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1、2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的1（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足，则=（）A4B5C6D82（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第五天走的路程为（）A6里B12里C24里D48里3（5分）关于x的不等式x2（a+1）x+a0的解集中，恰
2、有3个整数，则a的取值范围是（）A（4，5）B（3，2）（4，5）C（4，5D3，2）（4，54（5分）已知等差数列an中，a5+a7=sinxdx，则a4+a6+a8=（）A3B4C5D65（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）ABC1D26（5分）m，n，l为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）Aml，nl，则mnB，则Cm，n，则mnD，则7（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是
3、真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（）A甲B乙C丙D不确定8（5分）已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为（）ABCD9（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2xcos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（）A直线x=B直线x=C直线x=D直线x=10（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=（2x1）lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为（）A2B1C1D211（5分）已知，是单位向量，若向量满足，则的取值范围为（）ABCD12（5分）设函数则满足f（f（a）=2f（a）的a
4、的取值范围是（）ABC0a1Da1二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x2y的最小值为 14（5分）已知向量满足，且，则的夹角是 15（5分）已知tan=2，则的值等于 16（5分）已知数列an的前n项和Sn，若an+1+（1）nan=n，则S40= 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17（12分）已知向量（xR），设函数f（x）=1（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2，B=，边AB=3，求边BC18（12分）
5、已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC（1）求证：DC平面PAC；（2）求证：平面PAB平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由20（12分）已知数列an的前n项和为Sn已知a1=2，Sn+1=4an+2（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式21（12分）已知f（x）=ln（a+x）x（1）求函数f（x）的
6、单调区间；（2）当x0时，恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当时，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为=0，其中0满足tan0=，l与C交于A，B两点，求|AB|的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x2|x+3|（1）求不等式f（x）3的解集；（2）若不等式f（x）a26a解集非空，求实数a的取值范围2018年内蒙古海拉尔二中高考数学二模试卷
7、（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的1（5分）已知i是虚数单位，若复数z满足，则=（）A4B5C6D8【解答】解：由，得，则，故选：B2（5分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第五天走的路程为（）A6里B12里C24里D48里【解答】解：记每天走的路程里数为an，由题意知an
8、是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，=12（里）故选：B3（5分）关于x的不等式x2（a+1）x+a0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A（4，5）B（3，2）（4，5）C（4，5D3，2）（4，5【解答】解：关于x的不等式x2（a+1）x+a0，不等式可能为（x1）（xa）0，当a1时得1xa，此时解集中的整数为2，3，4，则4a5，当a1时，得ax1，则3a2，故a的取值范围是3，2）（4，5故选：D4（5分）已知等差数列an中，a5+a7=sinxdx，则a4+a6+a8=（）A3B4C5D6【解答】解：等差数列an中，a5+a7=sinxdx=（
9、cosx）|=（11）=2，可得a4+a8=2a6=a5+a7=2，则a4+a6+a8=3，故选：A5（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图和侧（左）视图是腰长为l的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（）ABC1D2【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥PABCD，其中底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，且PA=AB=1，几何体的最长棱为PC=故选：B6（5分）m，n，l为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）Aml，nl，则mnB，则Cm，n，则mnD，则【解答】解：由ml，nl，在同一个平面可得mn，在空间不成立，故错误；若，则与可
10、能平行与可能相交，故错误；m，n，则m、n可能平行、相交或异面，故错误；，利用平面与平面平行的性质与判定，可得，正确故选：D7（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（）A甲B乙C丙D不确定【解答】解：如果甲说的是真话，则乙丙都是真话，与在这三名同学中，只有一人说的是假话，相矛盾，如果甲说的是假话，乙丙说的是真话，那乙就是满分，故选：B8（5分）已知正实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为（）ABCD【解答】解：正实数x，y满足2x+
