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1、第17章 概率论初步第17章 概率论初步17.1古典概型（3课时）教学目标：理解基本事件的概念。理解古典概型的含义，掌握古典概型中事件概率的定义。会用排列组合方法和枚举法求等可能事件的概率。重点难点：重点：求随机事件的概率，随机事件所包含的基本事件的个数及其总数。难点：求随机事件的概率，随机事件所包含的基本事件的个数及其总数。教学过程：在实际生活中，我们会遇到很多事件。例如（1）地球围绕着太阳转；（2）导体通电后会发热；（3）在标准大气压下，纯水加热到100摄氏度时会沸腾。像这样，在一定的条件下必然发生的事件叫做必然事件。反过来，在一定的条件下必然不发生的事件叫做不可能事件。例如，“用石蛋孵出
2、小鸡”；“在常温下，焊锡熔化”等等，都是不可能事件。除了必然事件与不可能事件外，还有另一类事件。不妨以天气现象为例，如果问“明天天气如何”，那么对此有各种可能的结果：可能“明天天晴”，可能“明天下雨”，等等。像这样，在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。随机事件具有“既可能发生，也可能不发生”的特点。概率论（probability theroy）就是研究随机现象的数量规律的数学分支。下面我们研究一个随机事件发生的可能性的大小。掷一枚均匀的硬币，其结果只有两个：出现正面（图朝上）或出现反面（字朝上），并且，出现正面和出现反面具有相同的可能性。记“出现正面”为F，“出现反面”为W
3、。根据F、W出现的可能性相等，可得它们出现的概率都为。表示为，。掷一枚均匀的骰子，可能出现1、2、3、4、5、6点，共有6种情况（结果），每种点数出现的可能性相等，如果用“1”表示“出现1点”、用“2”表示“出现2点”，余者类同，那么根据每种点数出现的概率都为。表示为。我们把一次试验可能出现的结果叫做基本事件（elementary event），上面的例子有两个共同特点：（1）一次试验所有的基本事件只有有限个（并且各个基本事件不同时出现）。例如，掷一枚均匀硬币的试验只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即只有2个基本事件；掷一颗均匀的骰子的试验中只有6个基本事件。（2）每个基本事件出现的可能
4、性相等。具有这两个特点的概率模型叫做古典概型（classic probability model）。对于在一定条件下可能出现也可能不能出现，且有统计规律性的现象叫做随机现象（stochastic phenomena）。掷一枚均匀硬币的试验中，出现“正面朝上”或出现“反面朝上”就是随机现象。在概率论中，掷骰子、转硬币等都叫做试验；试验的结果叫做随机事件（stochastic event），简称事件（event）。随机事件一般用大写英文字母A、B、C、来表示，基本事件本身也是随机事件。表示随机事件发生的可能性大小的这个数，叫做该随机事件的概率。随机事件A的概率记为P(A)。在古典概型中，事件A出现
5、的概率定义为。用集合语言表示，设1、2、n表示所有的基本事件，基本事件的集合记为=1、2、n。随机事件A看作是的某个子集，则。例 1 （课本P86例1）掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率：（1）出现5点；（2）出现奇数点；（3）出现的点数大于4；（4）出现7点；（5）出现的点数小于7。解：掷一颗均匀的骰子可能出现的点数有1点、2点、3点、4点、5点、6点，且各点数出现的可能性相等，记=1，2，3，4，5，6，中的基本事件数为6。（1）事件“出现5点”包含的基本事件只有1个，由古典概型中概率的定义，得。（2）用A表示事件“出现奇数点”，它包含的基本事件是事件1、3、5，于是，得。（3）设B表示事
6、件“出现的点数大于4”，它包含的基本事件是事件5、6，于是，得。（4）因为掷一颗均匀的骰子不可能出现7点，所以事件C“出现7点”所包含的基本事件的个数为0，于是，得。（5）因为掷一颗均匀的骰子出现的点数必定小于7点，所以事件D“出现的点数小于7”所包含的基本事件的个数为6，于是，得。既然事件D包含了所有的基本事件，我们一般直接用表示。即。我们把试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作；把不可能出现的事件叫做不可能事件，记作。对于必然事件、不可能事件和随机事件E，下面4个事实值得我们注意：（1）不可能事件的概率为0，即；（2）必然事件的概率为1，即；（3）对于任意随机事件，有；（4）若=1、2、n
7、，则有。例 2 （课本P87例2）掷两枚骰子得两个数，大数减小数得差d，是否有一个差数比其他差数更可能出现？解：掷两枚骰子得两个数，一共出现36种可能，即有3个基本事件。=(i，j)i=1，2，3，4，5，6；j=1，2，3，4，5，6，下表给出大数减小数时的点数差（d=0，1，2，3，4，5）的事件所包含的基本事件及其个数。d基本事件(i，j)事件个数0(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)、(5，5)、(6，6)。61(1，2)、(2，3)、(3，4)、(4，5)、(5，6)、(2，1)、(3，2)、(4，3)、(5，4)、(6，5)。102(1，3)、(2，4)、(3，5)、(4
