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1、 )()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT )()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT 一、线性一、线性1.两序列都是两序列都是N点时点时 如果如果则有：则有：)(1nx)(2nx2. 和和 的长度的长度N1和和N2不等时，不等时， 选择选择 为变换长度为变换长度,短者进行短者进行补零达到补零达到N点。点。 21,maxNNN 这里包括三层意思：这里包括三层意思：(1) 先将先将x(n)进行周期延拓进行周期延拓(2)再进行移位再进行移位(3)最后取主值序列：最后取主值序列： nRmnxnxNNm )( Nnxnx )( Nmnxmnx )( nRmnxnxNNm )(二
2、二、序列的圆周移位序列的圆周移位1.定义定义一个有限长序列一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为的圆周移位定义为n)(nx0N-1nNnxnx)()( 0周期延拓周期延拓n Nnxnx2)2( 0左移左移2n )()2(nRnxNN 0取主值取主值N-1 由于我们取主值序列，即只观察由于我们取主值序列，即只观察n=0到到N-1这一主值这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把抽样又从此区间的另一端进来。如果把x(n)排列一个排列一个N等等分的圆周上，序列的移位就相当于分的圆周上，序列的移位就相当于x
3、(n)在圆上旋转，故在圆上旋转，故称作称作。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列序列 : 。)(nx2.圆周移位的含义圆周移位的含义有限长序列的有限长序列的圆周移位圆周移位导致导致频谱线性相移频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。而对频谱幅度无影响。( )( ) ()( )mmNNXkDFT xnDFT x nmRn( )mkNWX k ()( ) ()( )NNNDFT x nmRnDFT x nm Rn证： ()( )NDFS x nm Rk( )( )mkNNWX k Rk( )mkNWX kv 时域循环时域循环(圆周圆周)移位定理移位定理2 ()( )
4、( )( )jnlnlNNNNIDFT X klR kW x nex n()( )()( )NNNIDFT XklRkIDFT X kl Rk证：()( )NIDFS X kl Rn( )( )( )nlnlNNNW x n RnW x nv 频域频域循环循环(圆周圆周)移位定理移位定理三、共轭对称性三、共轭对称性 1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量)()(21)()(21)()()(21)()(21)(*NNoNNenNxnxnxnxnxnNxnxnxnxnx 同样，有同样，有)()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxooeeoe 周
5、期为周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反的周期序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为对称分量分别定义为:2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量)()()(21)()()()()()(21)()()(*nRnNxnxnRnxnxnRnNxnxnRnxnxNNNNoopNNNNeep 由于由于)()()()()()()()()()(nRnxnRnxnRnxnxnRnxnxNoNeNoeN 所以所以)()()(nxnxnxopep 有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义
6、为称分量分别定义为:*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ex nx nxn( )Nx n*()NxNn3.共轭对称特性之一共轭对称特性之一)()()()()()()(*kRkNXkRkXnxDFTnxDFTkXNNNN 则则：，如如果果：证明：证明： 10*)()()(NnNnkNkRWnxnxDFT 10*)()(NnNnkNkRWnx 10*)()(NnNnkNNnNkRWWnx 10*)()()(NnNnkNNkRWnx)()(*kRkNXNN 4.共轭对称特性之二共轭对称特性之二)()()()()(*kXnRnxDFTnxDFTkXNN 则则：，如如果果：
7、证明：证明：)()()()()()()()(*10*0)1(*1010*kXWnxWnxWnxWnRnxnRnxDFTNnnkNNnnkNNnnkNNnnkNNNNN 可知：可知：)()()(*kRkXnxNN )()()(*kXnRnxNN 5.共轭对称特性之三共轭对称特性之三)()()()(21)(Re)()(*kXkRkNXkXnxDFTnxDFTkXepNNN 则：则：如果：如果：的的圆圆周周共共轭轭对对称称分分量量。该该序序列列复复数数序序列列实实部部的的DFTDFT 证明：证明：)()()()(21)()()(21)()(21)(Re)()(21)(Re*kXkRkNXkXkRkN
8、XkXnxDFTnxDFTnxDFTnxnxnxepNNNNN 6.共轭对称特性之四共轭对称特性之四)()()()(21)(Im)()(*kXkRkNXkXnxjDFTnxDFTkXopNNN 则则：如如果果：。的的圆圆周周共共轭轭反反对对称称分分量量该该序序列列的的复复数数序序列列虚虚部部乘乘以以DFTDFTj 证明：证明：)()()()(21)()()(21)()(21)(Im)()(21)(Im*kXkRkNXkXkRkNXkXnxDFTnxDFTnxjDFTnxnxnxjopNNNNN 7.共轭对称特性之五、六共轭对称特性之五、六)()(Im)()(RenxDFTkXjnxDFTkXo
