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1、初中数学竞赛题选讲（代数部分） 数学组内容主要分为四部分： 代数式的求值问题 方程与方程组的求解问题及其应用 一元一次不等式（组）及二元一次不等式（组）的求解及应用 二次函数问题 关于整式的求值问题 关于分式的求值 二次根式代数式的求值的相关考点： 一、一元一次方程与多元一次方程组； 二、一元二次方程； 三、可化为一元二次方程的方程； 四、列方程组解应用题。方程与方程组相关考点：不等式（组）的考点：1.考察不等式组的解法2.不等式组的整数解问题3.不等式中字母范围的确定4.带绝对值的不等式解答5.利用不等式解决实际问题二次函数考点：1、二次函数的性质2、二次函数的表达式3、二次函数与一元二次方
2、程的关系4、根与系数的关系有关知识拓展：整式：1、高次二项式的变形：yxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyx333344773326622223355233 accbbacabcabcba222222212、 的变形：cabcabcba2223、 的变形：4、 公式：5、带余除：baabbababababa332233ba33cba2cabcabcbacba22222若关于x的多项式A与B相除，商式为f(x),余式为Q(x),则 A=f(x)B+Q(x)分式：运算法则：二次根式：是无理数）是有理数，则若，则若、cbababbaacbacbabacbaaa, 0, 00(,2为正整数
3、）乘方：除法：乘法：加减法：nbcaddcbabdacdcbabdbcaddcbacbacbcababannn(; 代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法下面结合例题逐一介绍一、灵活运用乘法公式和运算法则 代数式的变形化简，离不开乘法公式、各种运算法则及它们的变形用法。有些条件求值问题，条件与结论间存在明显的结构联系。利用乘法公
4、式或适合的运算性质就能解。的值。求且若例nmnnmmnm5522,11111432012223355223322221, 1nmmnnmnmnmnmnmnmnmmnnmnmxxmnnmnm的两个不相等的根。是方程、由已知条件得解：二、设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法的值。，求已知例czbyaxzcybxaczbyax2222220, 12czbyax2222221czbyax分析：若从求 的值入手，可考虑到应把条件 两边平方，
5、在平方之后，虽然会出现一些交叉项，但能从另一个已知条件给予解决。采用换元法求解。1112222222222222. 0, 0. 0111, 1,czbyaxwvuwuvwuvwvuwuvwuvuvwwuvwuvwvuwvuwczvbyuax即所以把两边平方得所以由有于是条件变为令解：三、将已知条件整体代入求值（整体法）例3 已知 ，那么0123xxxxxxx1995321分析： 共有1996项，将每四项分成一组，共499组，每组中都有因式 ，因此结果为0.xxxx19953210123xxx（第八届“祖冲之”杯竞赛试题）xxxx1995321解：方法一： 0111132199232432199
6、5199419931992765432xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx方法二：（这道题也可以从已知条件入手）。，结果为个个，共奇次方为，的偶次方为中，当时，01989, 199811,219953222311101011, 01xxxxxxxxxxxxxx例4 若a、b都是正实数，且 ，则（1992年全国联赛试题）0111bababaab33babababa111, 0111得解：由1. 111 , 1baabbaabbbaaba52355354233225baabbaabbaabbaabbaabbaabba是正实数，、例5 已知, 7133493322byaxbyaxbyax的值
