《2018年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）及答案.docx（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2018年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A=x|x2，B=x|2x1，则AB=（）Ax|0x2Bx|1x2Cx|x0Dx|x22（5分）已知，其中i为虚数单位，aR，则a=（）A1B1C2D23（5分）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1+a3=5，a1a3=4，则S6=（）A31B32C63D644（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内
2、角为30，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A134B866C300D5005（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数当x0时，f（x）=x2x，则不等式f（x）0的解集用区间表示为（）A（1，1）B（，1）（1，+）C（，1）（0，1）D（1，0）（1，+）6（5分）（1+xx2）10展开式中x3的系数为（）A10B30C45D2107（5分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（）A4B8C12D168（5分）已知x表示不超过x的最大整数，如0.5=0，1=1，2.4=2执行如图所示的程序框
3、图，则输出S的值为（）A450B460C495D5509（5分）已知函数（m，n为整数）的图象如图所示，则m，n的值可能为（）Am=2，n=1Bm=2，n=1Cm=1，n=1Dm=1，n=110（5分）已知f（x）=cosx，（0）的图象关于点对称，且f（x）在区间上单调，则的值为（）A1B2CD11（5分）已知抛物线和圆，直线y=k（x1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1x2x3x4），则|AB|CD|的值为（）A1B2CDk212（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面
4、截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）AB3CD4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知ABC是边长为2的等边三角形，E为边BC的中点，则= 14（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为 15（5分）已知双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E的离心率为 16（5分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数则112在这“等差数阵”中出现的次数为 4710a1j71217a2j101724a3j
5、ai1ai2ai3aij三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在ABC中，点D在AB边上，且BCD为锐角，CD=2，BCD的面积为4（1）求cosBCD的值；（2）求边AC的长18（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，ABCD，平面CBE与平面BDE垂直，且CBBE（1）求证：ED平面ABCD；（2）若ABAD，AB=AD=1，且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为，求AF的长19（12分）某协会对A，B两家服务机构进行满意度调查，在A，B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了10
6、00人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50），50，60，得到A服务机构分数的频数分布表，B服务机构分数的频率分布直方图：A服务机构分数的频数分布表分数区间频数0，10）2010，20）3020，30）5030，40）15040，50）40050，60350定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：分数0，30）30，50）50，60满意度指数012（1）在抽样的1000人中，求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数；（2）从在A，B两家服务机构都提供过服务的市民中
7、随机抽取1人进行调查，试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从A，B服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由20（12分）已知椭圆与直线l：bxay=0都经过点直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点（1）求椭圆C的方程；（2）证明：MEF为等腰三角形21（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x1）2（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数
8、方程22（10分）已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角的值选修4-5：不等式选讲.23已知函数f（x）=|2x+1|x|+a，（1）若a=1，求不等式f（x）0的解集；（2）若方程f（x）=2x有三个不同的解，求a的取值范围2018年湖南省株洲市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5
9、分）已知集合A=x|x2，B=x|2x1，则AB=（）Ax|0x2Bx|1x2Cx|x0Dx|x2【解答】解：B=x|2x1=x|x0，AB=x|0x2，故选：A2（5分）已知，其中i为虚数单位，aR，则a=（）A1B1C2D2【解答】解：由，得2=（1i）（a+i）=a+1+（1a）i，即a=1故选：B3（5分）已知等比数列an是递增数列，Sn是an的前n项和若a1+a3=5，a1a3=4，则S6=（）A31B32C63D64【解答】解：设公比为q，因为an是递增的等比数列，所以q0anan1因为a1+a3=a1+a1q2=5，且a10，a30，又a1a3=a22=4，所以得a1=1，a2=
