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1、 4.7 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由柱面与锥面都可以由一族直线所构成，这种由一族直线所构成的曲面叫做一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面直纹曲面. 而构成曲面那族直线叫做曲面的一族直母线而构成曲面那族直线叫做曲面的一族直母线. 柱柱面与锥面都是直纹曲面面与锥面都是直纹曲面.单叶双曲面与双曲抛物面上包含直线吗单叶双曲面与双曲抛物面上包含直线吗?因而它们都是直纹曲面因而它们都是直纹曲面.下面我们来证明下面我们来证明:这两曲面不仅含有直线，而且可以由一族直线所构成这两曲面不仅含有直线，而且可以由一族直线所构成.我们虽然很弯我们虽
2、然很弯曲曲, 但是我们都但是我们都由直线构成由直线构成, 你相信吗你相信吗?首先考虑单叶双曲面首先考虑单叶双曲面, 1222222czbyax（1）cba,其中其中 为正常数，为正常数，把（把（1）改写为）改写为,1222222byczax或者或者.11bybyczaxczax（2）(2)与与(1)等价吗等价吗?等价等价!.11bybyczaxczax（2）现在引进不等于零的参数现在引进不等于零的参数u, 将上述方程写为将上述方程写为:1.1xzyacbyxzbac改写为改写为:(2)/111xzyuacbxzyacub(3)(3)与与(2)等价吗等价吗?不等价不等价!对于给定的对于给定的u,
3、(3)表示什么曲线表示什么曲线?直线直线;01,0byczax（4）与与.01,0byczax（4）/考虑到考虑到(3) 与与(2)相比相比,漏掉了下面的两个方程组漏掉了下面的两个方程组.11bybyczaxczax（2）1.1xzyacbyxzbac(2)/, 1222222czbyax(1)111xzyuacbxzyacub(3)111xzyuacbxzyacub也就是说也就是说(3)与与;01,0byczax（4）.01,0byczax（4）/合起来与单叶双曲面合起来与单叶双曲面(1)的方程等价的方程等价.把把(3),(4),(4)合起来组成的一族直线叫做单叶双曲面的合起来组成的一族直线
4、叫做单叶双曲面的(4)与与(4)/仍仍然表示直线然表示直线u族直线族直线. 方程组方程组(4),(4)实际上是（实际上是（3）式中当参数）式中当参数 和和 时的两种极限情形时的两种极限情形.0uu111xzyuacbxzyacub(3);01,0byczax（4）.01,0byczax（4）/我们是我们是u族直线族直线家族成员家族成员 现在来证明由这现在来证明由这 族直线可以构成曲面族直线可以构成曲面(1)，从，从而它是单叶双曲面而它是单叶双曲面(1)的一族直母线。的一族直母线。u首先容易知道，首先容易知道，都在曲面都在曲面(1)上上.u族直线中任何一条直线上的点族直线中任何一条直线上的点11
5、1xzyuacbxzyacub;01,0byczax.01,0byczax.11bybyczaxczax, 1222222czbyax（1） u族直线满足于族直线满足于满足于满足于这是因为这是因为反过来，设反过来，设 是曲面是曲面(1)上的点上的点.),(000zyx下面说明这个点一定在下面说明这个点一定在u族直线中的某一条上族直线中的某一条上.只须证明由这个点的坐标可以确定出参数只须证明由这个点的坐标可以确定出参数u.是曲面是曲面(1)上的点上的点.),(000zyx所以满足单叶双曲面方所以满足单叶双曲面方程程2220002221,xyzabc即即.11000000bybyczaxczax（
6、5）.11000000bybyczaxczax（5）因此不失一般性，因此不失一般性，by01by01假设假设010by000czaxu,1000byuczax显然显然与与不能同时为零不能同时为零.?如果如果那么取那么取的值使得的值使得由由(5)便得便得,11000byuczax所以点所以点 在在u直线上直线上.111xzyuacbxzyacub000czax010by所以点所以点 也在也在u直线上直线上.),(000zyx而而u族直线是单叶双曲面族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线，的一族直母线，称为称为u族直母线族直母线.11000000bybyczaxczax（5）如果如果那么由那么由(5
7、)知必有知必有这样就证明了曲面这样就证明了曲面(1)是由是由u族直线所构成族直线所构成.因此单叶双曲面因此单叶双曲面(1)是直纹曲面是直纹曲面.同样可以证明由直线同样可以证明由直线)1 (1),1 (byvczaxbyvczax（6）(其中其中 为不等于零的任意实数为不等于零的任意实数)与另两直线与另两直线(相当与相当与(6)中当中当 和和 的情形的情形) 0vv,01,0byczax（7）01,0byczax与与(7)/合在一起组成的直线族是单叶双曲面合在一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直的另一族直母线母线.称它为单叶双曲面称它为单叶双曲面(1)的的v族直母线族直母线. 12222
