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1、第16章 二次根式16.2 二次根式的乘除 1.1.什么叫什么叫二次根式二次根式？a2.2.二次根式的二次根式的两个两个基本性质基本性质: :复习回顾复习回顾=a=a(a(a0)0)2a2a(a(a0)0)= a a (a(a0)0)aa a -a-a 3.填空填空:4.计算计算: 22212110_, 22_, 3_.57 224214153532525352、二次根式有哪些性质、二次根式有哪些性质?21 0aaa性 质10552712512|aa00a aa a性质性质2 1、什么叫二次根式？、什么叫二次根式？内容：内容：课本课本 P6P67 7 要求：要求：1.1.填写填写“探究探究”内
2、容，总结二次根式的乘法法则内容，总结二次根式的乘法法则2.2.二次根式的乘法公式的逆运用的作用是什么？二次根式的乘法公式的逆运用的作用是什么？3.3.例例2 2你有其他解法吗？你有其他解法吗？4.4.完成完成P7P7练习练习1-31-3时间：时间：1010分钟分钟读书指导读书指导计算下列各式计算下列各式, 观察计算结果观察计算结果,你发现什么规律你发现什么规律41、 =_9_94_2516_,25162、用你发现的规律填空用你发现的规律填空,并用计算器验算并用计算器验算10_522; 6_321、思考：abba (a0,b0)合作学习合作学习662020一般地一般地,对于二次根式的乘法规定对于
3、二次根式的乘法规定:a、b必须都是非负数！必须都是非负数！abba 算术平方根的积等于各个被开方数积的算算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根术平方根(a0,b0)一、二次根式乘法法则：一般地有一、二次根式乘法法则：一般地有0)0)b b0,0,(a(a b ba ab ba a 二次根式与二次根式相乘，等于各二次根式与二次根式相乘，等于各被开数的积的算术平方根。被开数的积的算术平方根。扩充：扩充：kbakba 有什么限制？、是否相等？与cbacbaabc)1(44bc4a)2(化简：abba (a0,b0)算术平方根的积等于各个被开方数积的算算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
4、术平方根27312531:1、计算例1553392731练习练习:计算计算3221)2(76) 1 (76) 1 (解解:42763221)2(4163221反过来：反过来：baab （a0，b0）abba（a0，b0）一般的：一般的：在本章中，在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数如果没有特别说明，所有的字母都表示正数;42811612.32ba）；（）（化简：例8116(1):解8116 36943242ba）（324ba bba22bba22abba ) 0, 0(babab2 想一想？想一想？ )9()4()9()4(成立吗？为什么？成立吗？为什么？abba )0,0(ba非
5、非负负数数636)9()4(例题例题 计算：计算： 714.1 10253 .2 xyx313.3同学们自己来算吧！同学们自己来算吧！看谁算得既快又准确！看谁算得既快又准确！化简二次根式的步骤：化简二次根式的步骤：1.将被开方数尽可能分解成几个平方数将被开方数尽可能分解成几个平方数.2.应用应用baab3.将平方项应用将平方项应用 化简化简.aa 2) 0( a1. 3 22 3 . 6 6.12.36.6 5ABCD的值是（的值是（ ）2. ( 23)3. 9.36.8.63ABCD的值是（的值是（ ）3.23xx 2.6. 6.6.6AxBxCxDx的值是（的值是（ ）ABA当堂检测当堂检
6、测4. 估计估计1832的运算结果应在（的运算结果应在（ ）A、1到到2之间之间 B、2到到3之间之间C、3到到4之间之间 D、4到到5之间之间C当堂检测当堂检测5. 比较大小比较大小62_33-23_32当堂检测当堂检测7.将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内将下列式子中根号外的因数（因式）移到根号内._1)2_(323).1 (aa_111. 62成立的条件等式xxxabaDabaCabaBabaAbaba.)(,. 8*3的正确结果是化简二次根式已知A11x6a思考题：思考题：已知.12319999)99)(99(22的值）求（xxxxxxxx=探索与交流探索与交流填空：填空：=比
