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1、弯曲应力与强度计算弯曲应力与强度计算1 1 梁弯曲时横截面上的正应力梁弯曲时横截面上的正应力 2 2 弯曲切应力弯曲切应力 3 3 梁的强度计算梁的强度计算 4 4 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 横弯曲和纯弯曲横弯曲和纯弯曲102平面弯曲时梁的横截面上有两平面弯曲时梁的横截面上有两个内力分量：弯矩和剪力。个内力分量：弯矩和剪力。例如：例如：AC和和DB段。段。梁在垂直梁在垂直梁轴线的横向力作用下，梁轴线的横向力作用下，横截横截面将同时产生弯矩和剪力面将同时产生弯矩和剪力。这。这种弯曲种弯曲称为称为横力弯曲简称横弯横力弯曲简称横弯曲曲。 例如：例如：CD段。段。梁在垂直梁轴梁在垂直梁轴线
2、的横向力作用下，线的横向力作用下，横截面上横截面上只有弯矩没有剪力。只有弯矩没有剪力。称为称为纯弯纯弯曲。曲。 中性轴：中性轴：中性层与梁的横截面的交线。中性层与梁的横截面的交线。 垂直于梁的纵向对称面。垂直于梁的纵向对称面。中性轴的概念中性轴的概念103设想梁由平行于轴线的众多纵向设想梁由平行于轴线的众多纵向纤维组成，弯曲时一侧纵向纤维纤维组成，弯曲时一侧纵向纤维伸长，一侧纵向纤维缩短，总有伸长，一侧纵向纤维缩短，总有一层既不伸长也不缩短，称为一层既不伸长也不缩短，称为中中性层：性层：纯弯曲的基本假设：纯弯曲的基本假设：103纯弯曲的基本假设：纯弯曲的基本假设：平面假设：平面假设：梁的横截面
3、在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后梁的横截面在弯曲变形后仍然保持平面，且与变形后的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。的轴线垂直，只是绕截面的某一轴线转过了一个角度。单向受力假设：单向受力假设：各纵向纤维之间相互不挤压。各纵向纤维之间相互不挤压。横向线横向线( (mm、nn): ): 仍保持为直线，仍保持为直线，发生了相对转动，仍与弧线垂直。发生了相对转动，仍与弧线垂直。实验观察变形实验观察变形纵向线纵向线( (aa、bb) )：变为弧线，凹侧变为弧线，凹侧缩短，凸侧伸长。缩短，凸侧伸长。直接导出弯曲正应力直接导出弯曲正应力梁横截面上的弯矩梁横截面上的弯矩弯曲正应力公式的推导弯曲正
4、应力公式的推导103-105103-105 弯曲梁的横截面上弯曲梁的横截面上正应力正应力l变形的几何关系变形的几何关系l物理关系物理关系l静力关系静力关系 横力弯曲时横截面上的正应力横力弯曲时横截面上的正应力在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和但有正应力还有剪应力。因此，梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。各纵向纤维之间无挤压的假设都不成立。虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但是应用纯弯曲时正
5、应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，应力计算公式来计算横力弯曲时的正应力，所得结果误差不大，足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比足以满足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其误差越小。越大，其误差越小。 弯曲时横截面上的正应力弯曲时横截面上的正应力105 MZ: 横截面上的弯矩横截面上的弯矩y: 所求应力点到中性轴的距离所求应力点到中性轴的距离IZ: 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩dxmmnnozyo中性轴dAWz 称为称为抗弯截面系数。抗弯截面系数。它与它与截面的几何形状有关，单位为截面的几何形状有关，单位为m3。zIyMmaxmaxmax maxy
6、IWzzzWMmaxmaxP105横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，最大正应最大正应力力 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即即 max引用记号引用记号 则则 对于宽为对于宽为 b ，高为，高为 h 的矩形截面的矩形截面maxyIWzz对于直径为对于直径为 D 的圆形截面的圆形截面maxyIWzz对于内外径分别为对于内外径分别为 d 、D 的空心圆截面的空心圆截面maxyIWzz2/12/3hbh62bh2/64/4DD323D2/64/ )1 (44DD)1 (3243D抗弯截面系数抗弯截