8、22 czbyax 例如，储水塔、例如，储水塔、电视塔等建筑都电视塔等建筑都有用这种结构的有用这种结构的. 推论推论 对于单叶双曲面上的点，两族直母线对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点中各有一条直母线通过这点. 为了避免取极限，我们常把单叶双曲面为了避免取极限，我们常把单叶双曲面(1)的的u 族直母线写成族直母线写成()(1),()(1),xzywuacbxzyuwacb（4.7-1）其中其中 不同时为零。当不同时为零。当 时，各式除以时，各式除以 式子就化为式子就化为(3)；当；当 时便化成时便化成(4)；当当 时便化成时便化成(4).wu,0, 0wu) 17 . 4
9、( ,w0u0w111xzyuacbxzyacub(3),1 ()(),1 ()(bytczaxvbyvczaxt（4.7-2）其中其中 不同时为零不同时为零.tv,对于双曲抛物面对于双曲抛物面,22222zbyax而而v族直母线写成族直母线写成同样地可以证明它也有两族直母线同样地可以证明它也有两族直母线它们的方程分别是它们的方程分别是,)(,2zbyaxuubyax(4.7-3).)(,2zbyaxvvbyax（4.7-4）与与分别称为分别称为u族和族和v族直母线族直母线. 22222xyzab也有下面的推论：也有下面的推论： 推论推论 对于双曲面与抛物面上的点，两族直母对于双曲面与抛物面上
10、的点，两族直母线中各有一条直母线通过这一点线中各有一条直母线通过这一点. 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上单叶双曲面与双曲抛物面的直母线，在建筑上有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。有着重要的应用，常常用它来构成建筑的骨架。 单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面单叶双曲面与双曲抛物面的直母线还有下面的一些性质：的一些性质：定理定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面而双曲抛物面上异族的任意两直母线面而双曲抛物面上异族的任意两直母线 必相交必相交. 现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上现在我们来证明定理的前半部分，单叶双曲面上异
11、族的任意两直母线必共面异族的任意两直母线必共面.证证:单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为单叶双曲面的两个异族直母线方程分别为:111xzyuacbxzyacub)1(1),1(byvczaxbyvczax这两条直线共面的充分必要条件是这两条直线共面的充分必要条件是(看看p137, 例例3)四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零四个方程的系数和常数项所组成的行列式为零.tvtvvtvtwuwuuwuwabctcvbtavvctbvatwcubwauucwbuaw1tvvtuwuwabctvvtvtwuwuwwabc00000000400004tvvtuwuwabctvvtvtwuwuwwab
12、c000000004000040)(4twuvwvutabc所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面所以单叶双曲面上异族的两直母线必共面. 定理定理 4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面体直母线平行于同一平面.另外另外,还有下面的定理还有下面的定理.例例 求过单叶双曲面求过单叶双曲面 上的点上的点（6,2,8）的直母线方程。）的直母线方程。11649222zyx解解 单叶双曲面单叶双曲面 的两族直线的两族直线方程是方程是11649222zyx);21 ()43(),21 ()43(ywzxuyuzxw与与).21 ()43(),21 ()43(ytzxvyvzxt把点把点(6,2,8)分别代入上面两组方程，求得分别代入上面两组方程，求得2:1:uw与与, 0t代入直母线族方程，得过代入直母线族方程，得过(6,2,8)得两条直母线分别为得两条直母线分别为;21)43(2),21 (243yzxyzx与与, 043, 021zxy即即; 06334, 0243124zyxzyx与与. 034, 02zxy思考与练习思考与练习: 第第180页页. 1. 3.作业作业: 第第180页页. 2. 6.