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1、新课标人教版课件系列新课标人教版课件系列高中数学选修选修441.1.极坐标系的概念极坐标系的概念1、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的、理解极坐标的概念，弄清极坐标系的结构（结构（ 建立极坐标系的四要素）；建立极坐标系的四要素）；2、理解广义极坐标系下点的极坐标（、理解广义极坐标系下点的极坐标（，）与点之间的多对一的对应关系；）与点之间的多对一的对应关系；3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描、已知一点的极坐标会在极坐标系中描点，以及已知点能写出它的极坐标。点，以及已知点能写出它的极坐标。教学目标教学目标目标在哪？目标在哪？在以在以为为X轴轴以以为为Y轴，轴，坐标是坐标是.算的太慢了！算的太慢了！
2、以天河路为以天河路为X轴轴以广州大道为以广州大道为Y轴轴.请问：请问：去广州塔怎么走？去广州塔怎么走？痴线！痴线！以天河路为以天河路为X轴轴以广州大道为以广州大道为Y轴轴.以天河路为以天河路为X轴轴以广州大道为以广州大道为Y轴轴.从这向东从这向东2000米。米。请问：请问：去广州塔怎么走？去广州塔怎么走？请分析上面这句话，他告诉了问路人请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？什么？从 这 向 东 走从 这 向 东 走 2 0 0 0 米 ！米 ！出发点出发点方向方向距离距离 在生活中人们经常用方向和距离来在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用表示一点的位置。这种用方向方向和和距离距
3、离表表示平面上一点的位置的思想，就是极坐示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。标的基本思想。一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位再选定一个长度单位和和角度单位角度单位及及它的正它的正方向方向（通常取逆时针（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XO极坐标系的四要素？极坐标系的四要素？二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用用 表示线段表示线段OM
4、的长度，的长度，用用 表示从表示从OX到到OM 的的角度，角度， 叫做叫做M的极径，的极径， 叫做点叫做点M的极角，有序的极角，有序数对（数对（ ， ）就叫做）就叫做M的的极坐标。极坐标。特别强调：特别强调： 表示线段表示线段OM的长度，既点的长度，既点M到到极点极点O的距离；的距离； 表示从表示从OX到到OM的角度，既的角度，既以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。题组一题组一：说出下图中各点的极坐标：说出下图中各点的极坐标ABCDEFGOX46535342 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多
5、少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 特别规定：特别规定： 当当M在极点时，它的在极点时，它的极坐标极坐标 = 0， 可以取任意值。可以取任意值。想一想？想一想？极点（极点（0， ）（）（ R）即极点有无数个极坐标。即极点有无数个极坐标。三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，4请说出点请说出点M的极坐标的其的极坐标的其他表达式。他表达式。思考：思考：这些极坐标之间有何异同？这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有
6、何关系？这些极角的始边相同，终边也相同，也这些极角的始边相同，终边也相同，也就是说它们是终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。本题点本题点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：4 2k+4 ，极径相同，不同的是极角。极径相同，不同的是极角。(3,0)(6,2 )(3,)245(5,)(3,)(4, )365(6,)3ABCDEFG 题组二：在极坐标系里描出下列各点题组二：在极坐标系里描出下列各点46535342 ABCDEFGOX本节课总结：本节课总结：1极坐标系的建立需确定几条？极坐标系的建立需确定几条？ 极点；极径；长度单位和角度正方向。极点；极径；长度单位和角度正方向。2极坐标系内
7、一点的极坐标有多少种表达式？极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数种。是因为极角引起的。无数种。是因为极角引起的。3一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。有。42k，四、四、1、负极径的定义、负极径的定义说明：说明：一般情况下，极径都是正值；在某些一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）必要情况下，极径也可以取负值。（？）对于点对于点M（ ， ）负极径时的规定：负极径时的规定：1作射线作射线OP，使，使 XOP= 2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM = OXP MOXP = /4M四、四、2、负极径的
8、实例、负极径的实例在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点 M（-3， /4）的位置的位置1作射线作射线OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM = 3四、四、3、关于负极径的思考、关于负极径的思考“负极径负极径”真是真是“负负”的？的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的的。现在所说的“负极径负极径”中的中的“负负”到底到底是什么意思？是什么意思？有比较才能有鉴别！有比较才能有鉴别！ 把负极径时点的确定过程，与正极径时把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有点的
