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1、 在日常生活中，我们可以观察到在日常生活中，我们可以观察到许多对称现象，如：美丽的蝴蝶，盛许多对称现象，如：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体，以及开的花朵，六角形的雪花晶体，以及建筑物和它在水中的倒影建筑物和它在水中的倒影.四川曹家大院一景曹家多子院大门二道门水镜台曹家大院某院晋祠鼓楼晋祠硕亭太谷民居门墩石狮子xyOxyO f (x)=x2 f (x)=|x|x -2 -1 012 y 41014 x -2 -1 012 y 21012 问题：问题：1 1、对定义域中的每一个、对定义域中的每一个x x，-x-x是否也在定义域内？是否也在定义域内？2 2、f(xf(x) )与与f(-xf
2、(-x) )的值有什么的值有什么关系？关系？函函数数y=f(xy=f(x) )的的图图象象关关于于y y轴对称轴对称1 1、对对定定义义域中的每一域中的每一 个个x x，-x-x是也在定是也在定义义 域域内内；2 2、都有都有f(x)=f(-xf(x)=f(-x) ) 如果如果对对于函于函数数f(xf(x) )的定的定义义域域为为A A。如果如果对对任意任意的的xA A，都有都有 f f(-x)= f(x(-x)= f(x) )，那那么称么称函函数数y=f(x)y=f(x)是偶函是偶函数数。 （1）下列说法是否正确，为什么？）下列说法是否正确，为什么？（1）若）若f (2) = f (2)，则
3、函数，则函数 f (x)是偶函数是偶函数（2）若）若f (2) f (2)，则函数，则函数 f (x)不是偶函数不是偶函数（2）下列函数是否为偶函数，为什么？）下列函数是否为偶函数，为什么？。（A）3 , 2, 1|24 xxxy（B）（C） 0101xxxxy（D）0,1 xRxxy且且 观察下面两个函数填写表格观察下面两个函数填写表格-30 xy123-1-2-1123-2-30 xy123-1-2-1123-2-3f(x)=x1( )f xx3210-1-2-3-1x-3-2012 3f(-3)= -3 =0 xy123-1-2-1123-2-3f(-x) -f(x)f(x)=xf(-1
4、)= -1f(-2)= -2 =x-x表（表（3）-f(1)=-f(2)-f(3)=f(x)=x0 xy123-1-2-1123-2-31( )f xx f(-3)= =-f(3)f(-1)= -1 =-f(1)f(-2)= =-f(2)f(-x) = -f(x)13210-2-3x1( )f xx-113121213-11213表（表（4）函数函数y=f(x)的图象的图象关于原点对称关于原点对称1、对定义域中的每一、对定义域中的每一 个个x，-x是也在定义是也在定义 域内；域内；2、都有、都有f(-x)=-f(x) 如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域为的定义域为A。如果对如果对任意任意
5、一个一个xA，都有都有 f(-x)=- f(x)，那么称函数那么称函数f(x)是奇函数是奇函数 。 判定函数奇偶性基本方法判定函数奇偶性基本方法: : 定义法定义法: : 先看先看定义域定义域是否是否关于原点对称关于原点对称, , 再看再看f(-xf(-x) )与与f(xf(x) )的关系的关系. . 图象法图象法: : 看图象是否关于原点或看图象是否关于原点或y y轴对称轴对称. . 如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函是奇函数或偶函数，那么我们就说函数数，那么我们就说函数f(x)具有具有奇偶奇偶性性. 奇函数奇函数 偶函数偶函数 函数可划分为函数可划分为四类四类: 既奇又偶函数既
6、奇又偶函数 非奇非偶函数非奇非偶函数说明：说明： 1 1、根据函数的奇偶性、根据函数的奇偶性f(x)=0 xR非奇非偶函数非奇非偶函数0 xy123-1-2-1123-2-3如：如：0 xy123-1-2-1123-2-3y=3x+1y=x2+2x0 xy123-1-2-1123-2-3如：如：y=02 2、奇、偶函数定义的逆命题也成立、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即，即 若若f(x)f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立有成立. . 若若f(x)f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(- -x)=f(x)有成立有成立. .3、奇、偶函数性质：、奇、偶函数性质： 偶函数的偶
7、函数的 定义域关于原点对称定义域关于原点对称 图象关于图象关于y轴对称轴对称 奇函数的奇函数的 定义域关于原点对称定义域关于原点对称 图象关于原点对称。图象关于原点对称。如果一个函数是偶如果一个函数是偶函数函数,则则它的图象它的图象关于关于y轴对称轴对称。y=x2偶函数的图像特征偶函数的图像特征反过来，反过来，如果一个函数的图如果一个函数的图象关于象关于y轴对称，轴对称，则则这个函数为偶函这个函数为偶函数数。2( )f xx1 ,2x,是偶函数吗？是偶函数吗？问题：问题：0 x123-1-2-3123456y不是。不是。性质：偶函数的定义域关于原点对称性质：偶函数的定义域关于原点对称解解：y=
8、x2例：例：性质：性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。( ),1,f xx x 问题：问题： 是奇函数吗？是奇函数吗？-30 xy123-1-2-1123-2-3解：解：不是。不是。性质：奇函数的定义域关于原点对称。性质：奇函数的定义域关于原点对称。性质：性质：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致例：例：y=x30六、应用六、应用: :例例1 1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 1.y=-2x1.y=-2x2 2+1,x+1,xR;R; 2.f(x)=-x 2.f(x)=-xx x; ; 3.y
9、=-3x+1; 3.y=-3x+1; 4.f(x)=x 4.f(x)=x2 2,x,x-3,-2,-1,0,1,2;-3,-2,-1,0,1,2; 5.y=0,x 5.y=0,x-1,1;-1,1;xxxxf 11)1()(.622x11x)x( f . 7 是偶函数是偶函数是奇函数是奇函数不是奇函数也不是偶函数不是奇函数也不是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数亦奇亦偶函数亦奇亦偶函数既是奇函数也是偶函数既是奇函数也是偶函数例例3 如图是奇函数如图是奇函数y=f(x)图象图象的一部分，试画出函数在的一部分，试画出函数在y轴轴左边的图象。左边的图象。xy0例例4 4 已知已知
10、y=f(xy=f(x) )是是R R上的奇函数，当上的奇函数，当x0 x0时，时，f(xf(x)=x)=x2 2 +2x-1 +2x-1 ，求函数的表达式。，求函数的表达式。是是奇奇函函数数、证证明明函函数数例例 )0()0()(222xxxxxxxf练习练习：判断下列函数的奇偶性：2541)()4(1)()3()()2()()1(xxfxxxfxxfxxf (1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(3)解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(4)解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数