7、较左右两边的等式，你发现了什么？比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用语言和字母表示你发现的规律吗？你能用语言和字母表示你发现的规律吗？(a0，b0)(a0，b0)664.4721359554.4721359550.750.751.2247448711.224744871探索发现：探索发现：._94_,94)1(2) 25 49_, 2549_663535于是我们得到：于是我们得到：)0, 0(bababa特特别别提提醒醒1，记住二次根式的存在条件；，记住二次根式的存在条件；2，性质的逆运用；，性质的逆运用；121212.0)nnnaaaaaaaaa( 、3，推广式：，推广式：abmnbna
8、mabbabaab34)3(1527)2(12) 1 (a 94,94.1 4916,4916.29494491649160, 0bababa两个二次根式相除，等于把被开方数相除，两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数作为商的被开方数32327474计算下列各式计算下列各式,观察计算结果观察计算结果,你发现什么规律你发现什么规律?3232(3)5252规律规律:._94_;94) 1 (._22581_;22581)2(23233535于是我们得到：于是我们得到：(0,0)aaabbb特别注意：特别注意：1 1，条件；，条件； 2 2，逆运用。，逆运用。探索发现：探索发现：(1
9、) 若若 成立成立, 则则 满足条件满足条件_.(2)(3)23xxxxx-2x3(2) 若若 成立成立,则则 满足条件满足条件 .2233xxxxx3020 xx3020 xx-2x0)化简二次根化简二次根式的一般步式的一般步骤如何？骤如何？(1) 分解质因数；分解质因数；化带分数为化带分数为假分数假分数；处理好被开方数中的符号；处理好被开方数中的符号；(2)根号内分数的分子、分母根号内分数的分子、分母同同乘一个数，使乘一个数，使分母成一个正整数的平方分母成一个正整数的平方；(3)运用二次根式的性质化简。运用二次根式的性质化简。1 32（）2:42解 原式24例例1.利用性质利用性质,化简下
10、列二次根式化简下列二次根式3(2)20a解解:由由25aa3200a 得得a0挖掘隐含条件挖掘隐含条件原式原式=24 5 aa 245aa33(3) 16a b解解:由由33160a b 316()0ab3()0ab0ab 先挖掘隐含条件先挖掘隐含条件a和和b同号同号原式原式=216()abab216()abab4ab ab试一试1.化简(1) (2) (3)2033223a333:a原式解233a33a33a5223解：原式552253210151015101538解：原式33322222362 362 362如果被开方数是带分数，应先化成假分数。如果被开方数是带分数，应先化成假分数。212
11、3（）83:解 原式22233322362 362化成假分数化成假分数例例2.利用性质利用性质,化简二次根式化简二次根式522 x（ ）解解: 由由原式原式=5 222xxx210(2 )xx210(2 )xx502x得得x0102xx将被开方数因式分解或因数分解，使出现将被开方数因式分解或因数分解，使出现“完全平方数完全平方数”或或“”化简的步骤化简的步骤1、把被开方数分解因式、把被开方数分解因式(或因数或因数) ；2.把分解的因式把分解的因式(或因数或因数)尽可能尽可能写成几个写成几个平方数平方数或（式）或（式）.（分母必须化为（分母必须化为平方数或平方数或）4.将平方项应用将平方项应用
12、化简化简aa 23.应用应用).0;0();0;0(bababababaab如何化简二次根式例：计算例：计算 a28327232531555353515 363332332327232 aaaaaaaa2242228283解：解： 1 把分母中的根号化去把分母中的根号化去,使分母变成有使分母变成有理数理数,这个过程叫做这个过程叫做分母有理化分母有理化。例例6：计算：计算babababa0, 0ba a283272325315353.1解法555351525152515555353.2解法515 363332332327232 aaaaaaaa2242228283解：解： 1 在二次根式的运算中
