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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高中数学解题中的参数思想范仲淹、欧阳修散文语言风格的比较高中数学解题中的参数思想有关参数问题的解法是高中数学教与学和难点之一.由参数引起的讨论，一般说来无非两种情形：要么给定命题结论，由此去探求参数的取值范围；要么由参数的取值范围去探求命题在参数的制约下可能出现的各种结果，从而归纳出原命题的正确结论.2.1定义法“数学概念是以定义的方式表述的，巧妙的解法常来源于对定义
2、的理解和使用. ” 2在有关参数问题中，同样要重视定义解题.由“最值”的定义可知“有实根且f (x ) M 恒成立，有实根，且f (x ) m 恒成立.” 3 据此定义可简单处理一些有关最值的题目.例1 已知函数的最大值为4，最小值为，试求的值.解：方程，即有实根，且不等式，即恒成立，于是有且，即；同样由.最后解得.由此可见与二次函数有关的逆向最值问题利用最值的定义都可归为其判别式“”，由此可使问题获解.2.2变量代换法一些含参数问题的题目往往隐晦生疏难以入手，但是若把某些字母或代数式实施变量代换，往往就可化难为易，化繁为简.例2 设对所有的实数，不等式 恒成立，求的取值范围.解：设，所给不等
3、式大于0恒成立恒成立，即恒成立恒成立，即，则有恒成立，故有.本题的常规解法要用恒成立的条件进行分类讨论，十分繁琐.这里先对原式作变量代换进行转化，得到精巧别致的解法.2.3分离参数法有些参数问题，若能将已知式中的未知数和参数分离开来，就可把求参数范围的问题转化为求函数的值域或最值问题，从而快速求解.例34 设函数（且），若在上有意义，求的取值范围.解：在上有意义，则在，时恒成立，即能恒成立，于是只需求在，时的最大值，由是增函数可知：当时，故.此题通过分离从那参数n 使得解题速度和难度都得到了质的变化.2.4数形结合法数形结合是一种常用的数学思想方法，用的是通过“数”与“形”之间的对应与转化来解
4、决数学问题的思想.在某些参数问题中，只要善于把问题的数量特征结合图形进行分析，往往能借助图像性质而有利于解决问题.例 4 已知方程在区间上有两个不相等的实根，求的取值范围.解：由题意可知：.两边平方得：，原命题可转化为抛物线与直线在区间上有两个不同的交点.结合图形分析得到：当时，有，从而有；当时，有，从而有，故有.本题的常规解法是运用一元二次方程有关实根的分布来求解，过程较为复杂.运用这一数形结合的解法，转化为抛物线与直线的交点个数的讨论.2.5正难则反法有些含参数问题从正面不易入手或不能解决，而它的反面情况则较为简单，这时根据“正难则反”的原则，应用补集的思想逆向思维，从反面寻求解决，则往往
5、容易凑效.例5若关于的方程，至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围.解：当三个方程均无实数根有：，解之得：， 视R为全集，用“补集法”易得时至少有一个方程有实数根.本题若从正面入手，讨论较为繁琐，则从反面思考、解决.正是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”.3 几种常见的含参数的数学问题上面简单介绍了几种常见的关于解含参数数学问题的常用方法，同时也明确了参数思想的运用对于解决某些特殊数学问题有着极为便捷的效果，那么下面我们就重点分析几种常见的含参数的数学问题.3.1含参数的二次函数含参数二次函数区间最值问题是一种常见的题型，解这类问题的常规方法是根据函数图像的对称轴与定义域区间的相对位置队参数
