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1、第3章杆件的强度刚度和稳定性1第1页，共78页，编辑于2022年，星期一一、应力的概念一、应力的概念描述应力的概念：图3.3表示截面被分割成同样大小（共25个）的正方形（单位正方形），内力分布到各个正方形的情况。第一节应力与强度第一节应力与强度 图3.3应力概念及分布2第2页，共78页，编辑于2022年，星期一日常生活中，人们对应力的感觉并不陌生，而且常常有意或无意地增加或减小应力。例如，人的体重W大致是不变的，但人脚下鞋底的应力，则可随着鞋与地面相接触的面积不同而改变，如图3.4所示。图3.4鞋底的应力变化3第3页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.5椅凳上所提供的应力4第4页，共78
2、页，编辑于2022年，星期一图3.6按图钉时所产生的应力分析5第5页，共78页，编辑于2022年，星期一二、轴向拉（压）杆的应力及强度计算二、轴向拉（压）杆的应力及强度计算1）轴向拉（压）杆的应力取一根等直杆，如图3.7（a）所示。在杆的两端施加一对轴向拉力P，现在来观察轴向受拉杆的变形现象，并由此导出应力分布规律。6第6页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.7轴向受拉杆横截面上的应力7第7页，共78页，编辑于2022年，星期一若设横截面的面积为A，则轴力为：由此得出轴向拉伸杆的横截面上正应力计算公式，即：8第8页，共78页，编辑于2022年，星期一讨论：对应轴向压缩杆，式（3.1）同样
3、适用，只不过为压应力，取负值。对轴向拉（压）杆，其横截面上只有正应力而无剪应力。对于材料相同的等直杆，当轴力N不变时，如果杆的截面细小，由式（3.1）可知，因A小，则就大。这就是图3.1中较细之杆容易被拉断的原因。9第9页，共78页，编辑于2022年，星期一当杆作用有几个轴向外力时，可由截面法求得最大轴力Nmax。对于变截面杆（即杆截面面积A并非常量），Nmax所在截面其应力并不一定为最大，因为还需考虑A是否为最小。对于等直杆，其最大正应力发生在Nmax所在的横截面上，此时式（3.1）变为：10第10页，共78页，编辑于2022年，星期一2）强度条件即便已求得最大正应力，尚不能判断杆是否会因强
4、度不足而发生破坏，只有把最大应力和材料强度指标联系起来，才能对此做出结论。等截面轴向拉（压）杆的强度条件为11第11页，共78页，编辑于2022年，星期一式中材料在拉伸（压缩）时的容许应力。它是由材料达到破坏时的极限应力0并除以一个大于1的系数K而得，即:12第12页，共78页，编辑于2022年，星期一13第13页，共78页，编辑于2022年，星期一3）强度计算针对不同的具体情况，由式（3.3）可解决3种不同类型的强度计算问题：（1）校核杆的强度所谓校核强度，就是已知杆的材料、尺寸（即已知和A），并由所承受荷载求得最大轴力Nmax，在此情况下，检验轴向拉（压）杆是否满足式（3.3）：14第14
5、页，共78页，编辑于2022年，星期一（2）选择杆的截面在根据荷载求得杆的轴力，并确定了所用材料，即已知Nmax和以后，再根据强度条件，选出杆所需的横截面面积A，此时把式（3.3）改写为：15第15页，共78页，编辑于2022年，星期一（3）确定杆的容许荷载若已知杆的尺寸和材料，即已知A和，则由强度条件来确定杆所能承受的最大轴力，并由此求得容许荷载。此时把式（3.3）改写为：16第16页，共78页，编辑于2022年，星期一三、梁的正应力及强度计算三、梁的正应力及强度计算在第2章中，大家已经知道梁的横截面上，在一般情况下有弯矩M和剪力V，但仅知此内力还不足以对梁进行设计和强度校核，亦即还需进一步
6、研究梁横截面上的应力情况。为了方便，我们先研究梁横截面上只有弯矩的情况，即梁属于纯弯曲。这样就可排除横截面上剪力的影响，而只考虑由弯矩在横截面所引起的正应力。17第17页，共78页，编辑于2022年，星期一1）分析梁的变形研究梁横截面上正应力的分布规律，还是要先从观察分析梁的变形入手。由于梁的各横截面上的内力只有弯矩（其值皆等于M）而无剪力，故该梁处于纯弯曲状态。由此可观察到如下一些现象：18第18页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.12纯弯曲梁的变形分析19第19页，共78页，编辑于2022年，星期一2）纯弯曲的正应力公式取变形后两横截面之间的这一段来进一步分析横截面上的应力分布规律