11、y=1，则1，化为：xy，当且仅当2x=y=时取等号xy的最大值为故选：A9（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2xcos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（）A直线x=B直线x=C直线x=D直线x=【解答】解：f（x）=sin2xcos2x=2sin（2x），向右平移个单位而得到g（x）=2sin2（x）=2cos2x，令2x=k，kZ，可解得x=，kZ，k=1时，可得x=，故选：C10（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=（2x1）lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为（）A2B1C1D2【解答】解：当x0时
12、，f（x）=（2x1）lnx，f（x）=2lnx+2，f（1）=1函数f（x）是偶函数，f（1）=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为1，故选：B11（5分）已知，是单位向量，若向量满足，则的取值范围为（）ABCD【解答】解：令，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为1，所以的取值范围为1，+1故选A12（5分）设函数则满足f（f（a）=2f（a）的a的取值范围是（）ABC0a1Da1【解答】解：函数，若f（f（a）=2f（a），则f（a）1，当a1时，由3a11得：a1，当a1时，2a1恒成立，综上可得
13、：，故选：A二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x2y的最小值为4【解答】解：作表示的平面区域如下，z=x2y可化为y=，故当过点（0，2）时，有最大值，z=x2y有最小值4；故答案为：414（5分）已知向量满足，且，则的夹角是【解答】解：向量满足，且，可得=6，4=6，可得cos=则的夹角是：故答案为：15（5分）已知tan=2，则的值等于【解答】解：=cos（2+）=sin（2）=cos2而cos2=且tan=2则原式=2cos2=故答案为：16（5分）已知数列an的前n项和Sn，若an+1+（1）nan=n，则S40=420【解答】解
14、：由an+1+（1）nan=n，当n=2k时，有a2k+1+a2k=2k，当n=2k1时，有a2ka2k1=2k1，当n=2k+1时，有a2k+2a2k+1=2k+1，得：a2k+1+a2k1=1，+得：a2k+2+a2k=4k+1，a2k1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2S40=4（1+3+19）+20=+20=420故答案为：420三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17（12分）已知向量（xR），设函数f（x）=1（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，若f（A）=2
15、，B=，边AB=3，求边BC【解答】解：由已知得到函数f（x）=1=2cos2x+2sinxcosx1=cos2x+sin2x=2cos（2x）；所以（1）函数f（x）的单调增区间是（2x）2k，2k，即xk，k+，kZ；（2）已知锐角ABC的三个内角分别为A，B，C，f（A）=2，则2cos（2A）=2，所以A=，又B=，边AB=3，所以由正弦定理得，即，解得BC=18（12分）已知等差数列an的公差d0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn【解答】解：（1）由题意得解得，an=4n+2；（2），
16、19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC（1）求证：DC平面PAC；（2）求证：平面PAB平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由【解答】（1）证明：PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC，DCAC，PCAC=C，DC平面PAC；（2）证明：ABDC，DCAC，ABAC，PC平面ABCD，AB平面ABCD，PCAB，PCAC=C，AB平面PAC，AB平面PAB，平面PAB平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA平面CEF点E为AB的中点，EFPA，PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面C
17、EF20（12分）已知数列an的前n项和为Sn已知a1=2，Sn+1=4an+2（1）设bn=an+12an，证明数列bn是等比数列；（2）求数列an的通项公式【解答】（1）证明：由已知得a1+a2=4a1+2，解得a2=8，b1=a22a1=4又有an+2=Sn+2Sn+1=4an+1+2（4an+2）=4an+14an，所以an+22an+1=2（an+12an），即bn+1=2bn，因此数列bn是首项为4，公比为2的等比数列（2）解：由（1）得等比数列bn中b1=4，q=2，所以，因此数列是首项为1，公差为1的等差数列，21（12分）已知f（x）=ln（a+x）x（1）求函数f（x）的单
18、调区间；（2）当x0时，恒成立，求a的取值范围；（3）求证：当时，【解答】解：（1）f（x）=1=，令f（x）=0，解得：x=1a，x（a，1a）时，f（x）0，x（1a，+）时，f（x）0，f（x）在（a，1a）递增，在（1a，+）递减；（2）令g（x）=f（x）+=ln（x+a）+x=ln（x+a）0，故x+a，即ax恒成立，令t=（0，1），则aet+恒成立，令（t）=et+，则（t）=，下面证明（t）0，ett+1，且t（0，1）时，（t1）2（t+1）=t2t0，ett+1（t1）20，（t）=et0，（t）递减，a（0）=1，即a的范围是1，+）；（3）由（2）可知：a=1，x0时
19、，ln（x+1），当x（0，）时，令m（x）=xsinx，则m（x）=1cosx0，m（x）递增，m（x）0，即xsinx0，又n（x）=在（0，+）递增，故，故请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为=0，其中0满足tan0=，l与C交于A，B两点，求|AB|的值【解答】解：（1）圆C的参数方程为（为参数），普通方程为x2+（y+6）2=25，极坐标方程为2+
20、12sin+11=0；（2）设A，B所对应的极径分别为1，2，则1+2=12sin0，12=11tan0=，sin20=，|AB|=|12|=6选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x2|x+3|（1）求不等式f（x）3的解集；（2）若不等式f（x）a26a解集非空，求实数a的取值范围【解答】解：（1）由已知得|x2|x+3|3，当x3时2x+x+33解集为空集；当3x2时2x（x+3）3解得2x2；当x2时x2（x+3）3解得x2；故所求不等式的解集为2，+）（2）因为|f（x）|=|x2|x+3|x2x3|=5，所以5f（x）5，即f（x）的最小值为5，要不等式f（x）a26a解集非空，需f（x）mina26a，从而a26a+50，解得a1或a5，所以a的取值范围为（，1）（5，+）第21页（共21页）