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1、第三章 离散傅立叶变换DFT 3.0 引言 3.1 离散傅立叶变换的定义 3.2 频率抽样理论 3.3 离散傅立叶变换(DFT)的定理和性质 3.4 DFT应用举例 小结3.0 引言一、一、DFT是仅适用于有限长序列的又一种傅立叶变换形式是仅适用于有限长序列的又一种傅立叶变换形式二、二、DFT的重要性的重要性1、x(n)是时域中有限长的序列 （0 N-1）3、时域中按Nyquist抽样，则在频域中保留原信号频谱形状、无混叠4、DFT理论：在频域中按适当间隔抽样，则在时域保留原序列的形状、无混叠2、DFT实质是 在频域上等间隔的抽样 1、使信号频域离散化，使得用计算机在频域进行信号处理成为可能。
2、2、有多种快速算法，大大提高了信号处理速度。3、DFT本身可用于随机信号的功率谱估计及信号的谱分析等方面，使这些处理过程可用数字计算实现。3.1 离散傅立叶变换的定义3.1.1 DFT的定义用计算机实现信号的频谱分析及其它方面的工作，对信号的要求是：时域和频域都是离散的，且都是有限长,1,2,N-1,1,2,N-1其中DFT唯 一 N称为DFT变换区间长度设 是长度为M的有限长序列,定义 的N()点离散傅立叶变换为例 ，求 的8点和16点DFT解：N8时N16时,1 ,7,1 ,150 /2 2N8k0 1 2 3 4 5 6 7N16k k0 2 4 6 8 10 12 1415DFT变换区
3、间长度N不同，变换结果 不同当N足够大时，的包络可逼近 曲线表示频点的幅度谱线小结：3.1.2 DFT和 ZT、FT之间的关系设序列 的长度为N，其Z变换，傅立叶变换和DFT分别为,1,2,N-1则,1,2,N-1,1,2,N-1X(k)的物理意义：的N点DFT是 的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样1.是 的傅立叶变换 在0，2上的N点等间隔采样2.把周期序列 从n0，1，N1的第一个周期称为 的主值区间主值区间上的序列为 的主值序列的周期延拓，而 为 的一个周期。任何周期为N 的周期序列 都可以看成长度为N 的有限长序列 即如果 nMNn1，则 (n)N=n13.1.3 DFT的隐含周期性0
4、 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 7 8 9例如，N8，表示n对N求余其中对于，有其中 均为整数 所以可见 隐含周期性，且周期为N。同样可证DFT的隐含周期性可以从三种不同的角度得出：（1）（2）如前所述，X(k)是对 的采样，由于 是以2为周期的周期的采样，且以N为周期重复出现，得到 。，即X(k)是对 的主值区0，2上的N点等间隔采样。当函数自变量k 超出DFT变换区间时，必然得到0，2以外区间上（3）由 与 的周期延拓序列 的DFS系数 的关系也可以得出DFT的隐含周期性设 的长度为N=则 的DFS系数为式中为 的主值序列。结论：有限长序列有限长序列有限长序列有限长
5、序列 的的的的N N 点点点点DFT DFT 也可以定义为也可以定义为也可以定义为也可以定义为 的的的的周期延拓序列周期延拓序列周期延拓序列周期延拓序列 的离散傅立叶级数的离散傅立叶级数的离散傅立叶级数的离散傅立叶级数 的的的的主值序列主值序列主值序列主值序列3.2 离散傅立叶变换(DFT)的定理和性质3.2.1 3.2.1 线性线性若对应长度：这里则有：其中3.2.2 3.2.2 循环移位循环移位（圆位移、圆周位移）1 1，循环位移如何定义，循环位移如何定义对有限长序列 x(n)线位移：x(n-m)0 N-1n 0 N-1n 0 N-1nn 0 N-1n=0n=1n=2n=N-1n=0 n=
6、1n=2n=N-1位移x(n)周期延拓N右移m 位取主值序列循环位移:=2 2，时域循环移位的，时域循环移位的DFT若试求 的DFT：故若则其中3，频域循环移位定理，频域循环移位定理有限长序列 x1(n)和 x2(n)，长度分别为N1和N2，NmaxN1，N2,3.2.3 3.2.3 循环卷积定理循环卷积定理则证：令x1(n)和 x2(n)的N 点DFT分别为 X1(k)和 X2(k),若N记为称为 与 的循环卷积把循环卷积过程：(1)将 周期化，形成 ，再反转形成 ，取主值序列得到(2)对 的循环反转序列循环移位循环移位循环移位循环移位n，形成,当 n0，1，N1时,将 与 相乘，并对m在0
7、（N1）区间求和。0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 742反之，若则NN称之为 的循环反转两个长度为N的序列的循环卷积长度仍为NN频域循环卷积定理3.2.4 复共轭序列的复共轭序列的DFT若则证明：总之：X(k)的隐含周期性设 是 的复共轭序列，长度为N3.2.5 DFT3.2.5 DFT的共轭对称性的共轭对称性1，预备知识，预备知识有限长共轭对称序列共轭反对称序列*0 1 2 3 4 5 6 7n*n*1 2 3 4 5 6 7任何有限长序列
8、都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和。其中当N为偶数时2，DFT的的共轭对称性共轭对称性 实部虚部共轭对称共轭反对称证明：显然说明 具有圆周共轭对称性实部偶对称虚部奇对称幅度偶对称相位奇对称意味着同样可证明：可证说明 具有圆周共轭反对称性实部奇对称虚部偶对称幅度奇对称相位偶对称共轭对称共轭反对称实部虚部其中3，x(n)为为实实实实序列序列序列序列故幅度：以 k=0 为中心,左半圆、右半圆序列偶对称 相位：以 k=0 为中心,左半圆、右半圆序列奇对称 0 N-1kk=0 k=1k=2k=N-1(1)X(k)共轭对称（2）如果 则X(k)实偶实偶对称，即(3)如果 ，则X(k)纯虚纯虚奇
9、奇对称，即x(n)长度为N，设,则有以下结论成立：思考：利用DFT的共轭对称性，计算一个N点DFT，得到两个实序列 的N点DFT。和总之：n：实 虚 共轭对称 共轭反对称k ：共轭对称 共轭反对称 实 虚 4，x(n)的循环反转的循环反转证明：在DFS中，有对上式两端都取其主值区间，循环反转定理得证对称性小结：对称性小结：DFTDFTF F变换变换Z Z变换变换1.将序列分为实部和虚部，分别对两部分作傅立叶变换，可以证明实部对应的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT变换具有共轭反对称性。第二章DTFT的相关结论：实实时域频域共轭对称共轭反对称共轭对称共轭反对称虚虚2.将序列分为共轭对称部分和共轭反对称部分，序列的共轭对称部分对应着FT的实部，序列的共轭反对称部分对应着FT的虚部和j。虚奇实偶时域频域实偶虚偶实奇虚奇实奇虚偶