6、进行讨论.例65 已知函数，问是否存在实数、使的定义域和值域都为，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由.分析：，按常规需分等三种情况论证，但考虑到，则有，所以区间恒在对称轴左侧，因为在为增函数即，又，故先对定义域区间与对称轴的位置做出判断，是避免分类讨论论的有效策略.例76：已知二次函数，在区间上的最大值为3，求实数的值.分析：因为二次函数在闭区间上有最大值，所以函数的最值只可能在 处取得.若，则，这时，此时对称轴，且，所以在上单调递减，故当时，故符合题意若，则，这时，符合题意若，则，这时，但此时应该在处取得最大值，与取得最大值矛盾，所以不符合题意又易知不符合题意综上可得或为所求 本解法能透
7、过现象看清本质，抓住二次函数在闭区间上的最值所在，一举切中要害.例87：设函数（1） 若在上是增函数，求的取值范围（2） 求在上的最大值解析：当时， （1） 要使在上是增函数，应用，在恒成立，即在上恒成立，而在上的最小值为，又，所以（2） 当时，由得当时，当，所以3.2含参数的一元二次方程例98 当满足什么条件时，方程在内只有两个解.分析：设，则原方程化为，当且仅当在 内有两个不相等的实根时，原方程在内有四个解，所以 例10关于的方程有实根，求实数的取值范围.分析：作变换，原方程有实根，等价于新方程有正跟.此时有两可能：有两正跟，或一正跟一负根 或解得若二次方程在区间或内有解，我们可以作变换或
8、即得关于的新二次方程有正跟，然后再用韦达定理求解.3.3含参数的不等式含参数不等式的问题，是中学数学中最为常见的提醒之一.例11 9 已知时不等式恒成立，求的取值范围.分析：若分，三种情况讨论，在运用条件得出的范围，过程复杂且有一定的思维难度.我们不妨改变解法，换种思维，设，问题即为求关于的函数在恒负的条件.当时，即时，当时，由 得 综合得出 例1210 已知关于的不等式的解为，解关于的不等式.分析：因为不等式的解为，所以且，由此得 且，从而，于是不等式化为解之得利用方程中参数间的关系，巧妙的消去参数，不失为一种妙法.3.4参数方程和含参数的方程此种类型我们以曲线的参数方程与含参数的曲线方程为
9、例，这也是解析几何中的两类即相互区别又相互联系的常见问题.例13 11 已知两定点,是圆上的任意一点，求使的最小值以及点的坐标.分析：若设点坐标为，则是与的二次函数式，不利于求最小值，若将圆写成参数方程形式，则关于参数的一元函数.有利于求其最小值，圆的参数方程是，可设点的坐标为.此时= = =其中满足，由此可知，当，即时，取最小值20，这时，故点的坐标为例14 顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，截直线所得的弦长为，求此抛物线的方程.分析：依题意所求的抛物线有开口向左和向右两种可能性，若分别设为，则运算量变大，为此可设所求抛物线为，这里是特定系数.由 消得解，得或有弦长得解得或故与为所求在此题的求
10、解过程中，合理选择参数是其中的关键.3.5多参数的问题多参数问题作为选拨性试题，常在各种考试中出现，此类问题，分析要求高，思维难度大.例1512 实数满足，求的最大值. 分析：5个参数中，可视为主元，故先把条件中的分离出来，在施变换.故由条件可知 下面任意消去，建立关于的一个关系式，可以进行以下变换：-得： = = = = 即 当且仅当时取到.例1613 对一切实数，若二次函数 的值恒非负，求的最小值.分析：由条件对一切恒成立，知且，考虑到式子是关于的齐次二次分式，故可作如下变形令，则由知，故当且仅当， 即 即时等号成立 结论适当的引入参数把证明或求解的关系式转化为求解的关系式，最后可消去参数使问题得以解决，这种思想方法使得一些数学问题（特别是一些较难的数学问题）的解答，思路清晰，运算简便，方法有效，达到事半功倍的效果.参数问题范围广、题型多、方法灵活多变、技巧性强、思维策略很难用几点加以概括， 以上仅是常用的几种.从中不难看出解题时只要善于发掘问题中蕴含的解题机智，注意思维策略，灵活地选择一些“技术性”手段加以处理，必能出奇制胜.-