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1、Dirichlet (狄利克雷边界条件)n在数学中，狄利克雷边界条件（在数学中，狄利克雷边界条件（Dirichlet boundary condition）也被称为常）也被称为常微分方程或偏微分方程的微分方程或偏微分方程的“第一类边界条件第一类边界条件”。n在热力学中，第一类边界条件的表述为：在热力学中，第一类边界条件的表述为：“将大平板看成一维问题处理时，将大平板看成一维问题处理时，平板一侧温度恒定。平板一侧温度恒定。”n狄利克雷边界条件的偏微分方程表示：狄利克雷边界条件的偏微分方程表示：n其中：其中： xxguGxxfuk )( 0*连通区域的边界有界连通区域已知函数、标量场，比如温度场等
2、笛卡尔空间上拉普拉斯算子，在二维热传导系数Gfguyxk2222Neumann (诺伊曼边界条件)n在数学中，诺伊曼边界条件（在数学中，诺伊曼边界条件（Dirichlet boundary condition）也被称为常微）也被称为常微分方程或偏微分方程的分方程或偏微分方程的“第二类边界条件第二类边界条件”。n诺伊曼边界条件的偏微分方程表示：诺伊曼边界条件的偏微分方程表示：n其中：其中： 表示内积梯度拉普拉斯算子是给定的函数处（向外）的法向表示边界区域边界连通区域)()()( 0)(*xfGxxyxyxxfxyGxxfuk散度n散度（散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强
3、弱程度，物理上，）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当散度的意义是场的有源性。当div F0 ，表示该点有散发通量的正源（发散，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当源）；当div F0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该，表示该点无源。点无源。n散度的运算关系：散度的运算关系：n所以有：所以有：n诺伊曼边界条件为：诺伊曼边界条件为： ）通量（稳态下为传递系数法向向量浓度其中：即0)(*)()(*)(*)()()()( gqncgqccgradnxfxvgradyxygradxvyvxxyxy
4、)()()()()(FFFFdivgradFdiv（或（1）扩散方程n菲克第一定律：在菲克第一定律：在 时间内，沿时间内，沿 方向通过方向通过 处截面所迁移的物质的量处截面所迁移的物质的量 与与 处的浓度梯度成正比：处的浓度梯度成正比：即：即：根据上式引入扩散通量概念，则有：根据上式引入扩散通量概念，则有：n菲克第二定律：当扩散处于非稳态时，各点的浓度随时间而改变，通常的菲克第二定律：当扩散处于非稳态时，各点的浓度随时间而改变，通常的扩散过程大都是非稳态扩散，菲克从物质的平衡关系着手，建立了第二个微扩散过程大都是非稳态扩散，菲克从物质的平衡关系着手，建立了第二个微分方程式。分方程式。txxmx
5、tAxcm)(xcDAdtdm)(xcDJ2.1热传导方程与扩散方程在扩散方向上取体积元在扩散方向上取体积元 ， 分别分别表示流入体积元及流出体积元的扩散通量，则表示流入体积元及流出体积元的扩散通量，则在在 时间内，体积元中扩散物质的积累量为：时间内，体积元中扩散物质的积累量为：n则有则有n当 时，有 n将将 带入可得带入可得xJJtxAmtxxxxxJJxA,ttJAJmxxx)(0tx、xJtc)(xcDJ)(xcDxtc如果扩散系数如果扩散系数 与浓度无关即：与浓度无关即：n在直角坐标系中的三维扩散：在直角坐标系中的三维扩散：n当扩散系数和浓度无关时候，直角坐标系中的三维扩散可简记为：当
6、扩散系数和浓度无关时候，直角坐标系中的三维扩散可简记为：其中其中22xCDtC)()()(zCDzyCDyxCDxtCCDtC22222222zyxn傅立叶实验定律傅立叶实验定律n物体在无穷小时段物体在无穷小时段 内沿法线方向内沿法线方向 流过一个无穷小面积流过一个无穷小面积 的热量的热量 与与物体温度沿曲面法方向的方向导数物体温度沿曲面法方向的方向导数成正比成正比n注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧。注：负号是因为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧。n在物体在物体 内任取一个封闭曲面内任取一个封闭曲面 ，它所包围的区域记为，它所包围的区域记为 从从 时刻到时刻到 时刻流进闭曲面
7、时刻流进闭曲面 的全部热量为：的全部热量为：（2）热传导基本方程xyzodSn dSdtnuzyxkdQ),(tnsdQdnuG1t2t.),(21ttdtdSnuzyxkQn在时间间隔在时间间隔 温度从温度从 变化到变化到 所吸收的所吸收的热量是：热量是：其中为其中为 比热，比热， 为密度。为密度。n由热量守恒定律，物体内部无热源时由热量守恒定律，物体内部无热源时21tt ，),(1tzyxu),(2tzyxu.),(),(),(),(12dxdydztzyxutzyxuzyxzyxcc dxdydzdttuzyxzyxcdxdydzdtzukzyukyxukxtttt2121),(),( dxdydztzyxutzyxuzyxzyxcdtdSnuzyxktt),(),(),(),(),(1221n交换积分次序交换积分次序n注意到注意到 都是任意的，可得热传导的齐次方程：都是任意的，可得热传导的齐次方程：n如果物体是均匀的，且各向同性的，则有：如果物体是均匀的，且各向同性的，则有：n 210ttdxdydzdtzukzyukyxukxtuc、21tt0zukzyukyxukxtuc其中：222222xyz uatu2热扩散系数密度；比热容热传导系数；222a;)*(a ackckD