7、，如图3.13所示。图3.13 梁的微段变形与应力分布20第20页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.13（c）：这是梁横截面上正应力分布的立体图形，它直观形象地描绘出应力的分布规律。在与中性轴z的距离为y处，假设其应力为，则：21第21页，共78页，编辑于2022年，星期一当y=0时，即在中性轴上，其正应力=0；在距z轴最远的梁的上下边缘，即y=ymax，其压应力或拉应力的绝对值皆为最大。梁在纯弯曲段内，梁的横截面上的弯矩M为一常数。沿梁宽b的各点，其y值若相同，则值就不变。22第22页，共78页，编辑于2022年，星期一3）惯性矩和杆的拉（压）应力一样，梁的正应力与截面形状和尺寸大小
8、（即截面几何性质）也有关。其截面几何性质由截面惯性矩Iz来反映。惯性矩的单位是m4，可参看表3.2。23第23页，共78页，编辑于2022年，星期一24第24页，共78页，编辑于2022年，星期一25第25页，共78页，编辑于2022年，星期一26第26页，共78页，编辑于2022年，星期一综上所述，对于等截面梁（Iz不变），梁又是纯弯曲，其最大正应力应发生在离中性轴最远（yymax）的边缘处。于是有：27第27页，共78页，编辑于2022年，星期一当梁的横截面形状和尺寸均为已知时，从中性轴到截面边缘的最大距离ymax也易求得。ymax和Iz同属于截面几何性质，把两者归类，即令：28第28页，
9、共78页，编辑于2022年，星期一4）横力弯曲的正应力公式如果梁横截面的弯矩M沿梁的轴线x是变化的，那么，最大弯矩所在的横截面更应引起关注！因为此横截面的应力比其他截面的应力都要大，属于危险截面。29第29页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.15简支梁沿轴线的正应力分布示意图30第30页，共78页，编辑于2022年，星期一故在跨中的横截面上，其应力比其他横截面都要大，且横截面愈靠近两端支座应力愈小，在支座处，弯矩为零，正应力也为零。于是，式（3.8）就应写成：31第31页，共78页，编辑于2022年，星期一5）强度条件及计算梁是否会被破坏，仍然需要与所用材料的强度来比较，并由此建立强度
10、条件。实践和分析表明，对于一般细而长的梁，影响其强度的主要因素是弯曲正应力。为了保证梁能够安全地工作，必须使梁横截面上的最大正应力max不超过材料的抗弯容许应力，故梁的正应力强度条件为：32第32页，共78页，编辑于2022年，星期一由式（3.10）可解决3种不同类型的强度计算问题。（1）校核梁的强度已知Mmax，Wz，验算三者是否满足式（3.10）。若真则安；若伪则危。（2）选择梁的截面将式（3.10）改写为：33第33页，共78页，编辑于2022年，星期一（3）确定梁的容许荷载将式（3.10）改写为：根据Mmax确定容许荷载。34第34页，共78页，编辑于2022年，星期一四、梁的剪应力及
11、强度计算四、梁的剪应力及强度计算在工程中遇到的梁，属纯弯曲者少，为横力弯曲者多，亦即实际中梁的横截面上，其内力不但有弯矩M而且还有剪力V，相应地，也就有正应力和剪应力。一般情况下，梁的弯曲正应力是梁强度计算的主要依据，然而在某些特殊情况之下，比如，跨度较小的短粗梁、截面高而窄的薄壁梁等，其剪应力也可能成为支配梁的强度计算的主要因素。因此，有必要对梁的剪应力强度计算进行研究。35第35页，共78页，编辑于2022年，星期一1）矩形截面梁的剪应力如图3.19（a）所示一矩形截面梁受任意横向荷载作用，矩形截面宽为b、高为h。用一横截面mm截取梁，并以左段为研究对象，如图3.19（b）或(b)所示。横
12、截面上有弯矩M和剪力V，相应地横截面上有正应力和剪应力，如图3.19（c），（d）或(c)，(d)所示。36第36页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.19矩形截面梁的应力分析37第37页，共78页，编辑于2022年，星期一 沿矩形截面高度按二次抛物线规律变化。在横截面上、下边缘，即y=h2处，=0；在中性轴（z轴）上，即y=0处，出现最大剪应力：38第38页，共78页，编辑于2022年，星期一式（3.13）中的V是梁的某一横截面上的剪力。实际计算中应关注最大剪应力所在的横截面，因为在此横截面上V=Vmax。对于矩形截面：39第39页，共78页，编辑于2022年，星期一2）薄壁截面梁的剪