8、，6)、(3，1)、(4，2)、(5，3)、(6，4)。83(1，4)、(2，5)、(3，6)、(4，1)、(5，2)、(6，3)。64(1，5)、(2，6)、(5，1)、(6，2)。45(1，6)、(6，1)。2由上表可知，。其中，d=1出现的概率最大；d=5出现的概率最小。会用穷举法解决事件包含的基本事件数。例 3 一次掷两个骰子，计算所得两个数之和，求和为8的概率。解：设A表示“所得两个数之和为8”。全部基本事件有66=36个；事件A包含有5个基本事件，即2+6、3+5、4+4、5+3、6+2。所以。同学甲认为，掷两个骰子所得两个数之和，分别为2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、
9、12，所以全部基本事件有11个。因此。是否正确？（等可能性问题1）同学乙认为，全部基本事件有66=36个；事件A包含有5个基本事件，即2+6、3+5、4+4。所以。（等可能性问题2）同学乙认为，全部基本事件有6+5+4+3+2+1=21个；事件A包含有5个基本事件，即2+6、3+5、4+4。所以。（等可能性问题3）练 1 课本P88练习17.1（1）/1、2、3。练 2 在盒子中有10个相同的球，它们的标号分别为1，2，10。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。解：设A表示“取出的球的号码为偶数”。全部基本事件有10个；事件A包含有5个基本事件，即2、4、6、8、10。所以。例 4 （课本
10、P88例3）一个罐子里有同样大小、同样重量的20个玻璃球，其中4个是红色的，6个是黑色的，10个是无色的，经充分混合后，从罐子中任意取出一球，求下列事件韵概率：（1）取到有色玻璃球；（2）取到红色玻璃球；（3）取到无色玻璃球。解：（1）设某一个球被取到是一个基本事件。根据已知条件知，共有20个基本事件，每个基本事件的概率相等（均为），20个玻璃球中有色玻璃球10个。如果把“取到有色玻璃球”的事件记作C，那么。（2）20个玻璃球中有4个是红色的。如果把“取到红色玻璃球”的事件记作H，那么，（3）如果把“取到无色玻璃球”的事件记作N，那么。例 5 （课本P88例4）求连续掷两次骰子，出现的点数之差
11、等于1的概率。解：设事件“连续掷两次骰子，出现的点数之差等于1”为A。由例2知：连续掷两次般子的基本事件数为36；“连续掷两次骰子出现的点数之差等于1”即事件A包含了10种不同的结果。所以。例 6 （课本P89例5）在例3给出的罐子中，求随机取出3个球都是黑色球的概率。解：随机地从20个球中取出3个球，其可能出现的取法有种，即所有的基本事件有个。如果把“取出3个球都是黑色球”的事件记作E，那么E所包含的基本事件有个，所以E出现的概率。练 3 课本P89练习17.1（2）/1、2。设E和F是两个随机事件，我们把满足下列条件的E和F叫作对立事件（Opposite event）：（1）；（2）。试验
12、中，事件A要么出现，要么不出现，如果把事件A不出现记作事件，那么事件A与事件互为对立事件，因此易有。例3中，把“取到有色玻璃球”的事件记作C，那么“没取到有色玻璃球”的事件N为，于是有。A随机事件E、F、都是以基本事件为元素的集合，EF和EF也都是以基本事件为元素的集合，它们也是随机事件。这里，我们借用集合语言表述事件与事件的关系，=，A。既然这样，我们还可以借用集合的图示（文氏图）表示事件间的关系，如图所示。例 7 （课本P89例6）在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品。（1）求恰含1件二等品的慨率；（2）求至少含1件二等品的概率。（结果精确到0.01）解：在这
13、100件产品中随矶取出4件产品，所有的基本事件有个。（1）如果把事件“随机取出4件产品中恰含1件二等品”记作A，那么A中所包含的基本事件的个数为。所以，A出现的概率为。（2）如果把事件“随机取出4件产品中至少含1件二等品”记作B，那么B的对立事件为“随机取出4件产品全是一等品”。而中含基本事件个数为，所以，所以，至少含1件二等品的概率为。“恰有1件二等品”即为“4件产品有3件一等品，1件二等品”。为什么问题（2）要考虑问题的反面？这是因为“至少含1件二等品”等价于“4件产品有3件一等品，1件二等品”和“4件产品有2件一等品，2件二等品”和“4件产品有1件一等品，3件二等品”和“4件产品有0件一
14、等品，4件二等品”，因此“至少含1件二等品”中包含的基本事件个数为。显然，从正面出发，考虑的问题较多，步骤较为繁杂。（所以要考虑反面，即原事件的对立事件）例 8 （课本P89例6）求随机抽取10个同学中至少有2个同学在同一月份出生的概率。解：由于每个同学都可能在1到12月份中任一个月份出生，可知10个同学的出生月份共有1210种可能的排列。每种排列对应一个基本事件，即基本事件共有1210个，每个基本事件发生的概率相等。设E表示事件“10个同学在不同月份出生”，那么10个同学在不同月份出生共有种司能，即事件E共包含个基本事件，可知。设“10个同学中至少有2个同学在同一月份出生”为事件F。F是E的
15、对立事件，。因此。即10个同学中至少有2个同学在同一月份出生的概率为0.9961。进一步，求全班同学（40人）生日是同一天的概率。先请同学估测此概率值，甚至班级中做一次试验。记原事件为A，事件“全班同学没有两个人同一天出生”为，概率，。（附：用计算器计算问题，）由此看到：概率是可能性大小的客观度量。课后作业与思考：作业1 练习册P53习题17.1A2、3、4、5、B1、2、；作业2 练习册P53习题17.1A7、B3、4。作业3 思考：课本上提出必然事件的概率为1。那么倒过来，概率为1的时间一定是必然事件，是否正确？同样，概率为0的事件是否为不可能事件？答：均否。例如：在坐标平面上随意点一下，点中(1，1)点的概率为0，但这并不是不可能事件。17 1 8201006