7、。试求baxyyxbyax21761995,40644分析：如果把所给的条件看成是方程组，那么它是四元五次方程组，要求解这样的高次方程组是无能为力的。观察待求值的多项式，它是关于x=y、xy、a+b的多项式，如果能通过已知条件的变形，求出x+y、xy、a+b，问题就解决了。或者构造出关于x+y、 xy、 a+b,且易求解的方程组，问题也解决了。四、构造方程的求解 即得由同样的得解：由197133749749494949494949777.,.,.,.,.7,7, 73323232222222222xyyxxyyxbyaxbyaxxyyxbyaxayxybybxyxaxaxbybyaxbyaxx
8、ybayxbyaxaxyybybxyxaxaxbybyaxbyax4800212175 . 165 . 2199521761995.21495 . 15 . 27. 5 . 1, 5 . 2.,.22.,.,58719406491334913313313313313313322443434333333baxyyxbabaxyyxxyyxxyyxbyaxbyaxxyyxbyaxayxybybxyxaxaxbybyaxbyax将它们代入，得得解组成的方程组，即得又由215 x03qpxx例6 已知p、q是有理数， 满足 ，则p+q的值是（ ）。（A）-1 （B）1 （C）-3 （D）3（1997年
9、安徽省竞赛试题）五、考虑数的性质 若所给条件限制于整数、有理数，或涉及到质数，奇偶数，整除性等，把握住这方面的性质，有利于寻到突破口。02542021525,2150215215033pqpqpxqpqpxx得代入解：将。故选是有理数。、A. 1. 12. 02042qpqppqpqp方程与方程组一、一元一次方程与多元一次方程组；二、一元二次方程；三、可化为一元二次方程的方程；四、列方程组解应用题。考点考点：1.解含绝对值的方程2.利用含字母系数的一次方程求字母的值；3.含字母一元二次方程的整数根；4.一元二次方程的根的相关问题；5.解高次方程；6.含字母无理方程的根的相关问题；7.方程（组）
10、的实际应用； 一、一元一次方程1.关于x的方程ax=b的解得情况： 时，方程有唯一解 ； 且 时，方程有无穷多个解; 且 时，方程无解。2.关于x的方程 的解得情况： 时， ； 时， ； 时， 方程无解。3.对于多元方程可以用消元法、参数法等； 0aabx 0a0b0b0a0aax0a0 x0aax 1.解方程组 思路思路：两个方程消去x，可得： 为了解y，需要去掉绝对值，所以需要明确绝对值里代数式的符号，即考虑y的范围，从而在每个范围中由式子解得y,从而解得x。2123yy13121yxyx2.已知关于x的方程 ，无论k为何值，总有根 ，求m,n的值。kkmxnmx2432x2x思路思路：方
11、程总有根表示 满足方程，将-2代入方程并化简，可得有关k的一次方程，又因“无论k为何值”都成立，所以 有关k的方程为0k=0解：将x=-2代入方程并化简为： 因为对任何k都成立 所以： 解得： 648)243(nmkm06480243nmm2292nm二、一元二次方程1.利用判别式判断一元二次方程有无实根；2.韦达定理；3.解一元二次方程的方法：求根公式（通用）;因式分解、开平方法、配方法（据方程的自身特点）；4.有理系数一元二次方程有整数根（有理根） 则有判别式为一个完全开平方数。1.是否存在正整数m，使关于x的方程 有整数根，若存在，请求出m的值。012)4(22mxmmx时，方程有整数根
12、。或为所以当方程有整数根，时，当，方程有整数根，时，当方程无整数根；时，当方程无整数根；时，当、的值可能是：是整数解得则：若方程无整数根；方程为：若，依题意得：解：若存在正整数432, , 0161644; 30151433, 0141222, 01310143214, 0)12(4)4(2, 0,128, 022222mxxxmxxxmxxmxxmmmmmmmmxmm解2：方程有整数根。或所以当同理）（和时，解得当都不符合题意；时，解得当或为整数根，则：为整数根或因即：则：令为一个开平方数又因方程有整数根，以则：同上；若若, 438438 , 482 , 188 , 4 , 2 , 188
13、, 4 , 2 , 18,881,881,8881164),( ,16641664, 0, 02121222msmmsmsssxxsxsxssxsmssmmmm2.已知方程 ，k为实数且，证明方程有两个实数根，其中一根大于1，另一根小于1。02322kxx0022kyy思路思路1：证方程有实根，即证： ；证两根为、， 1， 0， -10从而利用韦达定理证（-1）（-1）0，a+b=3, 若关于x的方程 的解只有一个，求d.222abcc0)(2dabxdcdx思路思路：可以将a,b作为关于x的方程的两根，根据判别式和c的范围来求出c的值；再根据原方程的判别式为零求出d.解：易知a,b是 的两根