13、应力在工程上常遇到工字形、T形和圆环形等薄壁截面梁，如图3.21所示。所谓“薄壁”，就是它们的壁厚比起截面其他尺寸（如宽、高）来要小得多，因此显得很薄。40第40页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.21薄壁截面梁的剪应力分析41第41页，共78页，编辑于2022年，星期一max与min相差不大，特别是当腹板的厚度（即宽度）比较小时，二者相差就更小。此时可近似地认为腹板上的剪应力是均匀分布的。于是得出近似公式：42第42页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.22判断截面上的最大剪应力43第43页，共78页，编辑于2022年，星期一3）强度条件及计算与梁的正应力强度计算一样，为了保证
14、梁的安全正常工作，梁在荷载作用下所产生的最大剪应力，也不能超过材料的容许剪应力，即梁的剪应力强度条件为：44第44页，共78页，编辑于2022年，星期一第二节杆件的变形与刚度第二节杆件的变形与刚度 杆件在外力作用下，既要产生内力（应力），也会发生变形。杆件是否破坏，取决于强度条件；而杆件变形是否过大，则与刚度有关。“刚”有硬之意，与柔相反，故刚度为描述杆件抵抗变形的能力。所言变形若小，刚度则大，反之变形若大，刚度则小。45第45页，共78页，编辑于2022年，星期一一、拉（压）杆的轴向变形一、拉（压）杆的轴向变形虎克定律虎克定律外力沿着杆的轴线拉伸或压缩，其变形则为伸长或缩短。若杆为轴向拉伸，
15、如图3.25（a）所示，杆的纵向尺寸变长时，而横向尺寸变短；倘若杆为轴向压缩，则纵向尺寸变短，而横向尺寸变长，如图3.25（b）所示。因此，轴向变形就有了纵、横之分。46第46页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.25轴向变形拉伸与缩短47第47页，共78页，编辑于2022年，星期一1）纵向变形设拉杆的原长为l，承受一对轴向力P的作用之后可以伸长也可缩短，其长度变为l1，则杆的纵向变形（伸长或缩短）为：48第48页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.26拉伸橡皮筋长短不同，变形不一49第49页，共78页，编辑于2022年，星期一很明显，长短不一的两橡皮筋，伸长总量l虽相同，但变形程
16、度却差别很大。由此可见，仅靠伸长总量l尚不足以反映杆的变形程度，即还需考虑杆的长度l的影响。因此，杆的变形程度用纵向应变或称线应变来表示：50第50页，共78页，编辑于2022年，星期一2）横向变形如图3.25所示，拉（压）杆在产生纵向变形的同时，横向也发生变形。若设杆在变形前的原横向尺寸为a，变形后为a1，则杆的横向总变形量为：其横向线应变为：51第51页，共78页，编辑于2022年，星期一实验结果表明：当拉（压）杆的应力不超过材料的比例极限时，与之比的绝对值为一常数，并设该常数为，即:52第52页，共78页，编辑于2022年，星期一称之为横向变形系数。这是法国物理学家泊松（S.D.Pois
17、son）发现的，故又称为泊松比。它与材料有关，其值可由实验测定。又因与正负号恒相反，故去掉式（3.20a）中的绝对值符号时，应写成：53第53页，共78页，编辑于2022年，星期一当杆内应力不超过材料的某一极限值（即比例极限）时，杆的伸长或压缩变形量l与轴力N和杆的原长l成正比，而与杆的截面面积A成反比，即:这是1676年英国物理学虎克（Robert.Hooke,16351703年）在科学实验基础上首次提出的结论。54第54页，共78页，编辑于2022年，星期一该结论是不难理解的，因为外力越大（即轴力N越大）或杆原长越长，所产生的变形就会越大，而当杆越粗（截面面积A越大）时，l当然会变小。引入
18、比例常数E，则式（3.21a）变为：这一关系式称之为虎克定律。55第55页，共78页，编辑于2022年，星期一式中的EA称为杆抗拉（压）的截面刚度。这一称谓有两层含义：一是对长度相等且受力相同的拉（压）杆，若EA越大，则l越小，故EA的大小反映了杆抵抗变形即拉伸（压缩）的能力拉（压）刚度；二是A为杆的截面面积，故EA代表截面的刚度。式（3.21b）还可变为：56第56页，共78页，编辑于2022年，星期一57第57页，共78页，编辑于2022年，星期一二、梁的弯曲变形及刚度校核二、梁的弯曲变形及刚度校核在第2章中曾经指出：当外力（荷载与支座反力）都作用在纵向对称平面内时，梁弯曲之后，其轴线将变
