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1、教 案教学基本信息课题正弦定理与余弦定理的应用学科数学学段：高中年级高一教材书名：数学必修第四册出版社：人民教教育出版社出版日期：2019 年 7 月教学目标及教学重点、难点教学目标通过设计测量底部不能到达的故宫角楼高度的测量方案，让学生感受正弦定理，及余弦定理在实际测量中的应用，发展数学运算及数学建模素养通过测量平面上两个不能到达的地方之间距离，体会由特殊到一般、转化与化归、数形结合， 及方程的思想方法，发展几何直观，数学运算素养通过解决在运动变化过程中蕴含的解三角形问题，体会根据运算条件选取相应的运算法则解决问题，发展几何直观，数学运算，数学建模的素养教学重点：不可达两点间距离的测量及正余
2、弦定理的应用教学难点：三角形边角关系的探究过程及初步应用教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习回顾构建模型问题 1：请回顾、梳理解三角形的基本模型通过复习回顾，让学生梳理解三角形的基本模型，并进一步思考正弦定理、余弦定理中蕴含的距离测量的问题 2：请思考给出米尺和测量角度的工具，如何测量河对岸的一点 A 与岸边一点 B 之间的距离试说明测量方案与计算方法解：一点不可达的两点间的距离的测量方案及计算方法如下知识发现问题提出问题问题 3：请思考给出米尺和测量角度的工具，如何测量不可到达的两点间的距离试说明测量方案与计算方法例 1 如图，故宫所示角楼，顶端与底部不能到达，不能直接测量假
3、设给你米尺和测量角度的工具，思考如何在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度，并写出方案，给出有关的计算方法分析：问题实质为用米尺和测量角度的工具，怎样得到不便到达的两点之间的距离在对面的岸边选定一点进行测量，问题转化为测量一点不可达的两点间距离解：测量方案如下，设角楼顶端为 A，底部为 B通过本题的研究， 让学生了解历史，增强学生的民族自豪感，感受到生活中处处有数学第一步：选定一点 C，测量 ACB=a ； 第二步：选定一点 D，测量 CD=m ； 第三步：测量 BCD=b ， BDC=g ； 第四步：测量 ACD=q ， ADC=j 解：在 r BCD 中，有CBD = - b - g ，mBC
4、由正弦定理，=，sin( - b - g )sin gm sin g即BC =sin(b + g )m sinj在 r ACD 中，同理有 AC =sin(q + j)在 r ACD 中，由余弦定理可得的长，即AB2 = AC2 + BC2 - 2AC BC cosa 反思：通过高度的测量， 让学生体会，空间问题平面化的策略；并在求解过程中，需要关注解直角三角形与解斜三角形相结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路问题 4：思考，如何解决平面上不便到达的两点之间的距离的测量例 2 如图所示， A，B 是某沼泽地上不便到达的两点， C， D 是可到达的两点，已知 A，B，C，D 都在水平面上，
5、 且已经测得ACB = 45，BCD = 30，CDA = 45，BDA = 15， CD = 100 m，求 AB 的长求解三角形中与距离相关的线段时，若模型应用问题解决所求线段在一个三角形中，则直接用正弦定理，余弦定理求解；若所求的线段在多个三角形中，则依次选择或构造适当的三角形，再分析：问题为平面上不便到达的两点之间的距离的测量明确两观测点 C，D，梳理数据解：已知 A，B，C，D 都在水平面上， 在BCD 中，BDC = BDA + CDA = 60，CBD =180 -BCD -BDC = 90 在RtBCD 中，有 BC = 100cos30 = 50 3m 在ACD 中， CAD
6、 = 60，AC100由正弦定理得=，sin 45sin 60所以 AC = 100 6 3在ABC 中，由余弦定理，AB2 = AC2 + BC2 - 2AC BC cos 45，化简得 AB2 = 12500 ，解得 AB = 50 15 33反思：例 3 如图，在某海滨城市 A 附近的海面出现台风活动据监测，目前台风中心位于城市 A 的东偏南60 方向、利用正弦定理，余弦定理求解关注测量观点下的数据的整理与分析； 关注基于解三角形元素间关系的分析距城市 A 300km 的海面点 P 处，并以20km / h 的速度向西偏北30 方向移动如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径
