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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date高一数学必修一易错题集锦答案高一数学必修一易错题集锦答案高一数学必修一易错题集锦答案1. 已知集合M=y|y =x21,xR,N=y|y =x1,xR，则MN=（ ）解：M=y|y=x21,xR=y|y1， N=y|y=x1,xR=y|yRMN=y|y1y|(yR)=y|y1, 注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分x|y=x21、y|y=x21
2、,xR、(x,y)|y=x21,xR，这三个集合是不同的2 .已知A=x|x23x2=0,B=x|ax2=0且AB=A，求实数a组成的集合C解：AB=A BA 又A=x|x23x2=0=1，2B=或C=0，1，2 3 。已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：m+n (填A,B,C中的一个)解：mA, 设m=2a1,a1Z, 又n,n=2a2+1,a2 Z ,m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , m+nB。 4 已知集合A=x|x23x100，集合B=x|p1x2p1若BA，求实数p的取值范围解：当B时，即p12p1p2.由BA得：2p1且2p15.由3p3. 2p3当
3、B=时，即p12p1p2.由、得：p3.点评：从以上解答应看到：解决有关AB=、AB=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题5 已知集合A=a,ab,a2b，B=a,ac,ac2若A=B，求c的值分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式 解：分两种情况进行讨论 （1）若ab=ac且a2b=ac2，消去b得：aac22ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a0c22c1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解（
4、2）若ab=ac2且a2b=ac，消去b得：2ac2aca=0，a0，2c2c1=0，即(c1)(2c1)=0，又c1，故c=点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.6 设A是实数集，满足若aA，则A，且1A.若2A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素A能否为单元素集合？请说明理由.若aA，证明：1A.求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：2A 1A A 2A A中至少还有两个元素：1和如果A为单元素集合，则a即0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集aA A AA，即1A由知aA时，A， 1A .现在证明a,1, 三数互不相等.若a=,即
5、a2-a+1=0 ，方程无解，a若a=1，即a2-a+1=0，方程无解a1 若1 =，即a2-a+1=0，方程无解1.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. 7 设Ma，b，c，N2,0,2,求（1）从M到N的映射种数；（2）从M到N的映射满足 (a)(b)f(c),试确定这样的映射的种数.解：（1）由于Ma，b，c，N2,0,2，结合映射的概念，有一共有27个映射（2）符合条件的映射共有4个8.已知函数的定义域为0，1，求函数的定义域解：由于函数的定义域为0，1，即满足，的定义域是1，0 9根据条件求下列各函数的解析式：（1）已知是二次函
6、数，若，求.（2）已知，求（3）若满足求解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解设由于得，又由，即因此：(2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解设（）（3）由于为抽象函数，可以用消参法求解用代可得：与联列可消去得：.点评：求函数解析式（1）若已知函数的类型，常采用待定系数法；（2）若已知表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法.10 已知，试求的最大值.分析：要求的最大值，由已知条件很快将变为一元二次函数然后求极值点的值，联系到，这一条件，既快又准地求出最大值.解 由 得又当时，有最大值，最大值为点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深
7、刻性.大部分学生的作法如下：由 得 当时，取最大值，最大值为这种解法由于忽略了这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.11设是R上的函数，且满足并且对任意的实数都有，求的表达式.解法一：由，设，得，所以解法二：令，得即又将用代换到上式中得点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数的奇偶性.解：有意
8、义时必须满足即函数的定义域是，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数13 判断的奇偶性.正解：方法一：是奇函数方法二：是奇函数14函数y=的单调增区间是_.解：y=的定义域是，又在区间上增函数，在区间是减函数，所以y=的增区间是15已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,求x的取值范围.解：由,故0x,又f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,综上得2x,即A=x|2x,16 作出下列函数的图像(1)y=|x-2|(x1)；(2).分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质
9、分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想.解：(1)当x2时，即x-20时，当x2时，即x-20时，所以这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图)(2)当x1时，lgx0，y=10lgx=x；当0x1时，lgx0，所以这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图)点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像.17若f(x)= 在区间（2