19、成挠曲线，它仍在此对称平面内，这种弯曲称之为平面弯曲。下面所研究的梁的变形仍然限于平面弯曲。58第58页，共78页，编辑于2022年，星期一如图3.29所示为一悬臂梁，在荷载（图中省略）作用下发生平面弯曲变形。在Axy平面内，原来的梁的轴线为直线，变形后成为一条连续的光滑曲线AB，并称为挠曲线。“挠”有弯折之意，故挠曲线即为弯曲变形的线段。这是纵观梁的轴线变化的情况，再横看梁的截面：59第59页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.29 梁的弯曲变形60第60页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.30两不同梁的变形分析61第61页，共78页，编辑于2022年，星期一1）梁的转角、挠度
20、和挠曲线方程常用的梁在几种简单荷载分别作用下，它们的最大转角、最大挠度以及挠曲线方程可查表3.4。62第62页，共78页，编辑于2022年，星期一63第63页，共78页，编辑于2022年，星期一64第64页，共78页，编辑于2022年，星期一65第65页，共78页，编辑于2022年，星期一2）用叠加法计算梁的变形在第1，2章中，曾经采用叠加法求支座反力和画梁的弯矩图。同样，在此也可采用叠加原理求梁的转角和挠度。66第66页，共78页，编辑于2022年，星期一3）梁的刚度校核梁的抗弯刚度EIz倘若不足，则变形（转角和挠度y）就会偏大，其结果往往使梁的正常工作条件得不到保证。比如梁的挠度过大，会造
21、成屋面防水层开裂漏水，抹灰层剥落等，从而影响结构的正常使用，因此需要把梁的变形控制在某个范围之内。检查梁的变形是否超过容许值的计算，称为刚度校核。67第67页，共78页，编辑于2022年，星期一在机械工程中，一般对转角和挠度都要进行校核，而在建筑工程中，大多只校核挠度。梁的容许挠度f限值在范围之内，通常是以挠度的容许值与跨度的比值作为校核的标准，即：68第68页，共78页，编辑于2022年，星期一第三节第三节 压杆的稳定性分析压杆的稳定性分析 之前曾经指出，杆件具备足够的强度、刚度和稳定性，是保证杆件安全和正常使用的三项基本要求。因此在研究了杆件的强度、刚度之后，还需对杆受压时的稳定性进行分析
22、。69第69页，共78页，编辑于2022年，星期一一、压杆稳定性的概念一、压杆稳定性的概念如图3.33所示，取两根粗细一样，但长短不同的木杆，并用手压其两端。短杆能承受较大压力而基本上维持直线且处于平衡状；图3.33长短不同的木杆受压70第70页，共78页，编辑于2022年，星期一史上，由于对压杆失稳的严重性估计不足，曾发生过多起震惊世界的工程事故。其中最为著名的是，1907年在建造加拿大魁北克圣劳伦斯河上一座长548米的钢桥时，由于悬臂桁架中，承受压力最大的下弦杆失稳，而导致突然倒塌，如图3.34所示。71第71页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.341907年加拿大魁北克圣劳伦斯河
23、上的钢桥在施工中失稳72第72页，共78页，编辑于2022年，星期一二、压杆的临界力及公式二、压杆的临界力及公式图3.33中的压杆稳定性的模拟试验是生动的，但同时又是粗糙的，即考虑问题还不够周全。比如，试验所用的是木杆，如若是钢杆呢？情况又会怎样呢？再如，杆的截面如果粗细不一，那情况又如何呢？又如，建筑结构中的实际压杆，两端大多是受到约束的，这与模拟实验又有很大差别，那么约束对压杆的稳定能够起到什么作用呢？因此，要分析压杆稳定性问题，还需考虑许多因素。73第73页，共78页，编辑于2022年，星期一1）压杆的临界力“临界”之意是一种极限状态，临界力就是在此状态下的特定值。如果作用在压杆的轴向力
24、N，超过某一个特定值Ncr，则压杆就会丧失稳定性。因此，判断压杆是否会失稳，关键在于找出临界力Ncr。74第74页，共78页，编辑于2022年，星期一2）临界力Ncr的计算公式对于理想的弹性压杆，临界力计算公式如下：75第75页，共78页，编辑于2022年，星期一76第76页，共78页，编辑于2022年，星期一三、提高压杆稳定的措施三、提高压杆稳定的措施提高压杆稳定性的关键，在于提高压杆的临界力。之前曾经指出，由欧拉公式可知，想提高压杆临界力Ncr，可升高E或加大I，也可降低l。为此，在实际工程中，可采用如下的具体措施：1）选择压杆合理截面2）减小压杆计算长度3）改善杆端约束条件4）提高压杆材料的E77第77页，共78页，编辑于2022年，星期一图3.40截面合理性分析78第78页，共78页，编辑于2022年，星期一