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1、2.2双曲线,2.2.1双曲线的简单几何性质,由椭圆的第一个性质出发，首先来学习双曲线的第一个性质范围.,1.范围：观察双曲线，可以看出它在不等式x-a，xa的区域里下面利用双曲线的标准方程：求出它的范围：将方程化为即x-a，xa.,2.对称性：类比研究椭圆对称性的方法，容易得到，双曲线关于x，y轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心.,（ab0）,3.顶点：在方程里，令y=0，得x=a，因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0)，A2(a,0).因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有,令x=0，得y2=-b2，这个
2、方程没有实数根说明双曲线和y轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在y轴上.（图2.3-6）,两个交点，它们叫做双曲线的顶点.,线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的半长实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长.,4.渐近线可以发现，点M的横坐标xM越来越大，d=MQ越来越小，但永远不等于0.,若将双曲线的各支向外延伸，与这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.,如图作虚线辅助线，围成一个虚线矩形，矩形的对角线所在的直线的方程：.,在方程中，如果a=b，那么双曲线的方程为x2-y2=a2，它的实轴和虚轴的
3、长都等于2a.这时，四条直线x=a，y=b围成正,方形，渐近线方程为y=x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.,5.离心率与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为ca0,所以双曲线的离心率e=1.,离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？,解：由题设|F1F2|=2c，|PF2|=2c，|PF1|=，根据双曲线的定义|PF2|-|PF1|=2a，即所以，离心率等于,点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：的距离的比是常数，求点M的轨迹.,解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，
4、所求轨迹就是集合由此得,将上式两边平方，并简化，得9x2-16y2=144即所以，点M的轨迹是实轴、虚轴长分别为8，6的双曲线（如图2.3-9）,2.3-9,x,本例与书上2.2的例6比较，你有什么发现？,双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F,垂直于l1的直线分别交l1，l2于A,B两点.成等差数列,且与同向()求双曲线的离心率；()设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.,，,，,解：（1）设OA=m-d，AB=m，OB=m+d由勾股定理可得：(m-d)2+m2=(m+d)2得：,由倍角公式，解得,则离心率.,（2）过F的直线方程为,与双曲
5、线方程联立，将a=2b，代入，化简有将数值代入，有,解得，b=3最后求得双曲线方程为：,1.范围：x-a，xa,2.对称性：双曲线关于x，y轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心.,3.顶点：双曲线和x轴的两个交点A1(-a,0)，A2(a,0)叫做双曲线的顶点.,线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的半长实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的半虚轴长.,4.渐近线,若将双曲线的各支向外延伸，与这两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.,如图作虚线辅助线，围成一个虚
6、线矩形，矩形的对角线所在的直线的方程：.,5.离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率.因为ca0,所以双曲线的离心率e=1.,实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.,椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别,(2008重庆文)如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：()求点P的轨迹方程;()设d为点P到直线l：的距离,若,求的值,解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=，所以双曲线的方程为,(II)设P（x,y），因|PN|1知|PM|=2|PN|22|PN|PN|,故P在双曲
7、线右支上，所以x1又双曲线方程有y2=3x2-3.因此，从而由|PM|=2|PN|2得2x+1=2(4x2-4x+1)，,即8x2-10 x+1=0.所以x=（舍去x=).有|PM|=2x+1=d=x-=故,(2008天津文、理)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0)，一条渐近线的方程是（）求双曲线C的方程.（）若以k(k0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围.,（）解：设双曲线C的方程为由题设得解得所以双曲线C的方程为,（）解：设直线l的方程为y=kx+m(k0)，点M(x1,y1),N(x2,
8、y2)的坐标满足方程组,将式代入式，得整理,得(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0此方程有两个不等实根，于是5-4k20，且=(-8km)2+4(5-4k2)整理得m2+5-4k20,，,，,由题设可得整理得将上式代入式得整理得解得或所以k的取值范围是,一、选择题1.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点若点P在双曲线上，且，则（）,ABCD,B,2.以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）,ABCD,A,二、填空题1.已知双曲线（a0,b0），以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是_,b,2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,P是准线上一点，且，则双曲
9、线的离心率是_,三、解答题.设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，APB=2，且存在常数(01)，使得d1d2sin2=,证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程.,点P的轨迹C是以A,B为焦点，实轴长的双曲线方程为：.,解：在PAB中,|AB|=2即22=d12+d22-2d1d2cos2，4=(d1-d2)2+4d1d2sin2，即,1（1）实轴长2a=，虚轴长2b=4；顶点坐标为(,0)，(,0)；焦点坐标为(6,0)，(-6,0)；离心率（2）实轴长2a=6，虚轴长2b=18；顶点坐标为(3,0)，(-3,0)；焦点坐标为(,0)，(,0)；离心率,（3）实轴长2a=4，虚轴长2b=4；顶点坐标为(0，2)，(0，-2)；焦点坐标为(0，)，(0，)；离心率（4）实轴长2a=10，虚轴长2b=14；顶点坐标为(0，5)，(0，-5)；焦点坐标为(0，)，(0，)；离心率,2.（1）（2）3.4.，渐近线方程为y=x5.（1）（6，2），（，）（2）（，3）,