7、为100 3km ，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市 A 是否会受到上述台风的影响如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由分析：用数学语言描述城市 A 受到台风的影响即城市 A 在以台风为中心，半径为100 3km 的的圆形区域内用数学语言描述城市 A 受到台风影响的时间即城市 A进入台风影响区域以及离开台风影响区域的时间之差 解 ： 设台风的中心 x h 后到达位置 Q ， 且此时AQ = 100 3 如图在AQP 中，有 P = 60 - 30 = 30 ，且AP = 300 km， PQ = 20x km （解法一）100 330020x由正弦定理可得=，sin 30si
8、n Qsin A解得sin Q = 300sin 30 =3 ，100 32所以Q = 60或Q = 120引导学生建立数学模型，学会用数学的眼光看现实世界，应用数学知识解决问题通过引导学生思考：“如何用数学语言描述城市 A 受到台风的影响，如何用数学知识运算与表达”，让学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数当Q = 60时， QAP = 90，因此20x = 100 3 ，得 x = 10 3 sin 30当Q = 120时， QAP = 30， 因此20x = 100 3 ，得 x = 5 3 所以，城市在5 3 h 后会受到影响，持续时间为10 3 - 5 3 =
9、5 3 h （解法二）由余弦定理可得AQ2 = AP2 + PQ2 - 2AP PQ cosAPQ ， 解得 PQ2 - 300 3PQ + 60000 = 0 ，所以 PQ = 100 3 或 PQ = 200 3 当 PQ = 100 3 时，因此20x = 100 3 ，解得x = 5 3 当 PQ = 200 3 时，因此20x = 200 3 ，解得x = 10 3 所以，城市在5 3 h 后会受到影响，持续时间为10 3 - 5 3 = 5 3 h （解法三）由余弦定理可得AQ2 = 3002 + (20x)2 - 2300 20x cos30， 又因为 AQ 100 3 ，所以，
10、得 x2 -15 3x +150 0 ， 解得5 3 x 10 3 所以，城市在5 3 h 后会受到影响，持续时间为学与现实之间的关联； 学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验通过选取不同的方法解决问题，引导学生感受有效借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神10 3 - 5 3 = 5 3 h 复习回顾反思总结问题 5：我们共同回顾、梳理本节课研究的主要问题1. 不能到达底部的物体的高度问题2. 不能到达的同一水平面上两点间的距离问题3. 运动变化过程中两动点间的行程（距离）问题通过回顾梳理本节知识结构，让学生体会
11、不可达的两点之间的距离测量问题的三种典型应用，构建较完整的解三角形模型，体会由特殊到一般思想课后作业问题 6：请同学们完成下面的作业 作业 1如图，勘探人员朝一座山行进时，前后两次测得山顶的仰角分别为30 和45 ，两个观测点C ， D 之间的距 离为200m，求此山的高度 AB （测量仪的高度忽略不计，A ， B ， C ， D 都在一个平面内， ABC 是一个直角三角形） 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个测点C 与 D 现测得BCD = a ，BDC = b ，CD = s ，并在点C 测得塔顶 A 的仰角为q ， 求塔高 AB 通过作业，让学生进一步体会，解决实际问题中：关注空间图形与平面图形的识别，关注正、余弦定理及解直角三角形的综合应用， 关注测量观点下数据的整理与分析 为了测量两山顶 M ， N 间的距离，飞机沿水平方向在 A ， B 两点进行测量已知四点 A ， B ， M ， N 在同一个铅垂平面内（如图所示）飞机能够测量的数据有俯角和 A ， B 之间的距离请设计一个方案，包括 指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； 用文字和公式写出计算 M ， N 间的距离的步骤作业 2（个人学习感想：哪个知识最重要，最有用，需要注意的关键之处等）