10、2，a3=4，q=2，则S6=（1q6）=q61=641=63故选 C4（5分）如图所示，三国时代数学家赵爽在周髀算经中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30，若向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A134B866C300D500【解答】解：设大正方形的边长为2x，则小正方形的边长为x，向弦图内随机抛掷1000颗米粒（大小忽略不计），设落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为a，则，解得a=1000（）134故选：A5（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数当x0时，f（x
11、）=x2x，则不等式f（x）0的解集用区间表示为（）A（1，1）B（，1）（1，+）C（，1）（0，1）D（1，0）（1，+）【解答】解：根据题意，当x0时，f（x）=x2x，若f（x）0，则有x2x0，解可得x1，即在（1，+）上，f（x）0，反之在（0，1）上，f（x）0，又由函数为奇函数，则在（0，1，）上，f（x）0，在（，1）上，f（x）0，则不等式f（x）0的解集为（1，0）（1，+）；故选：D6（5分）（1+xx2）10展开式中x3的系数为（）A10B30C45D210【解答】解：（1+xx2）10=1+（xx2）10 的展开式的通项公式为Tr+1=（xx2）r对于（xx2）r，
12、通项公式为Tm+1=xrm（x2）m，令r+m=3，根据0mr，r、m为自然数，求得，或（1+xx2）10展开式中x3项的系数为=90+120=30故选：B7（5分）某三棱柱的三视图如图粗线所示，每个单元格的长度为1，则该三棱柱外接球的表面积为（）A4B8C12D16【解答】解：由三棱柱的三视图得该三棱柱是一个倒放的直三棱柱ABCA1B1C1，其中ABC是等腰直角三角形，AB=AC=2，ABAC，AA1平面ABC，AA1=2，如图，该三棱柱外接球的半径R=，该三棱柱外接球的表面积：S=4r2=4=12故选：C8（5分）已知x表示不超过x的最大整数，如0.5=0，1=1，2.4=2执行如图所示的
13、程序框图，则输出S的值为（）A450B460C495D550【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=+的值，S=+=100+101+102+109+10=10+20+30+90+10=460故选：B9（5分）已知函数（m，n为整数）的图象如图所示，则m，n的值可能为（）Am=2，n=1Bm=2，n=1Cm=1，n=1Dm=1，n=1【解答】解：根据图象可得f（1）=（1，2），当n=1时，不满足，故排除A，D； 当m=n=1时，f（x）=，恒成立，故函数f（x）无极值点，故不符合题意，故选：B10（5分）已知f（x）=cosx，（0）的图象关于点对称，且f（x）在区间上单
14、调，则的值为（）A1B2CD【解答】解：f（x）的图象关于（，0）对称，cos=0，=+k，kZ，解得=+，kZ；令kx+k，解得x+，kZ；f（x）在0，上是单调减函数，f（x）在（0，）上单调，解得；又0，=故选：D11（5分）已知抛物线和圆，直线y=k（x1）与C1，C2依次相交于A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）四点（其中x1x2x3x4），则|AB|CD|的值为（）A1B2CDk2【解答】解：y2=4x，焦点F（1，0），准线 l0：x=1由定义得：|AF|=xA+1，又|AF|=|AB|+1，|AB|=xA，同理：|CD|=xD，由题意可知直线l
15、的斜率存在且不等于0，则直线l的方程为：y=k（x1）代入抛物线方程，得：k2x2（2k2+4）x+k2=0，xAxD=1，则|AB|CD|=1综上所述，|AB|CD|=1，故选：A12（5分）已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1，分别交于三点M，N，Q，若MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（）AB3CD4【解答】解：如图，不妨设N在B处，AM=h，CQ=m，则有MB2=h2+4，BQ2=m2+4，MQ2=（hm）2+4由MB2=，=BQ2+MQ2m2hm+2=0=h280h28该直角三角形斜边M
16、B=故选：C二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（5分）已知ABC是边长为2的等边三角形，E为边BC的中点，则=3【解答】解：E为等边三角形ABCBC的中点，BAE=30，AE=，=|cos30=2cos30=3，故答案为：314（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点C时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大由，解得C（2，0）将C（2，0）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=22+0=4即z=2x+y的最大值为
17、4故答案为：415（5分）已知双曲线E经过正方形的四个顶点，且双曲线的焦距等于该正方形的边长，则双曲线E的离心率为【解答】解：根据题意，如图：设双曲线E经过的正方形的四个顶点为A、B、C、D，其A在第一象限，双曲线的两个焦点为F1、F2，连接AF1，若双曲线的焦距等于该正方形的边长，则有|F1F2|=2c，|AF2|=c，则有|AF1|=c，则2a=|AF1|AF2|=（1）c，则双曲线的离心率e=；故答案为：16（5分）如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数则112在这“等差数阵”中出现的次数为74710a1j71217a2j101724a3ja
18、i1ai2ai3aij【解答】解：根据图象和每行、每列都是等差数列，该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j1）第i行是首项为4+3（i1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3（i1）+（2i+1）（j1）=2ij+i+j，要找112在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i，j，使得2ij+i+j=112，所以j=，当i=1时，j=37，当i=2时，j=22，当i=4时，j=12，当i=7时，j=7，当i=12时，j=4，当i=22时，j=2，当i=37时，j=1112在这“等差数阵”中出现的次
19、数为7故答案为：7三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12分）在ABC中，点D在AB边上，且BCD为锐角，CD=2，BCD的面积为4（1）求cosBCD的值；（2）求边AC的长【解答】解：（1），则：，；（2）在BCD中，由余弦定理得：DB2=CD2+BC22CDBCcosBCD=16，即DB=4，DB2+CD2=BC2，BCD=90，即ACD为直角三角形，A=30，AC=2CD=418（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ADEF为矩形，四边形ABCD为梯形，ABCD，平面CBE与平面BDE垂直，且CBBE（1）求证：ED平面ABCD
