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1、2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示,如图,光滑斜面上一个木块受到重力G的作用.,G,O,一.向量正交分解:,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,二.平面向量的坐标表示,取与x轴、y轴方向相同的两单位向量i、j作为基底,则对于平面内任一向量a，由平面向量基本定理可知：,有且只有一对实数x、y，使得,其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.,2.向量的坐标表示：,把=(x,y)叫做向量的坐标表示,以下三个特殊向量的坐标是：,=,=,=,(1,0),(0,1),(0,0),a,O,Y,X,两个向量相等的等价条件是两个向量坐标相等,思考：如图，在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,
2、1),C(3,4),D(5,7).设，填空：,（1）,（2）若用来表示，则：,1,1,3,5,4,7,（3）向量能否由表示出来？可以的话，如何表示？,概念理解,O,x,y,A,两者相同,概念理解,3两个向量相等的条件，利用坐标如何表示？,例1.如图，分别用基底，表示向量、，并求出它们的坐标。,A,A1,A2,解：如图可知,同理,2.3.3平面向量的坐标运算,2.3.3平面向量的坐标运算,两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.,B,A,任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.,思考：如图,
3、已知点A(x1,y1),B(x2,y2)，求向量的坐标。,思考：在上图中，如何确定坐标为(x2x1，y2y1)的点P的位置？,向量的坐标和以原点为始点、点P为终点的向量的坐标相同.,2.两个向量相等，则向量的坐标是相同的，但是起点和终点的坐标却不一定相同。,结论：1.若向量的起点在原点时，则向量的坐标等于向量的终点坐标。,3.点的坐标是反映点的位置，它由点的位置决定，向量的坐标反映的是向量的大小和方向，由大小和方向决定，与位置无关。,练习：,练习：,(1)A(3,5),B(6,9)A(-3,4),B(6,3)A(0,3),B(0,5)(4)A(3,0),B(8,0),例3.如图，已知的三个顶点
4、A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。,解法：设点D的坐标为（x,y）,解得x=2,y=2,所以顶点D的坐标为（2，2）,例3.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。,解法2：由平行四边形法则可得,而,所以顶点D的坐标为（2，2）,一种：是利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，另一种：利用向量加法的平行四边形法则求得的坐标，从而得到点D的坐标。,例4已知,以为一组基底来表示,思考：如果已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及,若点P在第二象限内，则点t的取值范围是？,O(0,0),A(1,2),B(4,5),=（1，2），,=（3，3）,而,=（1，2）+t(3,3)=(3t+1,3t+2),P(3t+1,3t+2)，而点P在第二象限内,解得,解：,