7、面系数106如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就如果梁的最大工作应力，不超过材料的许用弯曲应力，梁就是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件为是安全的。因此，梁弯曲时的正应力强度条件为 zWMmaxmax对于抗拉和抗压强度相等的材料对于抗拉和抗压强度相等的材料 ( (如炭钢如炭钢) )，只要绝对值最大，只要绝对值最大的正应力不超过许用弯曲应力即可。的正应力不超过许用弯曲应力即可。对于抗拉和抗压不等的材料对于抗拉和抗压不等的材料 ( (如铸铁如铸铁) )，则最大的拉应力和最，则最大的拉应力和最大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。大的压应力分别不超过各自的许用弯曲应力。1. 矩
8、形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力109y =0，即中性轴上各点处：即中性轴上各点处： ，2hy0bhFQmax23即横截面上、下边缘各点处：即横截面上、下边缘各点处： AFQ23*zZQSI bmaxbzyA2h2hy0y常见梁横截面上的最大剪应力常见梁横截面上的最大剪应力（1）矩形截面梁）矩形截面梁AQ23max（2）工字形截面梁）工字形截面梁dhQ1max （3）圆截面梁）圆截面梁AQ34max h1_腹板的高度腹板的高度d_腹板的宽度腹板的宽度（4）空心圆截面梁）空心圆截面梁AQ2max 2. 工字形截面梁的弯曲切应力工字形截面梁的弯曲切应力111 腹板上的切应力腹板上的切应力
9、 bSzIzFmax Qmax为腹板厚度b可查表maxSzIzbhFQmax可近似写为在在y =0处处，即中性轴上各点处：，即中性轴上各点处： 2max maxQ34RFyAFQ343. 圆形截面梁的弯曲剪应力圆形截面梁的弯曲剪应力1104. 薄壁圆环形截面梁的弯曲剪应力薄壁圆环形截面梁的弯曲剪应力110 因为薄壁圆环的壁厚因为薄壁圆环的壁厚 t 远小于平均半径远小于平均半径 R ，故可以认为剪应力，故可以认为剪应力 沿壁厚均匀分布，方向与圆周相切。沿壁厚均匀分布，方向与圆周相切。最大剪应力仍发生在中性轴上，其值为最大剪应力仍发生在中性轴上，其值为 AFQ*2max max满足弯曲正应力强度条
10、件的梁，一般都能满足剪应力的强满足弯曲正应力强度条件的梁，一般都能满足剪应力的强度条件。因而可不对切应力进行强度校核度条件。因而可不对切应力进行强度校核 梁的强度条件梁的强度条件1151 1、梁的正应力强度条件：、梁的正应力强度条件：2 2、梁的切应力强度条件：、梁的切应力强度条件：必须进行剪应力的强度校核的情况：必须进行剪应力的强度校核的情况： (1) (1) 梁的跨度较短，或在支座附近作用梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷较大的载荷；以致梁；以致梁的弯矩较小，而剪力很大。的弯矩较小，而剪力很大。 (2) (2) 焊接或铆接的焊接或铆接的工字梁工字梁，如果，如果腹板较薄而截面高度很大，
11、腹板较薄而截面高度很大，以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时，对腹板应进，这时，对腹板应进行剪应力强度校核。行剪应力强度校核。(3) (3) 经焊接、铆接或胶合而成的组合梁经焊接、铆接或胶合而成的组合梁，一般，一般需对焊缝、铆需对焊缝、铆钉或胶合面钉或胶合面进行剪应力强度校核。进行剪应力强度校核。按强度条件设计梁时，强度条件按强度条件设计梁时，强度条件 WMmaxmax可解决三方面问题：可解决三方面问题：（1）强度校核强度校核；（2）设计截面尺寸设计截面尺寸；（3）计算许可载荷。计算许可载荷。 按强度条件设计梁时，主要是根据梁的弯曲正应力强度条件按
12、强度条件设计梁时，主要是根据梁的弯曲正应力强度条件 WMmaxmax由上式可见，要提高梁的弯曲强度，即降低最大正应力，可以从由上式可见，要提高梁的弯曲强度，即降低最大正应力，可以从两个方面来考虑，两个方面来考虑，一是合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩一是合理安排梁的受力情况，以降低最大弯矩 Mmax 的数值；二是采用合理的截面形状，以提高抗弯截面系数的数值；二是采用合理的截面形状，以提高抗弯截面系数W 的数值。充分利用材料的性能。的数值。充分利用材料的性能。 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施119119 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 一、一、 合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力