9、pep ，同同样样，可可证证明明：8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性)()()()1(kXkXkXopep 、)()()()()()()2(*kRkNXkRkXkXkXNNepNNepepep 、)()()()()()()3(*kRkNXkRkXkXkXNNopNNopopop 、9.实、虚序列的对称特性实、虚序列的对称特性 当当x(n)为实序列时，根据特性之三，则为实序列时，根据特性之三，则 X(k)=Xep(k)又据又据Xep(k)的对称性：的对称性：)()()(*kRkNXkXNNepep 当当x(n)为纯虚序列时，根据特
10、性之四，则为纯虚序列时，根据特性之四，则 X(k)=Xop(k)又据又据Xop(k)的对称性：的对称性：)()()(*kRkNXkXNNopop )()()(*kRkNXkXNN )()()(*kRkNXkXNN ( )( )x nX kRe ( )( )epx nXkIm ( )( )opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k总结：共轭对称性总结：共轭对称性Re ( )( )( )epx nXkX kIm ( )0( )0opjx nXk( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k纯虚序列的共轭对称性纯虚序列的共轭对称性Re ( )0(
11、)0epx nXkIm ( )( )( )opjx nXkX k( )Re( )epxnX k( )Im( )opxnjX k实数序列的共轭对称性实数序列的共轭对称性11 ( )( )DFT x nX k22( )( )DFT x nXk解：利用两序列构成一个复序列12( )( )( )w nx njx n12( ) ( )( )( )W kDFT w nDFT x njx n则12( )( )DFT x njDFT x n12( )( )X kjXk例：设例：设x1(n)和和x2(n)都是都是N点的实数序列，试用一次点的实数序列，试用一次 N点点DFT运算来计算它们各自的运算来计算它们各自的
12、DFT:1( )Re ( )x nw n由得11( )( )Re ( )( )epX kDFT x nDFTw nWk*1( )() ( )2NNNWkWNkRk2( )Im ( )x nw n由得221( )( )Im ( )( )opXkDFT x nDFTw nWkj*1( )() ( )2NNNWkWNkRkj)10()()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN)30()(304 kWnxnnk)30(432134244 kWWWkkk1043214321)0(040404 WWWXjWWWWWWX222243214321)1(141414342414 26443214321)
13、2(242424644424 WWWWWWXjXX22)1()3(* 例：求序列：例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3 (n-2)+4 (n-3) 的的4点点DFT。)10()()()(10 NkWnxnxDFTkXNnnkN 308)(nnkWnx)70(432138288 kWWWkkk1043214321)0(080808 WWWXjWWWX)233()21(4321)1(382818 jWWWX224321)2(684828 jWWWX)233()21(4321)3(986838 243214321)4(1288848 WWWXjXX)233()21()3()5(*
14、jXX22)2()6(* jXX)233()21()1()7(* 例：求序列：例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3 (n-2)+4 (n-3) 的的8点点DFT。四、圆周卷积和四、圆周卷积和 1.时域卷积定理时域卷积定理 设设x1(n)和和x2(n)均为长度为均为长度为N的有限长序列，且的有限长序列，且有：有： 和和 )()(11kXnxDFT )()(22kXnxDFT )()()(21kXkXkY 如果：如果： )()(kYIDFTny 则：则： N)(2nx )()(11021nxnRmnxmxNNmN N)(1nx )()(21012nxnRmnxmxNNmN 12(
15、 )( )( )( ) ( )Y kX kXky nIDFS Y k证：由周期卷积和，若， 则 1120( )()Nmx m x nm1120( )( )( )( )() ( )NNNNmy ny n Rnx m xnmRn1120( )()NNNmxmxnm1120( )()NNmx m xnm圆周卷积过程：圆周卷积过程： 1 1）补零）补零( (当两序列不等长时当两序列不等长时) ) 2 2）周期延拓）周期延拓( (有限长序列变周期序列有限长序列变周期序列) ) 3 3）翻褶，取主值序列）翻褶，取主值序列( (周期序列的翻褶周期序列的翻褶) ) 4 4）圆周移位）圆周移位 5 5）相乘相加
16、）相乘相加x(n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213x(n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213nx(-n)0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213x(-n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213例：求下面两序列的例：求下面两序列的6点圆周点圆周(循环循环)卷积。卷积。)20(1)()()(251 nnnxnRnx102nx2(n)1321 1）补零）补零 补到补到6 6点点53 45102 3nx1(n)14111102 3m4 5)(1mx6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-62)
17、2)周期延拓周期延拓 N=6N=6102 3mx1(m)14 5102mx2(m)1323 45132132132102m3 45)(2mx6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-62)2)周期延拓周期延拓 N=6N=6102m3 41325)(2mx1321326 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-6102m3 41325)(2mx 6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-6132132102 3m41511)(1mx6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5-63 3）翻褶，取主值序列）翻褶，取主值序列102m1323 45)()(62mRmx 102m132
