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1、15.5求体积的几种常用方法求体积的几种常用方法练习练习1 1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请列出三棱锥体积表达式）（请列出三棱锥体积表达式）AB CD A CB D问题问题1、你能有几种、你能有几种 解法？解法？ 问题问题2、如果这是一、如果这是一 个平行六面个平行六面 体呢？或者体呢？或者 四棱柱呢？四棱柱呢？练习练习2:2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥到一个正三棱锥A-BCDA-B
2、CD，求它的体积是正方体体，求它的体积是正方体体积的几分之几？积的几分之几？C D AB 问题问题2、如果改为、如果改为求求 棱长为棱长为a a的正四面的正四面 体体A-BCDA-BCD的体积。的体积。 你能有几种解法？你能有几种解法？问题问题1、你能有几种、你能有几种 解法？解法？解一、补形，将三棱解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。锥补成一个正方体。解二、利用体积公式解二、利用体积公式 V四面体四面体 SBCDh31 解三、将四面体分割为解三、将四面体分割为 三棱锥三棱锥C-ABE和三棱和三棱 锥锥D-ABEE21,23HCBHGDAG由题意得.322212212131122121122
3、21BHCAGDBHCFAGDEABCDEFBHCAGDVVVV，SS点评点评, 3, 2, 4,5,)13(,)52(222222222zyxxzzyyx解得则61311D1B1CADC1AB1、四面体、四面体 的三组的三组对棱对棱分别分别相等相等，不妨设为，不妨设为a,b,cABCS 2、四面体、四面体 的四个面为的四个面为全等全等的三角形，的三角形，ABCS 3、四面体、四面体 的四个面为全等的的四个面为全等的锐角锐角三角形。三角形。ABCS 思考：四面体思考：四面体 的的三组对棱分别相等，是否一三组对棱分别相等，是否一定能补形成一个长方体定能补形成一个长方体?从从而求出其体积？而求出其
4、体积？ABCS 222yxa222zyb222zxc222bca 222cba 222acb abcxyz锐角锐角三角形三角形且三边分别且三边分别 为为a,b,c.SABC则：则：222ayx 222bzy 222czx )(212222bcax )(212222cbay )(212222acbz 即：四个面均为锐角即：四个面均为锐角 三角形三角形要使要使x,y,z有解，有解，222bca 222cba 222acb 必须同时成立。必须同时成立。已知：四面体已知：四面体 的三组对棱分别相等，且分的三组对棱分别相等，且分别为别为a,b,c 求：这个四面体的体积。求：这个四面体的体积。ABCS 设
5、长方体的长，宽，高分别为设长方体的长，宽，高分别为x,y,z求求出出x,y,z PA C BPABCPACBPBCAABCPVVVV更位法更位法214331MNAPMNPAVV11.241433221213121313111aaaaPANAMAABCD1A1B1C1DE练习练习1：如图如图,在边长为在边长为a的正方体的正方体 中，点中，点E为为AB上的任意一点，求三棱锥上的任意一点，求三棱锥 的体积的体积。1111DCBAABCD11DEBA DASEBA 1131aa 22131361a解法分析解法分析：V = 11DEBA 11EBAD V练习练习2、正方体、正方体ABCD-A1B1C1D
6、1棱长为棱长为a，E是是CC1的中点，求的中点，求B1到平面到平面EBD的距离的距离A1ABB1CDC1D1E的体积求四棱锥上，在侧棱，点体积是的、三棱柱例362AABBMCCMCBAABCBBCACAM2436323231CBAABCAABBMCBAABCAABBMABCMAABBMCBAABCVVVVVVV解：BBACACMBBCACAM转移顶点法转移顶点法例例4 4已知已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱长为是棱长为a a的正方体，的正方体，E E、F F分别是棱分别是棱AAAA1 1与与CCCC1 1的中点，求四棱锥的中点，求四棱锥A A1 1-E
7、BFD-EBFD1 1的的体积？体积？BB1CDAC1D1A1EF易证四边形EBFD1为菱 形，连结EF，则解法分析：解法分析：EBFAEFDAEBFDAVVV 11111EDAFEFDAVV1111 aSEDA 1131EBAFEBFAVV11 aSEBA 131或者：或者：11112EFDAEBFDAVV BB1CDAC1D1A1EF例例4 4已知已知ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱长为是棱长为a a的正方体，的正方体，E E、F F分别是棱分别是棱AAAA1 1与与CCCC1 1的中点，求四棱锥的中点，求四棱锥A A1 1-EBFD-EBFD1 1的
8、体积？的体积？1111111111112111FDCABFCBADCBAABCDEBFDAVVVVCA连接BB1CDAC1D1A1EF例4已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积？解法分析：解法分析：连接连接BD1，111111BFDAEBDAEBFDAVVV 则则当棱锥的体积公式当棱锥的体积公式 无法直接使用时无法直接使用时ShV31通过通过转移顶点法转移顶点法切割法切割法补形法补形法 达到达到分散的转化为集中分散的转化为集中课堂小结课堂小结复杂的转化为简单复杂的转化为简单陌生的转化为熟悉陌生的转化为熟悉小结：小结：
9、1 1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用象具体地在立体几何中运用“割补割补”进行解题的技巧。进行解题的技巧。2 2、三棱锥体积的证明过程中充分揭示了三棱锥的独特性质：、三棱锥体积的证明过程中充分揭示了三棱锥的独特性质： 可根据需要重新安排底面，这样也为点到面的距离、可根据需要重新安排底面，这样也为点到面的距离、 线到面的距离计算提供了新的思考方法。线到面的距离计算提供了新的思考方法。3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它它 可补成柱体，还可以自换底面、自换顶点，在计算与证明中有可补成柱体，还可以自换底面、自换顶点，在计算与证明中有较大的灵活性较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程简化。，技巧运用得当，可使解题过程简化。