13、情况合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。从合理安排作用在梁上的荷载，可以降低梁的最大弯矩。从而提高梁的强度而提高梁的强度 1、使集中力分散、使集中力分散二、二、 合理选择截面合理选择截面当弯矩值一定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成当弯矩值一定时，横截面上的最大正应力与弯曲截面系数成反比，即弯曲截面系数反比，即弯曲截面系数W，越大越好。另一方面，横截面面积越小，越大越好。另一方面，横截面面积越小，梁使用的材料越少，自重越轻，即横截面面积梁使用的材料越少，自重越轻，即横截面面积A，越小越好。，越小越好。因此，因此，合理的横截面形状应该是截面面积合理的横截面形状应该是截面面积 A
14、 较小，而弯曲截较小，而弯曲截面系数面系数 W 较大。较大。我们可以我们可以用比值用比值 来衡量截面形状的合理性。来衡量截面形状的合理性。所以，所以，AW对抗拉和抗压强度相等的材料制成的梁，宜采用中性轴为其对抗拉和抗压强度相等的材料制成的梁，宜采用中性轴为其对称轴的截面对称轴的截面，例如，工字形、矩形、圆形和环形截面等。，例如，工字形、矩形、圆形和环形截面等。 另外，另外，截面是否合理，还应考虑材料的特性。截面是否合理，还应考虑材料的特性。对抗拉和抗压强度不相等的材料制成的梁，由于抗压能力强对抗拉和抗压强度不相等的材料制成的梁，由于抗压能力强于抗拉能力，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。于抗拉能
15、力，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面。 对这类截面，应使最大拉应力和最大压应力同时接近材料的对这类截面，应使最大拉应力和最大压应力同时接近材料的许用拉应力和许用压应力。许用拉应力和许用压应力。三、合理设计梁的外形三、合理设计梁的外形（等强度梁）（等强度梁）在一般情况下，梁的弯矩沿轴线是变化的。因此，在一般情况下，梁的弯矩沿轴线是变化的。因此，在按最大在按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在的截面外，其余截面弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在的截面外，其余截面的材料强度均未能得到充分利用。的材料强度均未能得到充分利用。为了减轻梁的自重和节省材料，常常根据弯矩的变化情况，为了减轻梁的自重和
16、节省材料，常常根据弯矩的变化情况，将梁设计成变截面将梁设计成变截面的。的。在弯矩较大处，采用较大的截面；在弯矩在弯矩较大处，采用较大的截面；在弯矩较小处，采用较小的截面。较小处，采用较小的截面。这种截面沿轴线变化的梁，称为这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁变截面梁。例如：阶梯轴、。例如：阶梯轴、鱼腹梁等。鱼腹梁等。从弯曲强度考虑，理想的变截面梁应该使所有截面上的最大从弯曲强度考虑，理想的变截面梁应该使所有截面上的最大弯曲正应力均相同，且等于许用应力，即弯曲正应力均相同，且等于许用应力，即 )()(maxxWxM这种梁称为这种梁称为等强度梁等强度梁。 2 2、梁的刚度计算、梁的刚度计算弯曲变形
17、与刚度弯曲变形与刚度 1 1、弯曲变形的基本概念、弯曲变形的基本概念3 3、提高梁刚度的措施、提高梁刚度的措施弯曲变形问题弯曲变形问题126126 1 1、弯曲变形的基本概念、弯曲变形的基本概念工程中梁的变形和位移都是弹性的，工程中梁的变形和位移都是弹性的，但设计中，但设计中，对于结构或构件的弹性变形和位移变形都有一对于结构或构件的弹性变形和位移变形都有一定的限制。定的限制。弹性变形和位移过大都会使结构或弹性变形和位移过大都会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。构件丧失正常功能，即发生刚度失效。 弯曲构件除了要满弯曲构件除了要满足强度条件外足强度条件外, , 还需满还需满足刚度条件。如车
18、床主足刚度条件。如车床主轴的变形过大会引起加轴的变形过大会引起加工零件的误差。工零件的误差。 车间内的吊车梁若车间内的吊车梁若变形过大，将使吊车梁变形过大，将使吊车梁上的小车行走困难，出上的小车行走困难，出现爬坡现象。现爬坡现象。弯曲变形问题弯曲变形问题 1 1、弯曲变形的基本概念、弯曲变形的基本概念工程设计中还会有另外一种变形问题，所考虑的不是限制构件的弹性变形和位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性变形。 汽车车架处的钢板弹簧应有较大的变汽车车架处的钢板弹簧应有较大的变形，才能更好地缓冲减振。形，才能更好地缓冲减振。 PAByx1、挠度、挠度：横截面形心沿垂直横截面