13、，在二次根式的运算中， 最后结果一般要求最后结果一般要求(1)分母中不含有二次根式分母中不含有二次根式.(2) 最后结果中的二次根式最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式要求写成最简的二次根式的形式的形式.把分母中的根号化去把分母中的根号化去,使分母变成有理数使分母变成有理数,这个过这个过程叫做分母有理化。程叫做分母有理化。16312)(4225(3)09xyy9(1 )16）（163124225x39y（ ）1691）（16916943161916194194225x9y25x3y9721)(281(2)025xx1966401690904.)(2216(3)0,0b caba39112
14、4bca95x53m3m3_m5m5思考：等式成立的条件是。5mm-30m-5094) 9() 4(问题问题1： ？问题问题2： ？16916922223535baba注意：注意：( 18) ( 24) 0.0011123=_; =_; =_=_2.化简下列各式化简下列各式（1）=_(2)(3)23114=_; (4)(5)-(5)-0.9 1693.6 196=_=_169 121 4=_; (6)35(2.5 10 )(1.6 10 )=_=_(7)3121010166133128132864102三、请你帮忙三、请你帮忙: 小明在学习本节内容后，做一道化简题作业。第二天作业小明在学习本节
15、内容后，做一道化简题作业。第二天作业发下来后，小明知道做错了，可他百思不得其解，你能帮小明发下来后，小明知道做错了，可他百思不得其解，你能帮小明找出错的原因吗找出错的原因吗?944解:原式=322944请大家从观察请大家从观察被开方数，想被开方数，想一想？一想？，这样想对吗？他认为被开方数的算术平方根的性质，小明的第一步是用了积944944表示怎样的意义？被开方数是带分数，944940944944分析:也就是说我们应该先把带分也就是说我们应该先把带分数化成假分数数化成假分数!再运用商的再运用商的算术平方根的性质算术平方根的性质!很显然小明很显然小明理解错带分理解错带分数的意义数的意义正确解法：
16、944解：原式=940总结：遇到被开方数是带分数，化带分数为假分数训练题：1632)1(49151)2(9403104310243516351635解：原式7117849644964解：原式的最大值为是正整数，则实数已知nn12. 1 .的取值范围是则实数如果aaaaa22. 223 .号内，中根号外的因式移到根把二次根式xx11) 1(. 3结果是结果是 .111102ax 1自主拓展：自主拓展：分母有理化分母有理化 把分母中的根号化去把分母中的根号化去,使分母变成有使分母变成有理数，这个过程叫做分母有理化。理数，这个过程叫做分母有理化。 2. 分母有理化的关键是要搞清分式的分子分母有理化的
17、关键是要搞清分式的分子和分母都乘什么。和分母都乘什么。注意注意 1. 在二次根式的运算中，一般先观察把能在二次根式的运算中，一般先观察把能化简的二次根式化简，再考虑如何化去分母中化简的二次根式化简，再考虑如何化去分母中的根号。的根号。这样的二次根式，叫做这样的二次根式，叫做最简二次根式最简二次根式。知识要点知识要点最简二次根式的特点最简二次根式的特点n 被开方数不含分母。被开方数不含分母。n 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。194、53yx、65、4 1421、2a abab、530以上各例题的最后结果：以上各例题的最后结果：n 分母中不含二次根式。
18、分母中不含二次根式。n 被开方数不能含有小数或分数。被开方数不能含有小数或分数。n 分子分母不能约分。分子分母不能约分。n 最后结果中的二次根式要求化成最简二次根式。最后结果中的二次根式要求化成最简二次根式。在二次根式的运算中，在二次根式的运算中， 最后结果最后结果的一般要求的一般要求22如：10.22如： 或223xyx如：122如：1.将被开方数尽可能分解成几个平方数将被开方数尽可能分解成几个平方数.2.应用应用baab 3.将平方式（或平方数）应用将平方式（或平方数）应用 把这个因式（或因数）开出来，将二次根式把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简。化简。20aa a（）化简二次根式的步骤化简二次根式的步骤