nN*，则有ln（+1）=，要证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+ln（n2+1）1+2lnn!（n2，nN*），只需证ln（+1）+ln（+1）+ln（+1）1（n2，nN*）；ln（+1）+ln（+
39、1）+ln（+1）（1）+（）+（）=11；所以原不等式成立【点评】本题考查了导数的综合应用，放缩法证明不等式，裂项求和法等的应用，同时考查了恒成立问题及分类讨论的数学思想应用，属于难题9（2016中山市校级模拟）已知函数f（x）=lnxa（x1），aR（）讨论函数f（x）的单调性；（）当x1时，f（x）恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题；导数的综合应用【分析】（）f（x）的定义域为（0，+），若a0，f（x）在（0，+）上单调递增；若a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）单调递减（）f（x）=，令g（x）=xl
40、nxa（x21），（x1），g（x）=lnx+12ax，令F（x）=g（x）=lnx+12ax，由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围【解答】（本小题满分12分）解：（）f（x）的定义域为（0，+），若a0，则f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，（2分）若a0，则由f（x）=0，得x=，当x（0，）时，f（x）0，当x（）时，f（x）0，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）单调递减所以当a0时，f（x）在（0，+）上单调递增，当a0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+）单调递减（4分）（）f（x）=，令g（x）=xlnxa（x21），（x1），g（x）=lnx+12ax，令
41、F（x）=g（x）=lnx+12ax，（6分）若a0，F（x）0，g（x）在1，+）递增，g（x）g（1）=12a0，g（x）在1，+）递增，g（x）g（1）=0，从而f（x）不符合题意（8分）若0a，当x（1，），F（x）0，g（x）在（1，）递增，从而g（x）g（1）=12a，g（x）在1，+）递增，g（x）g（1）=0，从而f（x）不符合题意（10分）若a，F（x）0在1，+）恒成立，g（x）在1，+）递减，g（x）g（1）=12a0，从而g9x）在1，+）递减，g（x）g（1）=0，f（x）0，综上所述，a的取值范围是）（12分）【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的
42、取值范围的求法综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意导数性质的合理运用10（2016南通模拟）设aR，函数f（x）=lnxax（）求f（x）的单调递增区间；（）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k证明：kg（x0）【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有【专题】压轴题；函数思想；综合法；导数的综合应用【分析】（）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，