14、，又 ，则：由c为正整数，则：c=1,2当c=1时，a,b无整数解；当c=2时，a=1,b=2或a=2,b=1从而原方程可化为当d=0时，x=-1;当d0时，方程有等根，则： 综上所述：022322ccxx0)22(492cc01842 cc02)2(2dxddx0)2(4)2(2ddd2,32d0,2,32d三、可化为一元二次方程的方程1.分式方程 整式方程； 无理方程 有理方程； 高次方程 一元一（二）次方程2.余数定理：已知x的多项式f(x),若对于常数a,有f(a)=0，则f(x)有因式（x-a）；3.解分式、有理、无理方程时，可能会产生增根，因此必须检验。 解1（因式分解）： 原式可
15、化为：解2（余数定理）： 因f(-1)=0，所以f(x)有因式（x+1） 原方程可化为4, 10)4()1(0)43)(1(0)1(4)1(3)1(04433321222223xxxxxxxxxxxxxxxxxx,472)(23xxxxf令0)43)(1(2xxx047223xxx1.解方程：2.是否存在正数a，使方程 有四个实根，若存在，求出a；若不存在，请说明理由。 0543422axxxx思路思路：观察方程，方程中有根号，可用换元法将原方程转化为一元二次方程；为使原方程有四个实根，则二次方程必须有两个不相等的非负实根。解：令 原方程转化为 因原方程有四个实根，所以方程（*）必须有2个不等
16、的实根。即： 因a为正数，所以a=5,6,7 当a=5时，解得：y=0，y=3，当y=0时， 方程无实根； 当a=6时，解得： yxx5420532ayy050)5(49aa0542 xx4175a1253,253yy又因 无实根 当a=7时，综上所述：不存在整数a使得原方程有四个实根。只有一个实根时，, 15412, 10132212xxyyyyy25354, 11)2(54222xxxxx所以且3.已知关于x的方程 只有一个实数根，求m的值。226)2)(1(1921xxxmxmx思路思路：将原方程化简为关于x的一元二次方程，因原 方程只有一实根，要分类讨论判别式：=0与0；对于0：一元二
17、次方程有两个根，但是当其中一个为增根时，原方程还是只有一个实根。四、列方程（组）解应用题 列方程（组）解应用题一般步骤： 1.审题； 2.设元； 3.列方程（组）； 4.解方程（组）； 5.检验。1.A，B两地相距120千米，已知人的步行速度是每小时5千米，摩托车的行驶速度是每小时50千米，摩托车后座可载一人。问：有三人并配备一辆摩托车从A地到B地最少需要多少小时?(保留一位小数)解：设甲骑摩托车带乙从A到D行驶x千米，放下乙后骑摩托车折回，而此时丙已从A地步行至E后与甲在F处相遇，甲骑摩托车带丙径直驶向B，恰好与乙同时到达。依题意得： 所用的总时间为： （2） 当甲骑摩托车回去载丙时至两人相
18、遇，有： 当甲骑摩托车去载丙直至甲丙在B地追上乙 ，有： （1）解方程（1）中x，再将x代入（2），即可得出总的时间7.5小时。 512050 xxt5120501205505502xxxx550550 xxt相遇一元一次不等式（组）一元一次不等式（组）性质步骤解得情况（1）不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变。与解一元一次方程的步骤相同，知识在用到性质（3）时，要改变不等号的方向如果 xa xb 且ab，那么xa如果 xa xb 且bb（2）不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变。如果 xa xb 且ab，那么axa xb 且a0，c0；当；当x=-1
19、时，时， 0，b5+c。抛物线顶点的横坐标抛物线顶点的横坐标 满足满足 -1 0 ，0b10。 ，即，即 ， ，由，由、得得 ，c5,若若c=1，则由，则由、得得0b6且且 20 ，得，得b=5；若若c=2，则，则0b7且且 40 ，无整数解；，无整数解；若若c=3，则，则0b8且且 60 ，无整数解；，无整数解；若若c=4，则，则0b2200cb220cb210020cb2b2b2b2b23xxxa已知关于 的不等式的解集是非空集合，则实数a的数值范围是（ ）。23xx分析：可以根据对的意义的不同理解，获得多种方法。2231155.2323,5.3232121,5.xxxaxaxaxxxaa