19、形心沿垂直于轴线方向的位移。于轴线方向的位移。x 2. 转角转角：变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的：变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度。角度。 w=w(x)称为挠度方程。称为挠度方程。3、轴向位移：、轴向位移：梁变形后，横截面形心将产生水平方向位移，梁变形后，横截面形心将产生水平方向位移，称为轴向位移或水平位移，用称为轴向位移或水平位移，用u表示。但在小变形表示。但在小变形条件下，条件下，通常不考虑。通常不考虑。 xddtan tan xdd 挠曲线挠曲线 梁的变形计算梁的变形计算-积分法积分法127EIxMx)(2 d dd d2 2 挠曲线近似微分方程：挠曲线近似
20、微分方程：C、D 积分常数；由积分常数；由边界条件边界条件和和连续性条件连续性条件确定。确定。若为等截面直梁若为等截面直梁, 其抗弯刚度其抗弯刚度EI为一常量为一常量, 上式可改写成：上式可改写成：)( xMEI 上式积分一次得上式积分一次得转角方程：转角方程：再积分一次再积分一次, 得得挠度方程：挠度方程：CdxxMEIEI )( DCxdxdxxMEI )( 34条件条件：由于梁的变形微小由于梁的变形微小, , 梁变形后其跨长的梁变形后其跨长的改变可略去不计改变可略去不计, , 且且梁的材料在线弹性范围内梁的材料在线弹性范围内工作工作, , 因而梁的挠度和转角均与作用在梁上的因而梁的挠度和
21、转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。载荷成线性关系。 在这种情况下在这种情况下, , 梁在几项载荷梁在几项载荷 ( (如集中力、集如集中力、集中力偶或分布力中力偶或分布力) )同时作用下某一横截面的挠度和同时作用下某一横截面的挠度和转角转角, , 就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加度和转角的叠加，此即为，此即为叠加原理叠加原理。35 梁的变形计算梁的变形计算-叠加法叠加法P133 梁的刚度计算梁的刚度计算1362 设计截面设计截面3 确定许可载荷确定许可载荷 1 刚度校核刚度校核一、刚度条件：一、刚度条件：max max二、应用三种刚度计
22、算：二、应用三种刚度计算：提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施138提高梁的刚度主要指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅和提高梁的刚度主要指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅和荷载有关，还和杆长和梁的弯曲刚度荷载有关，还和杆长和梁的弯曲刚度EI有关，以有关，以P132表表10-1中中2悬臂梁为例，悬臂梁为例，可以通过以下措施提高梁的刚度可以通过以下措施提高梁的刚度EIFplEIFplw232max3max转角挠度提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施提高梁的刚度主要指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅和提高梁的刚度主要指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅和荷载有关，还和杆长和梁的弯曲刚度荷载有关，还和杆
23、长和梁的弯曲刚度EI有关，以有关，以P132表表10-1中中2悬臂梁为例，悬臂梁为例，可以通过以下措施提高梁的刚度可以通过以下措施提高梁的刚度EIFplEIFplw232max3max转角挠度提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施1 1、减小梁的跨度，当梁的长度无法减小时，增加中间支座；、减小梁的跨度，当梁的长度无法减小时，增加中间支座；2 2、选择合理的截面增加惯性矩、选择合理的截面增加惯性矩I IEIFplEIFplw232max3max转角挠度409-1目录构件的承载能力构件的承载能力强度强度刚度刚度稳定性稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不
24、一定能安全可靠地工作。却不一定能安全可靠地工作。41 当当F F小于某一临界值小于某一临界值F Fcrcr，撤去轴向力后，杆的轴线将撤去轴向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态（图恢复其原来的直线平衡形态（图 b b），），则称原来的平衡状则称原来的平衡状态态的是的是。FFQ(a)crFF crFF (b)当当F F增大到一定的临界值增大到一定的临界值 F Fcrcr，撤去轴向力后，杆的轴线将撤去轴向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图（图 c c），），则称原来的平衡状态则称原来的平衡状态的是的是FFQ(