18、3 45)()1(62mRmx y(0)=1*1+3*1=4y(1)=2*1+1*1=3102 3m14 5)()(61mRmxy(2)=3*1+2*1+1*1=6y(3)=3*1+2*1+1*1=6y(4)=3*1+2*1+1*1=6y(5)=3*1+2*1=54 4）圆周移位）圆周移位5 5）相乘相加）相乘相加 的长度为的长度为 的长度为的长度为)(1nx)10(11 NnN)(2nx)10(22 NnN mNmlmnxmxmnxmxny1021211)()()()()(五、五、有限长序列的线性卷积与圆周卷积有限长序列的线性卷积与圆周卷积1.线性卷积线性卷积它们线性卷积为它们线性卷积为 的
19、非零区间为的非零区间为 的非零区间为的非零区间为)(1mx101 Nm)(2mx102 Nmn)(1nx1012n)(2nx1012n32021 NNn两不等式相加得两不等式相加得1 1 1 11 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 11 2 3 3 2 1这也就是这也就是 不为零的区间不为零的区间)(nyl x1(n)的长度为的长度为N1, x2(n) 的长度为的长度为N2 ,现构造长度均现构造长度均为为L长的序列长的序列, 即将即将 x1(n) 和和x2(n)补零点补零点;然后再对它然后再对它们进行周期延拓们进行周期延拓 ，得到：，得到： LLnxnx)(,)(21 1021)(
20、)(LmLLmnxmxny2.用圆周卷积计算线性卷积用圆周卷积计算线性卷积圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列. .计算周期卷积：计算周期卷积： 1021)()(LmLmnxmxny 因此因此故故由于由于, 1011mxmxLmL rLmmrLnxmx)()(2101 rLmmrLnxmx1021)()( rlrlny)(圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列. . 可见可见,周期卷积为线性卷积的周期延拓，其周期周期卷积为线性卷积的周期延拓，其周期为为L。由于由于 有有 个非零值个非零值,所以周期所以
21、周期L必须满足必须满足:)(nyl121 NN121 NNL)()()()()(nRrlnynRnynyLrlL )()()()(2121nxnxnxLnx 1,21 NNL 又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列，所以圆又由于圆周卷积是周期卷积的主值序列，所以圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列，即：周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列，即：例：求下面两序列的线性卷积和例：求下面两序列的线性卷积和4点、点、5点、点、6点、点、7点圆周卷积点圆周卷积。)20(1)()()(251 nnnxnRnx(1) 线性卷积线性卷积 L= N1+ N2-1=5+3-1=71 1 1 1 11 2 3
22、3 3 3 3 32 2 2 2 21 1 1 1 11 3 6 6 6 5 3 (2) 4点圆周卷积点圆周卷积 主值区间：主值区间：0n31 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以将线性卷积的结果以4为周期进行周期延拓后再取主值为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得区间即获得4点圆周卷积结果。点圆周卷积结果。-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0) = 6+1=7x(1) = 5+3=8x(2) = 3+6=9x(3) = 6(3) 5点圆周卷积点圆周卷积 主值区间：主值区间：0n41 3 6
23、 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以将线性卷积的结果以5为周期进行周期延拓后再取主值为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得区间即获得5点圆周卷积结果。点圆周卷积结果。-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0) = 5+1=6x(1) = 3+3=6x(2) = 6x(3) = 6x(4) = 6(4) 6点圆周卷积点圆周卷积 主值区间：主值区间：0n51 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以将线性卷积的结果以6为周期进行周期延拓后再取主值为
24、周期进行周期延拓后再取主值区间即获得区间即获得6点圆周卷积结果。点圆周卷积结果。-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 nx(0) = 3+1=4x(1) = 3x(2) = 6x(3) = 6x(4) = 6x(5) = 5(5) 7点圆周卷积点圆周卷积 主值区间：主值区间：0n6 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 1 3 6 6 6 5 3 将线性卷积的结果以将线性卷积的结果以7为周期进行周期延拓后再取主值为周期进行周期延拓后再取主值区间即获得区间即获得7点圆周卷积结果。点圆周卷积结果。n-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(0) = 1x(1) = 3x(2) = 6x(3) = 6x(4) = 6x(5) = 5x(6) = 3补补L-N1个零个零x(n)L点点DFT补补L-N2个零个零h(n)L点点DFTL点点IDFTy(n)= x(n)*h(n)nz变换法变换法nDFT法法 mmnhmxnhnxny)()()(*)()()()()()(zYzXIZTzYIZTny LN1+N2-1小结：线性卷积求解方法小结：线性卷积求解方法n时域直接求解时域直接求解