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1、精选优质文档-倾情为你奉上第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一线性变换的概念与判别1.线性变换的定义数域上的线性空间的一个变换称为线性变换，如果对中任意的元素和数域中的任意数，都有：，。注：的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。2.线性变换的判别设为数域上线性空间的一个变换，那么：为的线性变换3.线性变换的性质 设是数域上的线性空间，为的线性变换，。性质1. ;性质2. 若线性相关，那么也线性相关。性质3. 设线性变换为单射，如果线性无关，那么 也线性无关。注：设是数域上的线性空间，是中的两个向量组，如果：记：于是，若，是的一组基，是的线性变换， 是中任意一组向量，如果：
2、记：那么：设，是矩阵的列向量组，如果是的一个极大线性无关组，那么就是 的一个极大线性无关组，因此向量组的秩等于秩。4. 线性变换举例（1）设是数域上的任一线性空间。零变换： ； 恒等变换：。 幂零线性变换：设是数域上的线性空间的线性变换，如果存在正整数，使得，就称为幂零变换。 幂等变换：设是数域上的线性空间的线性变换，如果，就称为幂等变换。（2）,任意取定数域上的一个级方阵 ，令：。（3），。（4），是中一固定矩阵，。二线性变换的运算、矩阵1. 加法、乘法、数量乘法（1） 定义： 设是数域上的线性空间，是的两个线性变换，定义它们的和、乘积分别为：对任意的 ，任取，定义数量乘积为：对任意的的负变
3、换为：对任意的则、与都是的线性变换。（2）=为的线性变换，按线性变换的加法和数乘运算做成数域上的维线性空间。2. 线性变换的矩阵（1）定义：设是数域上的维线性空间，是的线性变换，是的一组基，如果：那么称矩阵为线性变换在基下的矩阵。此时： （2）线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵：设是数域上的维线性空间的一组基，设它们在下的矩阵分别为。1）， 是数域上的线性空间到数域上的线性空间的同构映射，因此。 2）可逆可逆3）、与在基下的矩阵分别为与； 任取，在基下的矩阵为； 若为可逆线性变换，则在基下的矩阵为； 设为数域上的任一多项式，那么（为的恒等变换）在基下的矩阵为：。
4、三特征值、特征向量与对角矩阵1. 矩阵的特征值与特征向量（1）矩阵的特征多项式：设为级复方阵，将多项式称为的特征多项式。注： 1）若，则：2) 将称为矩阵的特征矩阵，称为矩阵的特征方程。（2） 定义：级方阵的特征多项式在复数域上的所有根都叫做其特征值（根），设是的特征值，齐次线性方程组的每个非零解都叫做矩阵的属于其特征值的特征向量。（3）求法：1）求在复数域上的所有根（重根按重数计算）；2）对解齐次线性方程组，得其一个基础解系（秩），则矩阵的属于特征值的全部特征向量为，其中为不全为零的任意常数（复数）。（4） 重要结论：1）设是的特征值，是的属于其特征值的特征向量，为一复系数多项式。 为的特征
5、值，为的属于特征值的特征向量； 如果还是可逆矩阵，那么与分别为和的特征值，为的属于特征值的特征向量，为的属于特征值的特征向量， 若是矩阵的全部特征值，那么就是的全部特征值，如果还是可逆矩阵，则为的全部特征值，为的全部特征值；2）若是矩阵的全部特征值，那么，。2. 线性变换的特征值与特征向量（1）定义：设是数域上的线性空间的线性变换，若存在，使得，就称为的一个特征值，为的一个属于特征值的特征向量。（2）线性变换的特征多项式设是数域上的维线性空间的线性变换，任取的一组基，设 在该基下的矩阵为，称矩阵为的特征多项式为的特征多项式，记为，即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。（3）求法