20、xxxaxaxaaa 解法一：（1）当时，不等式化为，即-2有解，而-2（2）当时，不等式化为即（3）当时，不等式化为即有解，而综上所述， 5时不等式有解，从而解集非空。例例3分类讨论法分类讨论法232332 = .5.xxaa 解法二：表示数轴上的点到 两点的距离之和.显然最小值为5故可求 的取值范围为 23235.5mnm nxxxxa 解法三：利用得 时不等式有解.例例4 ：将两筐苹果分给甲，乙两个班级，甲班：将两筐苹果分给甲，乙两个班级，甲班有有1人分到人分到6个，其余的人，每人分到个，其余的人，每人分到13个；乙个；乙班有班有1人分到人分到5个，其余的每人分到个，其余的每人分到10个
21、，如果个，如果两筐苹果的个数相同，并且大于两筐苹果的个数相同，并且大于100不超过不超过200那么，甲班有那么，甲班有_人，乙班有人，乙班有_人人综合法综合法解解 设甲班有设甲班有x人，乙班有人，乙班有y人，根据题意可得人，根据题意可得因为因为x，y都是正整数，故根据都是正整数，故根据，知知x可能为：可能为：9，10，11，12，13，14，15；y可能为：可能为：11，12，13，14，15，16，17，18，19，20由由又可得，故知又可得，故知13x2应是应是10的倍数，的倍数，13的末的末位数应是位数应是2，所以，所以x只能取只能取14，这时，这时y=18所以甲所以甲班有班有14人，乙
22、班有人，乙班有18人二次函数6.根与系数的关系：2121212,0,x xaxbxcbcxxx xaa 是方程的两个实根,则补充： 如图 2122,.2.43.8MAByaxbxcxA BMx xahasa 抛物线与 轴交于两点，为抛物线顶点连结MA,MB,过M作MCAB于C.设AB=d,MC=h,A,B横坐标分别为则有如下结论：1.d=221242yxmxmxm例：已知二次函数的图像与 轴有两个交点，交点为A,B.顶点为C，如果 ABC的面积为4，那么 等于多少？（第九届“祖冲之杯”竞赛题）273155254 2,4 2,4 288 4=22=2=282 ,224 2ABCsammmABC
23、解：即，时，的面积为22212, ., ., ,yxxxA ByaxbxcA BPAPBa b c例 ：已知函数的图像与 轴交于相异两点另一抛物线过点顶点为 ，且是等腰直角三角形。求22221201204303040,44,04,0440,40410,41644111164,0,44440416xxxxxxxxxxAByyya xxABCPaayxxabcPa 解：方程即抛物线于 轴的交点分别为，抛物线的对称轴是 轴，顶点在 轴上设是等腰Rt点P的坐标为或，当点 的坐标为时，当 的坐标为，时，2214,4111164,0,4444ayxxabc 232 210,11xxf xfff 例 ：方程
24、的两根为 ， 。求二次函数满足 2222222222 210=2 2=1=2=82=62 210=40,0 ,111222xxxxxaxbxc afffbcabcbc 解：， 是方程的两根，由方程知。设f由得a +整理得3a+得a+b=-a+b=-12a 21.2 21 ,2 212 212 21abcf xxx +b=-1解组成的方程组得221222221212124122330,.(1)6,11mxxmxmmx xmxmxxxmxx 例 ：设 是不小于的实数，使得关于 的方程有两个不相等的实数根若求 的值 （2）求的最大值222121222212221=42)4330,111122 ,33210102101016520517517.11.22mmmmmmxxmx xmmxxmmmmmmmmm 解：（） 方程有两个不相等的实根（又由题意得即22121222122112221212121212222322222(2)11111112101022331223324412131135231222111mxmxyxxmxxmxxyxxxxx xxxmxxx xmmmmmmmmmmmmm mmmmmmm mmmmmmy 设则当时， 有最大值221212101011mxmxxx即的最大值是