9、确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？什么不同？四、四、4、正、负极径时，点的确定过程比较、正、负极径时，点的确定过程比较OXPMOXP1作射线作射线OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的反向延长线上的反向延长线上取一点取一点M，使，使 OM = 31作射线作射线OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的上取一点的上取一点M，使，使 OM = 3M画出点画出点 （3， /4） 和（和（-3， /4）四、四、5、负极径的实质、负极径的实质 从比较来看，负极径比从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长反向延长”。OXPMOXPM 而反向延长也
10、可以说成而反向延长也可以说成旋转旋转 ，因此，所谓因此，所谓“负极负极径径”实质是管方向的。这与实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用数学中通常的习惯一致，用“负负”表示表示“反向反向 ”。练习：练习：写出下列各点的负极径的极坐标写出下列各点的负极径的极坐标（3， /4）答：（答：（-3， + /4） （-3， - /4）（3，- /4）负极径总结：负极径总结： 极径是负的，等于极角增加极径是负的，等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同，用负极径的负与数学中历来的习惯相同，用来表示来表示“反向反向”特别强调：以后不特别声明，特别强调：以后不特别声明， 0 。 因为，负极径只在
11、极少数情况用。因为，负极径只在极少数情况用。五、极坐标系下点的极坐标五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点探索点M（3， /4）的所有极坐标）的所有极坐标1极径是正的时候：极径是正的时候：423k，2极径用极径用“-3”)423k，（五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况OXPMOXMP1首先，给定极坐标首先，给定极坐标M（ ， ）在平面上可以确定唯一的一点。在平面上可以确定唯一的一点。2反过来，给定平面上一反过来，给定平面上一点，却有无数个极坐标。点，却有无数个极坐标。原因：极径有正有负；极原因：极径有正有负；极角有无数个。角有无数个。但是，有统一表达式
12、两个。但是，有统一表达式两个。如果如果限定限定0,02那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就可以可以一一对应一一对应了了.3一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极坐标有否统一的表达式？小结小结1建立一个极坐标系需要哪些要素？建立一个极坐标系需要哪些要素？极点；极轴；长度单位；角度单位和极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。它的正方向。2极坐标系内一点的极坐标有多少种极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？表达式？无数，极角有无数个。无数，极角有无数个。有。（有。（，2k+）极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化平面内的一个点的直角坐标是平面内的一个点的直角
13、坐标是(1, )3这个点如何用极坐标表示这个点如何用极坐标表示?Oxy在直角坐标系中在直角坐标系中, 以原点作为极点以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相并且两种坐标系中取相同的长度单位同的长度单位点点M的直角坐标为的直角坐标为(1, 3)(1, 3)M设点设点M的极坐标为的极坐标为(,)23122 ）（ 313tan M ( 2, / 3)极坐标与直角坐标的互化关系式极坐标与直角坐标的互化关系式:设点设点M的直角坐标是的直角坐标是 (x, y) 极坐标是极坐标是 (,)x=cos, y=sin ) 0(tan,222 xxyyx 互化公式的三个前提条件
14、：互化公式的三个前提条件：1. 极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x轴的正半轴的正半 轴重合轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同.例例1. 将点将点M的极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标.2(5,)3解解: 2532cos5 x23532sin5 y所以所以, 点点M的直角坐标为的直角坐标为)235,25( 已知下列点的极坐标，求它们的直已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。角坐标。)6, 3( A)2, 2( B)2, 1( C)4,23( D)43, 2( E例例2. 将点将点M的直角坐标的直角坐
15、标 化成极坐标化成极坐标.(3, 1)解解: 21)3(22 ）（ 3331tan 因为点在第三象限因为点在第三象限, 所以所以67 因此因此, 点点M的极坐标为的极坐标为)67, 2( 练习练习: 已知点的直角坐标已知点的直角坐标, 求它们求它们的极坐标的极坐标.)3, 3( A)3, 1(B)0 , 5(C)2, 0( D)3, 3( E例例3 已知两点（已知两点（2， ），（），（3， ）求两点间的距离求两点间的距离.32oxAB解：解：AOB = 6用余弦定理求用余弦定理求AB的长即可的长即可.极坐标下两点间距离公式nA（1 ，1），），B（2 ，2） |AB| =?极坐标与直角坐标的互化关系式极坐标与直角坐标的互化关系式:设点设点M的直角坐标是的直角坐标是 (x, y) 极坐标是极坐标是 (,)x=cos, y=sin ) 0(tan,222 xxyyx n9页