10、，）上是增函数，求a的取值范围解：设 由f(x)=在区间（2，）上是增函数得 a 点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉.18已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.(2)先证f(x)在
11、(0，1)上单调递减.令0x1x21,则f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由题意知f()0，即f(x2)0, 且a2a+1=(a)2+0, 1+2x+4xa0, a,当x(, 1时, y=与y=都是减函数， y=在(, 1上是增函数，max=, a, 故a的取值范围是(, +). 点评：发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系、反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现.本题主客换位后，利用新建函数
12、y=的单调性转换为函数最值巧妙地求出了实数a的取值范围.此法也叫主元法. 23若，试求的取值范围.解：幂函数有两个单调区间，根据和的正、负情况，有以下关系解三个不等式组：得，无解，1的取值范围是（，1）（，）点评：幂函数有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认为，从而导致解题错误.24 已知a0 且a1 ,f (log a x ) = (x ) (1)求f(x)； (2)判断f(x)的奇偶性与单调性； (3)对于f(x) ,当x (1 , 1)时 , 有f( 1m ) +f (1 m2 ) 0即0.综合得（2）依题意知，又点评：解决本题的关健有三：一是用作差比较法证明不等式；
13、二是正确选择二次函数的表达式，即本题选用两根式表示；三要知道二次函数的图像关于直线对称，此直线为二次函数的对称轴，即31已知函数，且方程有实根. (1)求证：-3c-1,b0. (2)若m是方程的一个实根，判断的正负并加以证明分析：（1）题中条件涉及不等关系的有和方程有实根.及一个等式，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断的符号，因而只要研究出值的范围即可定出符号.(1)证明：由，得1+2b+c=0,解得，又，1解得，又由于方程有实根，即有实根，故即解得或，由，得0.（2）=，cm1（如图）c4m43c.的符号为正.点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函
14、数的图像及性质解题. 32定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，.（1）试求的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设，若，试确定的取值范围.（4）试举出一个满足条件的函数.解：（1）在中，令.得：.因为，所以，.（2）要判断的单调性，可任取，且设.在已知条件中，若取，则已知条件可化为：.由于，所以.为比较的大小，只需考虑的正负即可.在中，令，则得. 时， 当时，.又，所以，综上，可知，对于任意，均有. . 函数在R上单调递减.（3）首先利用的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含的式子.，即.由，所以，直线与圆面无公共点.所以，.解得 .（4）如.点评：根据题意，将一般问题特
15、殊化，也即选取适当的特值（如本题中令；以及等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决.33设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值.解：（1）当时，函数此时，为偶函数当时，此时既不是奇函数，也不是偶函数（2）（i）当时，当，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为.若，则函数在上的最小值为，且.（ii）当时，函数若，则函数在上的最小值为，且若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为.综上，当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为当时，函数的最小值为.点评：（1）探索函数的奇偶性，可依据定义，通过代入有，即 可得
16、，当时，函数函数为偶函数.通过可得 化得 此式不管还是都不恒成立，所以函数不可能是奇函数.（2）由于本题中含有绝对值，需要去掉，故分类讨论，既要对二次函数值域的研究方法熟练掌握，又要将结论综合，对学生的综合运用数学知识能力及数学思想作了较好的考查.34某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息).已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月1
17、30元.（1）若当销售价p为52元件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？分析：本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面.由题目的问题找到关键词“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关.从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题.为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答.由于销售量和各种支出
18、均以月为单位计量，所以，先考虑月利润.解：（1）设该店的月利润为S元，有职工m名.则.又由图可知：.所以，由已知，当时，即，解得.即此时该店有50名职工.（2）若该店只安排40名职工，则月利润.当时，求得时，S取最大值7800元.当时，求得时，S取最大值6900元.综上，当时，S有最大值7800元.设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有.解得.所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.点评：求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义.（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题.（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型.-