25、a)crFF crFF (b)crFF crFF (c)目录稳定的平衡状态和不稳定状态之间的分界点称为稳定的平衡状态和不稳定状态之间的分界点称为临界点临界点，临界点对，临界点对应的载荷称为应的载荷称为临界荷载。用临界荷载。用FpFpcrcr表示表示。 压杆从直线平衡状态转变压杆从直线平衡状态转变为其他形式平衡状态的过程称为为其他形式平衡状态的过程称为称为称为丧失稳定丧失稳定，简称，简称失稳失稳，也称，也称屈屈曲，屈曲失效具有突发性，在设计时需要认真考虑。曲，屈曲失效具有突发性，在设计时需要认真考虑。FFQ(a)crFF crFF (b)crFF crFF (c)()(xwFxM22d)(d)(
26、xxwEIxMEIFk20)()(222xwkdxxwdEIFk20)()(222xwkdxxwdkxCkxCxwcossin)(210)()0(lww0sin, 012klCC0sin, 012klCCkxCkxCxwcossin)(210sinklnkl ,.)2 , 1 , 0(nlnkEIFk2两端铰支两端铰支一端固定一端自由一端固定一端自由两端固定两端固定一端固定一端铰支一端固定一端铰支欧拉公式欧拉公式22crcr22()FEIEAlAl i则则引入压杆引入压杆长细比长细比或或柔度柔度式中，式中， 为为压杆横截面对中性轴的压杆横截面对中性轴的惯性半径惯性半径。iI A 压杆的临界应力
27、及临界应力总图压杆的临界应力及临界应力总图一、细长压杆的一、细长压杆的临界应力临界应力1852crp2E即 2pppEE或 O p p cr欧拉临界应力曲线欧拉临界应力曲线 通常称通常称 p的压杆为的压杆为大柔度杆大柔度杆或或细长杆细长杆。欧拉公式的应用范围：欧拉公式的应用范围： 如如果压杆的柔度果压杆的柔度 p ，则临界应力，则临界应力 cr大于材料的大于材料的极限应力极限应力 p，此时欧拉公式不再适用。此时欧拉公式不再适用。对于这类压杆，通对于这类压杆，通常采用以试验结果为基础的常采用以试验结果为基础的经验公式来计算其临界应力。经验公式来计算其临界应力。1） s p 中柔度杆或中长杆中柔度
28、杆或中长杆公式公式 式中，式中，a和和b是与材料力学性能有关的常数，一些常用材料是与材料力学性能有关的常数，一些常用材料的的a和和b值见下表。值见下表。二、中长杆和粗短杆的临界应力计算二、中长杆和粗短杆的临界应力计算1862） s的压杆称为的压杆称为小柔度杆小柔度杆或或短粗杆短粗杆，属强度，属强度 破坏，其临界应力为极限应力。破坏，其临界应力为极限应力。 一些常用材料的一些常用材料的a、b、 p、 s值值材材 料料a (MPa)b (MPa) p sQ235钢钢3041.1210061.435号钢号钢4602.571006045号钢号钢4692.6210060硅硅 钢钢5893.8210060
29、铬铬 铝铝 钢钢9805.29550硬硬 铝铝3923.26500铸铸 铁铁338.71.48松松 木木28.70.199590压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图187压杆的临界应力压杆的临界应力 cr与柔度与柔度 之间的关系曲线。之间的关系曲线。 (1)大柔度杆大柔度杆， p， cr p， 按欧拉公式计算。按欧拉公式计算。(2)中柔度杆中柔度杆， s p， 按直线型经验公式计算。按直线型经验公式计算。(3)小柔度杆小柔度杆， s， cr= s， 按强度问题处理。按强度问题处理。细长杆细长杆中长杆中长杆 粗短粗短杆杆9-5目录56stcrpcrwnFFn为工作安全因数wn为规定的稳定安全因数
30、stn 压杆的稳定性设计压杆的稳定性设计9-5目录57 查询。比有关系，通过规范可及长细为折减因数，与材料为稳定许用应力ststcr 提高压杆稳定的措施提高压杆稳定的措施欧拉公式欧拉公式22)( lEIFcr越大越稳定越大越稳定crF1 1）减小压杆长度）减小压杆长度l l2）减小长度系数）减小长度系数（增加支承刚性）（增加支承刚性）3 3）增大截面惯性矩）增大截面惯性矩 I I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）4 4）增大弹性模量）增大弹性模量 E E（合理选择材料）（合理选择材料）1）减小压杆长度）减小压杆长度 l2）减小长度系数）减小长度系数（增加支承刚性）（增加支承刚性）3 3）增大截面惯性矩）增大截面惯性矩 I I（合理选择截面形状）（合理选择截面形状）4 4）增大弹性模量）增大弹性模量 E E（合理选择材料）（合理选择材料）大柔度杆大柔度杆22)( lEIFcr中柔度杆中柔度杆bacr