6、：设是数域上的维线性空间的线性变换。1）取定的一组基，求出在该基下的矩阵；2）求在中的所有根（，重根按重数计算，且表示无特征值）。3）若，对解齐次线性方程组，得其一个基础解系（秩），则线性变换的属于特征值的全部特征向量为，其中为中不全为零的任意常数。3. 矩阵相似（1）定义：设是数域上的两个级方阵，如果存在数域上的级可逆矩阵，使得，就称矩阵相似于矩阵，记为。（2）性质：1）矩阵相似是等价关系，即：设都是级方阵，那么：； 若，那么； 若且，则。2）若，那么，因此矩阵与矩阵 有相同的特征值，相同的迹（），相同的行列式（）。3）两个实对称阵相似它们有相同的特征值。（3）有限维线性空间上的线性变换在不
7、同基底下的矩阵彼此相似。（4）若，那么。4. 线性变换与矩阵可对角化（1）矩阵可对角化1）设是级方阵，如果存在级可逆矩阵，使得为对角阵，则称可对角化。2）级方阵可对角化有个线性无关特征向量。3）如果级方阵有个不同的特征值，则可对角化。4）设是级方阵的所有不同的特征值，称为的代数重数；称秩为的几何重数；级方阵可对角化对都有的代数重数=的几何重数。注：1. 设齐次线性方程组的解空间为，则2. 称为级方阵的属于特征值的特征子空间，那么（2）线性变换可对角化1） 设是数域上的维线性空间的线性变换，如果存在的一组基，使得 在该基下的矩阵为对角阵，就称可对角化。 2）数域上的维线性空间的线性变换可对角化有
8、个线性无关特征向量。3）设是数域上的维线性空间的线性变换，如果有个不同的特征值，则可对角化。 4）设是数域上的维线性空间的线性变换，在的一组基下的矩阵为， 设是级方阵的所有不同的特征值。 若，那么： 可对角化对都有的代数重数=的几何重数。 若不全在数域中，则不可对角化。注：的几何重数 =，其中为的属于特征值 的特征子空间。四线性变换的值域与核 1.定义：设是数域上的线性空间的线性变换，将，分别称为线性变换的核与值域（与也分别记为与）。2.线性变换的秩与零度： 与都是的子空间，将 与分别称为的秩和零度。3. 有限维线性空间的线性变换的值域与核设是数域上的维线性空间，是的线性变换，为的一组基， 在
9、该基下的矩阵为，秩，。1）是齐次线性方程组的解。 2）若是的一个基础解系，那么（其中）就是的一组基，于是： 因此的秩和零度为。 3）于是的一个极大线性无关组就是的一组基，而的秩等于秩=，所以，即的秩为秩=。4）。3. 求法：设是数域上的维线性空间，是的线性变换。1）的求法： 取定的一组基，求出在该基下的矩阵； 解齐次线性方程组，得其一个基础解系（秩）； 令，得的一组基， 2）的求法： 取定的一组基，求出在该基下的矩阵； 设矩阵的列向量组为，求出的一个极大线性无关组就得到的一个极大线性无关组，就是的一组基。 五不变子空间1. 定义：设是数域上的线性空间的线性变换，是的子空间，如果对，都有（即），
10、就称是的不变子空间，也称-子空间。2. 设是数域上的线性空间，那么与都是的任一线性变换的不变子空间。3. 设是数域上的线性空间的线性变换，是的任意一个特征值，那么的特征子空间都是的不变子空间。4. 线性变换的循环子空间：设是数域上的维线性空间的线性变换，任取，必存在正整数，使得线性无关，而线性相关，令，则是的不变子空间，称为的循环子空间。5. 设是数域上的维线性空间，是的线性变换，是的不变子空间， ，取的一组基，将其扩充为的一组基，那么在该基下的矩阵为，其中为在的基下的矩阵。六若尔当 (Jordan) 标准形 1.若尔当块与若尔当形矩阵：1）若尔当块：形式为 的矩阵称为若尔当块，其中为复数。 2）若尔当形矩阵：由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如： 其中：，且中有些可以相等。2. 复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵1）设是复数域上的维线性空间的任意一个线性变换，那么必存在的一组基，使得在该基下的矩阵为若尔当形矩阵。2）每个级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似。3. 设是复数域上的维线性空间的线性变换，那么幂零的特征值都为零。专心-专注-专业