20、；（2）若ABAD，AB=AD=1，且平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为，求AF的长【解答】证明：（1）因为平面CBE与平面BDE垂直，且CBBE，平面CBE与平面BDE的交线为BE，所以CB面BDE，又ED面BDE，所以，CBED，在矩形ADEF中，EDAD，又四边形ABCD为梯形，ABCD，所以AD与CB相交，故ED平面ABCD解：（2）由（1）知，ED垂直DA，ED垂直DC，又AD垂直AB，AB平行CD，所以DC垂直DA，如图，以D为坐标原点，DA、DC、DE分别为x，y，z轴建立空间坐标系又CBBD，CDB=45，所以DC=2，设DE=a，则B（1，1，0），C（0，2，0
21、），E（0，0，a），=（1，1，a），=（1，1，0）设平面BEC的法向量为，则，令x=1，则，所以平面BEC的法向量为，平面ADEF的法向量为，因为平面BCE与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为，则，即，解得a=1，即AF=DE=119（12分）某协会对A，B两家服务机构进行满意度调查，在A，B两家服务机构提供过服务的市民中随机抽取了1000人，每人分别对这两家服务机构进行评分，满分均为60分整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50），50，60，得到A服务机构分数的频数分布表，B服务机构分数的频率分布直方图：A服务机
22、构分数的频数分布表分数区间频数0，10）2010，20）3020，30）5030，40）15040，50）40050，60350定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：分数0，30）30，50）50，60满意度指数012（1）在抽样的1000人中，求对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数；（2）从在A，B两家服务机构都提供过服务的市民中随机抽取1人进行调查，试估计其对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从A，B服务机构中选择一家服务机构，你会选择哪一家？说明理由【解答】解：（1）由对B服务机构的频率分布直方图，得：对B服务机构“满意度指数”
23、为0的频率为（0.003+0.005+0.012）10=0.2，所以，对B服务机构评价“满意度指数”为0的人数为10000.2=200人（2）设“对B服务机构评价满意度指数比对A服务机构评价满意度指数高”为事件C记“对B服务机构评价满意度指数为1”为事件B1；“对B服务机构评价满意度指数为2”为事件B2；“对A服务机构评价满意度指数为0”为事件A0；“对A服务机构评价满意度指数为1”为事件A1所以P（B1）=（0.02+0.02）10=0.4，P（B2）=0.4，由用频率估计概率得：P（A0）=0.1，P（A1）=0.55，因为事件Ai与Bj相互独立，其中i=1，2，j=0，1所以P（C）=P
24、（B1A0+B2A0+B2A1）=0.3，所以该学生对B服务机构评价的“满意度指数”比对A服务机构评价的“满意度指数”高的概率为 0.3（3）如果从学生对A，B两服务机构评价的“满意度指数”的期望角度看：B服务机构“满意度指数”X的分布列为： X 0 1 2 P 0.2 0.4 0.4A服务机构“满意度指数”Y的分布列为： Y0 1 2P 0.1 0.55 0.35因为E（X）=00.2+10.4+20.4=1.2；E（Y）=00.1+10.55+20.35=1.25，所以E（X）E（Y），会选择A服务机构20（12分）已知椭圆与直线l：bxay=0都经过点直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B
25、两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点（1）求椭圆C的方程；（2）证明：MEF为等腰三角形【解答】解：（1）由直线l：bxay=0都经过点，则a=2b，将代入椭圆方程：，解得：b2=4，a2=16，椭圆C的方程为；（2）证明：设直线m为：，A（x1，y1），B（x2，y2）联立：，整理得x2+2tx+2t28=0，x1+x2=2t，x1x2=2t28，设直线MA，MB的斜率为kMA，kMB，要证MEF为等腰三角形，只需kMA+kMB=0，由，kMA+kMB=，=0，所以MEF为等腰三角形21（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x1）2（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x
26、）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：【解答】解：（1），当0a2时，f（x）0，y=f（x）在（0，+）上单调递增，当a2时，设2ax22ax+1=0的两个根为，且，y=f（x）在（0，x1），（x2，+）单调递増，在（x1，x2）单调递减（2）证明：依题可知f（1）=0，若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，由（1）可知a2，且于是：由得，设，则，因此g（x）在上单调递减，又，根据零点存在定理，故请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）已知曲线C的极坐标方程是=4cos以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
27、x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角的值【解答】选修44：坐标系与参数方程（本小题满分（10分），第（1）问（5分），第（2）问5分）解：（1）由曲线C的极坐标方程是=4cos，得2=4cosx2+y2=2，x=cos，y=sin，曲线C的直角坐标方程为x2+y24x=0，即（x2）2+y2=4（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入圆的方程，得：（tcos1）2+（tsin）2=4，化简得t22tcos3=0设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，|AB|=|
28、t1t2|=，4cos2=1，解得cos，或选修4-5：不等式选讲.23已知函数f（x）=|2x+1|x|+a，（1）若a=1，求不等式f（x）0的解集；（2）若方程f（x）=2x有三个不同的解，求a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）0可化为：|2x+1|x|10，或或，（3分）解得：x2或x0，（4分）不等式的解集为（，20，+） （5分）（2）由f（x）=2x得：a=2x+|x|2x+1|，令g（x）=2x+|x|2x+1|，则：，（7分）作出函数y=g（x）的图象如图示，易知，结合图象知：当时，函数y=a与y=g（x）的图象有三个不同交点，即方程f（x）=2x有三个不同的解，（9分）a的取值范围为 （10分）第28页（共28页）